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2024-2025 学年浙江省杭州市高一上学期期末学业水平测试
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设全集为 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据补集的定义求出 ， ，再由集合交集的定义求解即可.
【详解】因为全集 ， ， ，
所以 ， ，
所以
故选：
2. 已知 ， 为第二象限角，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式计算可得 ，结合同角的三角函数关系建立方程组，解之即可求解.
【详解】由 ，得 ，
是第二象限角，
，解得
故选：D
3. 已知 ，则 （ ）
第 1页/共 20页A. B. 1 C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 两边平方，可得 ，计算 进而可求解.
【详解】将 两边平方，得 ，
即 ，所以 ，
所以
故选： .
4. 幂函数 的图象过点 ，则函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，带点计算可得 ，得到 ，令 转化为二次函数的值域求解
即可.
【详解】设 ，
代入点 得
，
则 ，令 ，
函数 的值域是 .
故选：C.
第 2页/共 20页5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求函数定义域，排除 A，再根据函数奇偶性排除 B，再通过特殊值排除 D 得答案.
【详解】函数 的定义域为 且 ，排除 A 项；
∵ ，∴ 奇函数，排除 C 项；
再取特殊值当 时， ，排除 D 项.
故选：B.
【点睛】本题考查已知函数解析式选函数图象问题，考查函数的定义域，奇偶性，函数值等性质，是中档
题.
6. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 等于（ ）
A. B. C. 5 D. 6
第 3页/共 20页【答案】A
【解析】
【分析】由题意知 ，确定函数 在 上的单调性和值域，列式求解即可得 的值.
【详解】 ， ，
∴则函数 为常数，且 在 单调递增，
又∵函数的定义域为 ，
函数的值域为 ，
，
.
故选：A
7. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数 S 与生物个体总数 N 研究生态瓶水质，设
立生物丰富度指数 作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数 d 越大，水质越好.若经过老师指导
调整以后生态瓶生物种类数 S 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，
则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案.
【详解】由题意得 ①， ②，
则 ，
第 4页/共 20页即 ，即 ，
所以 ，
故选：D
8. 在下列区间中，函数 不存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将函数的零点转化为函数的图象交点，再利用数形结合可得答案.
【详解】函数 零点为 与 的图象交点横坐标，
在同一坐标系中画出 与 的图象.
如下图示：
由图可知 与 的图象在区间 上无交点.
所以选项中，函数 不存在零点的区间 .
故选:
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 以下结果正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C.
第 5页/共 20页D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用对数的运算法则计算即可判断 A；根据指数幂的运算法则结合完全平方公式计算即可判断 B；
通过角度制与弧度制的互化可判断 C；通过逆用两角差的正弦公式计算可判断 D.
【详解】对于 A 选项，
，故 A 正确；
对于 B 选项，因为 ，两边平方，得 ，
解得 ，两边平方，得 ，
所以 ，故 B 错误；
对于 C 选项， ，故 C 正确；
对于 D 选项， ，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 不存在函数 、 满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同
B. 命题“ ， ”的否定是“ ，
C. 已知 ， 是第一象限角，则“ ”是“ ”的充要条件
D. 三个内角 A，B，C 满足
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A，利用相同函数定义即得；对于 B，利用带量词的命题的否定要求即可判断；对于 C，通过
取反例即可排除；对于 D，利用三角形内角和关系与诱导公式推理即得.
第 6页/共 20页【详解】对于 A，由函数的定义可知，当两个函数的定义域相同，对应关系相同，
则值域一定相同，故 A 正确；
对于 B，命题" ， " 否定是" ， "，故 B 错误；
对于 C，若取 ， ，满足 ， 是第一象限角，且 ，但 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 D 正确.
故选：AD.
11. 已知函数 ，且 ， ，则（ ）
A. 若 ，则对称轴方程为 ，
B. 若 ，则函数 向左移动 得到
C. 函数 周期为 ，
D. 若 在区间 上单调，则 最大值为 9
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，由已知求得 ，求出对称轴方程，即可判断；对于 B，由已知求得
， 由 平 移 变 换 得 到 ， 即 可 判 断 ； 对 于 C， 由 已 知 可
得
，求出周期，即可判断；对于 D，由已知可得 ，
又 ， ，验证可得 的最大值，即可判断.
【详解】对于 A，当 时， ，
由 ， ，得 ，
第 7页/共 20页解得 ，
，
令 ，得 ，
即 ， ，故 A 正确；
对于 B，当 时， ，
由 ， ，得 ，
解得 ，
，
将 向左平移 ，得 ，故 B 错误；
对于 C，由 ， ，得 ，
解得 ， ，故 C 正确；
对于 D，函数 在区间 上单调，
则 ，解得 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，则 ， ，
检验：当 时， ，此时 ，
又由 ，即 ，
第 8页/共 20页解得 ， ，
所以 ，
此时函数 在区间 上不单调，不满足题意；
当 时， ，此时 ，
又由 ，即 ，解得 ， ，
所以 ，
此时函数 在区间 上是单调函数，满足题意，
综上所述， 的最大值为 9，故 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛： D 选项，得到 后，由 ， ，得 ， ，再验
证可得 的最大值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. ______________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】直接利用诱导公式化简计算即可
【详解】 ，
故答案为：
13. 已知 ，M，N 是直线 与曲线 最近的两个交点，且
第 9页/共 20页，则 的值为_____.
【答案】3
【解析】
【分析】根据 得 ，即可解出 的值.
【详解】相邻的两个交点 M，N 的横坐标分别为 ， ， ，则 ，
∵ ，
∴ 或 ，
令 ，得 ， ，
则 ，故
故答案为：
14. 已 知 函 数 满 足 ： ① ； ② ， ； ③ ，
，请写出一个你认为符合上述要求的函数_____.
【答案】 答案不唯一
【解析】
【分析】由题意，可知函数为偶函数，举例 验证即可.
【详解】由 ,知函数为偶函数，
当 时， ， ， ，
可取函数 ，则 ，故满足①；
当 时， ，故满足②；
第 10页/共 20页， ， ，
，
故 ，故满足③
故答案为： 答案不唯一
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ， ，集合
（1）求 ；
（2）若 ，求 p，q 的值；
（3）若 ，求
【答案】（1）
（2） （3）解析见详解
【解析】
【分析】（1）解分式不等式即可；
（2）根据集合相等，利用函数的零点和方程根的关系结合韦达定理求解；
（3）先由 得到 p，q 的关系，代入后求解含参的一元二次不等式即可.
【小问 1 详解】
由 得， ，解得 ，即 .
【小问 2 详解】
由 ， 知，
，
即 ， ；
第 11页/共 20页【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
当 ，即 时， ，此时
当 ，即 时， ，解集为 ，此时 ；
当 ，即 时， ，此时
16. 已知定义在 上的函数 图象关于原点对称，且
（1）求 的解析式；
（2）判断 的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由 关于原点对称可得 ， ，再结合代入计算即可得；
（2）借助单调性的定义证明即可；
（3）结合奇函数性质及函数单调性，列不等式求解即可.
【小问 1 详解】
定义在 上的函数 图象关于原点对称，
为 上的奇函数， ，解得 ；
，
又 ，故 ， ，
其满足 ，故 为奇函数，图象关于原点对称，
第 12页/共 20页即 ；
【小问 2 详解】
在 上单调递增；
证明如下：令 ，
，
由 ，
则 ， ， ，
，
即 在 上单调递增；
【小问 3 详解】
由题意可得 为奇函数，
故由 ， 得， ，
又 在 上单调递增，
则有 ，解得 ，
故不等式的解集为
17. 在平面直角坐标系 中，O 是坐标原点，角 的终边 与单位圆的交点为 ，射线 绕点 按逆
时针方向旋转 弧度后交单位圆于点 ，记点 的纵坐标 关于 的函数为 ，终边 对应角
第 13页/共 20页（1）若 ， ，求 ；
（2）对（1）中 ，若 ， ，求 ；
（3）若 ， 纵坐标为 ， 的横坐标为 ，求 .
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可；
（ 2） 根 据 诱 导 公 式 得 ， 利 用 同 角 的 平 方 关 系 求 出 ，
结 合
和两角差的正切公式计算即可；
（3）根据三角函数的定义、同角的平方关系和二倍角的正余弦公式计算可得 、 ，
，结合 和两角差的余弦公式计算即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，且 ，点 A 在第三象限，
所以 ；
【小问 2 详解】
第 14页/共 20页由于 ，得 ，
即 ，又 ，
得 ，所以 ，
得 ，
所以 ，
得 ；
【小问 3 详解】
易知 ， ，
由 可知， ， ， ，
从而 ， ，由 ，
可知 ，所以 ，
从而 ，易知 ，
故
18. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生
甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供 48 万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款 120 万元（年
利率为 ）.已知该企业每月运行成本为 44000 元，该节能板的进价为每件 140 元，该店月销售量 （百
第 15页/共 20页件）与销售价格 （元）的关系如下图（每段图象为直线段， ， ， ）.
（1）请写出月利润 L 关于 P 的函数关系式；
（2）当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额；
（3）该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清
贷款至少需要几年
参考数据： ， ， ，
【答案】（1）
（2）当 元时，月利润余额最大为 20000 元
（3）最早可望在 11 年后还清
【解析】
【分析】（1）求出 与 的关系式，由题意可得 ，继而即可求解；
（2）由（1） 解析式，分 和 时讨论，结合二次函数的最值即可求解；
（3）设可在第 n 年还清，结合题意可得 ，代入参考数据计算继而可求解.
【小问 1 详解】
设该店月利润余额为 L，
则由题设得 ，
由图可得线段 的方程为： ， ，
即 ；
线段 的方程为： ， ，
第 16页/共 20页即 ；
所以 ，
所以 .
即 .
【小问 2 详解】
当 时， ，
所以当 元时， （元），
当 时， ，
当 元时， （元），
故当 元时，月利润余额最大为 20000 元；
【小问 3 详解】
设可在第 年还清，依题意有 ，
即 ，
的图象与 的图象至多有两个点，
又当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
可知函数 有两个零点 ， ，
当 时， ，
又 ，所以最早可望在 11 年后还清.
第 17页/共 20页19. 一般地，设 A，B 分别为函数 的定义域和值域，如果由函数 可解得唯一 也
是一个函数 即对任意一个 ，都有唯一的 与之对应 ，那么就称函数 是函数
的反函数，记作 在 中，y 是自变量，x 是 y 的函数.习惯上改写成
的 形 式 .比 如 ： 函 数 的 反 函 数 求 法 为 ： 第 一 步 ： 反
解 ：
， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数
值 域 为 ， 故 反 函 数 定 义 域 为 ， 反 函 数 为 记 函
数
的反函数为 ，且有函数 满足 其中 e 为自然对数
的底数
（1）求函数 ， ；
（2）若关于 x 的不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若关于 x 的方程 有两根 ， ，求 的最小值.
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据求反函数的步骤仔细计算即可求函数 ， 的解析式 ；
（2）令 ，则 ，原不等式等价于 在 上恒成立，分
三种情况讨论，分别利用函数单调性求最值，求出实数 的取值范围，综合三种情况可得答案；
（3）先通过换元结合韦达定理，可得满足 ， ，
则 可化为 ，再利用二次函数的性质可得答案.
第 18页/共 20页【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 的反函数是 ，
可知 ， .
【小问 2 详解】
由（1）可证 且 ，
因此 ，
令 ，可知 ，
即 在 上恒成立，
令 ，
当 ，可知 在 上单调递增，
，可知 ，
当 时，易知不符合，
当 时，可知 ，
只需要 且 ，
即 且 ，
第 19页/共 20页可知 ，
综上： 或
【小问 3 详解】
由 可知： ，
即 有两根 ， ，
令 ， ， ，
则 有两根 ， ，
满足 ， ，
可知 ， ，
因此
= ，
令 ，再令 ，
则 ， ，
易知当 时， ，故最小值为
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或
恒成立（ 即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最
值 或 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范
围.
