文档内容
公众号:云儿和花
河北省示范性高中高一年级期中质量检测联合测评
数学
班级__________ 姓名__________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的概念进行求解.
【详解】 .
故选：B
2. 以下函数中，在 上单调递增且是偶函数的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】D
【解析】公众号:云儿和花
【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性，结合选项依次判断即可．
【详解】对于A，函数为奇函数，故选项A错误；
对于B，函数为偶函数，且在 上, 单调递减，故选项B错误；
对于C，函数为偶函数，且在 上单调递减，故选项C错误；
对于D，函数为偶函数，且在 上, 单调递增且恒为正，故 在 单调递增，
故选项D正确．
故选：D
3. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】两函数的定义域和对应法则均相同，为同一函数，对四个选项一一作出判断，得到答案.
【详解】A选项， 的定义域为R， 的定义域为 ，
两函数定义域不同，A错误；
B选项， 的定义域为 ，
的定义域为 ，定义域不同，B错误；
C选项， 的定义域为 ， 的定义域为R，
两函数定义域不同，C错误；
D选项，令 ，解得 ，故 定的义域为 ，公众号:云儿和花
令 ，解得 ，故 的定义域为 ，
又 ，故对应法则相同，故两函数为同一函数，D正确.
故选：D
4. 已知幂函数 在区间 上单调递减，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用幂函数的定义，得出 ，根据方程求出 的值，然后再将 的值代入函数解析式，
检验所得函数的单调性，即可得出符合条件的 的值．
【详解】由于 是幂函数，
所以 ，解得 或 .
当 时，函数为 ，满足在 上为减函数，符合题意；
当 时，函数为 ，不满足在 上为减函数，不符合题意．
故 ，
故选：A.
5. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】公众号:云儿和花
【分析】A选项， 两边同时除以 得到 ；B选项， 两边分别同时乘以 和 ，
得到 ；CD选项，同AB一样，由不等式性质进行推导.
【详解】A选项，因为 ，所以 ， 两边同时除以 得，
，A错误；
B选项，因为 ，所以 两边同时乘以 得 ， 两边同时乘以 得 ，
故 ，B错误；
C选项，因为 ， ，则 ，C正确；
D选项，因为 ，所以 ，
又 ，故 ，所以 ，D错误.
故选：C
6. 已知函数 ，若 ，则 （ ）
A. 2或-2或-1 B. 2或-1 C. 2或-2 D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】分 和 两种情况，代入得到方程，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】若 ，则 ，解得 或2（舍去），
若 ，则 ，解得 （舍去），
综上， .
故选：D公众号:云儿和花
7. 已知函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 根 据 一 次 函 数 以 及 幂 函 数 的 单 调 性 ， 结 合 分 段 函 数 的 的 性 质 即 可 列 不 等 式
进而即得.
【详解】根据题意，函数 是R上的增函数，
必有 ，解可得 ，
即 的取值范围为
故选：C．
8. 已 知 函 数 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 若 ， 且 ， 都 有
，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为
B.
C. 函数 的图象关于点 中心对称公众号:云儿和花
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，将条件变形后，由定义法得到 在 上单调递增，结合 的图象关于y轴
对称，求出 有最小值 ，A错误；B选项， 在 上单调递减，B错误；C选项，
的图象关于直线 对称，C错误；D选项，先得到 ，由 在 上
单调递增得到D正确.
【详解】A选项， ，且 ，都有 ，
即 ，
故 在 上单调递增，
又 的图象关于y轴对称，故 在 上单调递减，
故 有最小值 ，A错误；
B选项， 在 上单调递减，故 ，B错误；
C选项，由平移法则知 的图象关于直线 对称，C错误；
D选项，若 ，则 ，
当 ，则 ，
当 ，则 ，
综上， ，
又 在 上单调递增，公众号:云儿和花
故 ，D正确.
故选：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设集合 ， ，且 ，则实数a的值可以是（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出 ，分 ， 和 三种情况，得到实数a的值.
【详解】 ，
因为 ，
当 时， ，满足要求，
当 时， ，当 时， ，解得 ，
综上， 或2或 .
故选：ACD
的
10. 下列结论中正确 有（ ）
A. “ ”是“ ”的必要不充分条件
B. 已知命题“ ， ”，则该命题的否定为“ ， ”
C. “ ”是“ ”的充分不必要条件
D. “关于 的方程 至多有一个实数根”的必要条件可以是公众号:云儿和花
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，解方程得到 或0，A错误；B选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存
在改为任意，把结论否定；C选项，解不等式得到 或 ，C错误；D选项，由根的判别式得到
不等式，求出 ，由 得到D正确.
【详解】A选项， ，解得 或0，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，A错误；
B选项，命题“ ， ”的否定为“ ， ”，B正确；
C选项， ，解得 或 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，C错误；
D选项，由题意得 ，解得 ，
由于 ，
故“关于 的方程 至多有一个实数根”的必要条件可以是 ，D正确.
故选：BD
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则函数 的最大值为
B. 已知 ，则 的最小值为
C. 若正数x、y满足 ，则 的最小值为3
D. 设x、y为正实数，且 ，则 的最小值为6公众号:云儿和花
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，分离常数后，利用基本不等式进行所求皆；C
选项，利用基本不等式“1”的妙用进行求解；D选项，表达出 ，故 ，由基
本不等式求出答案.
【详解】A选项， ， ，
当且仅当 ， 时，等号成立，故A错误；
B选项， ，
因为 ，所以 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故B正确；
C选项，正数x、y满足 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，C正确；
D选项，x、y为正实数，且 ，则 ，公众号:云儿和花
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得．
【详解】若函数y=f (x)的定义域是 ，则函数 需要满足：
则 ，解得 ，
所以 的定义域是 ．
故答案为：
13. 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 的解集为
_________.
【答案】 或 .
【解析】
【分析】先求出 时的解析式且 ，分 ， 和 ，解不等式，求出答案.
【详解】当 时， ，故 ，
因为 是定义在 上的奇函数，公众号:云儿和花
所以 ，故 ，所以 ，
，满足 ，
当 时，令 ，解得 ，故 ，
当 时，令 ，解得 或 ，故 ，
综上， 的解集为 或 .
故答案为： 或 .
14. 已知 ， ，满足不等式 ，则实数 m 的取值范围是
_________.
【答案】 或
【解析】
【 分 析 】 由 题 意 得 到 ， 求 出 ，
，从而得到不等式，求出答案.
【详解】 ， ，满足不等式 ，
故只需 ，
其中 ，当且仅当 时，等号成立，
关于 的函数 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，解得 或 ，
综上，实数m的取值范围是 或 ，
故答案为： 或
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）公众号:云儿和花
15. 已知全集 ，集合 ，集合 .
（1）求集合 ；
（2）设集合 ，若集合 ，且 是 的充分不必要条件，求实
数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式得到 或 ，根据补集和交集概念求出答案；
（2）得到 为 的真子集，且 ，从而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
，
等价于 ，解得 或 ，
故 或 ， ，
，
【小问2详解】
由（1）知， ，
是 的充分不必要条件，故 为 的真子集，
又 ，公众号:云儿和花
故 ，解得 ，
故实数a的取值范围是 .
16. 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为 ，高为 ，底面一条边长为5m，施工方
给的造价：四个侧面造价为100元/ ，底面造价为80元/ .
（1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考.
【答案】（1） ， ；
（2）长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.
【解析】
【分析】（1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为 m，从而表达出y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出 的最小值和此时所满足的条件，得到答案.
【小问1详解】
长方体蓄水池的底面面积为 ，
长方体底面的另一条边长为 m，
故 ， ；
【小问2详解】
，故由基本不等式得
，公众号:云儿和花
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 m，
故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.
17. 设函数 ， .
（1）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（2）求关于 的不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分 、 两种情况讨论，在 时，直接检验即可；在 时，根据二次函数的
单调性可得出关于实数 的不等式组，综合可得出实数 的取值范围；
（2）将所求不等式变形为 ，分 、 、 三种情况讨论，结合一次不等式
和二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
因为函数 在 上单调递减，
当 时，即函数 在 上单调递减，合乎题意；
当 时，因为二次函数 在 上单调递减，
可得 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【小问2详解】公众号:云儿和花
不等式 可化为 ，
当 时，原不等式即为 ，解得 ；
当 时，方程 的两根分别为 ， .
（i）当 时， ，解原不等式可得 ；
（ii）当 时， ，解原不等式可得 或 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
18. 已知集合 ，实数 满足 .
（1）若集合 ，且 ， ， 是集合 中最小的三个元素，求集合A；
的
（2）在（1） 条件下，若实数b构成的集合为B，且集合 ，若实数 ，且关于x的方
程 有实数解，请列出所有满足条件的有序数对 .
【答案】（1）
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）根据单调性得到最小的三个元素，得到答案；
（2）先求出 ，得到 ，分 和 ，结合根的判别式得到满足的条件，
求出所有满足条件的有序数对.公众号:云儿和花
【小问1详解】
随着 的增大而增大，
又 ，故集合 中最小的三个元素依次为
，
故 ；
【小问2详解】
，
当 时， 或1，当 时，与元素互异性矛盾，舍去， 满足要求，
当 时， 或2，两者均满足要求，
当 时， （舍去），
综上， ，
，
，关于x的方程 有实数解，
当 时， ，解得 ，满足要求，
故 均可，满足条件的有序数对有 ，
当 ，需满足 ，即 ，
若 ，则 ，满足条件的有序数对有 ，
若 ，则 ，满足条件的有序数对有 ，
若 ，则 ，满足条件的有序数对有 ，公众号:云儿和花
若 ，则 ，满足条件的有序数对有 ，
综上，满足条件的有序数对有 ，
.
19. 已知实数 ，函数 ， .
（1）试判断函数 的奇偶性；
（2）用定义证明函数 在 上单调递增，并判断 在 是否也单调，如果单调，
判断是增函数还是减函数.
（3）当 ， 时，用 表示 、 的最大者，记为
，求 的最值.
【答案】（1）偶函数 （2）证明见解析，函数 在 上是增函数
（3）最小值为 ，最大值为
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数ℎ(x)的奇偶性；
（2）任取 、 且 ，作差 ，变形，判断 的符号，
结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数 在 上
的单调性；
（3）化简函数 在 上的解析式，并分析函数 在区间 上的单调性，即可求出函数
在 上的最小值和最大值.公众号:云儿和花
【小问1详解】
因为实数 ，函数 ， ，
则 ，其中 ，
，则函数ℎ(x)为偶函数.
【小问2详解】
因为 ，任取 、 且 ，则 ， ，
则
，即 ，
所以，函数 在 上为增函数，
函数 在 上也为增函数，理由如下：
因为 ，任取 、 且 ，则 ， ，
则
，即 ，
所以，函数 在 上为增函数.
【小问3详解】
当 时， ， ，公众号:云儿和花
则 ，
因为 ，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
故当 时， ，
由对勾函数的单调性可知，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
又因为函数 在 上连续，故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，
又因为 ， ，则 ，
所以，当 时，函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设 、 是所给区间上的任意两个值，且 ；
（2）作差变形：即作差 ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方
向变形；公众号:云儿和花
（3）定号：确定差 的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
