文档内容
2025 学年第一学期丽水五校高中发展共同体期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4.考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设命题 ，则 为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由特称命题否定的定义求解即可.
【详解】由特称命题否定的定义知， 为
故选：A
2. 下列各组表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，对应法则不同，BD选项，定义域不同，C选项，定义域和对应关系相同.
【详解】A选项， ，故不是同一函数，A错误；B选项， 的定义域为R， 的定义域为 ，
故不是同一函数，B错误；
C选项， ，且 的定义域都为 ，故是同一函数，C正确；
D选项， 的定义域为R， 的定义域为 ，D错误.
故选：C
3. 已知 ，则 的值为（ ）
A. 1或 B. 1 C. D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性可得.
【详解】因为 ，所以当 时，解得 ，此时 ，不符合集合元素的互异
性，舍去；
当 ，即 ，即 时，解得 或 （舍去），
又 时， ，此时集合为 ，符合题意，所以 ．
故选：C
4. 函数 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】换元再配方可得答案.
详解】令 ，则 ，
【所以 .
故选：D.
5. 已知函数 的图象如图所示，则 的函数解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域可以排除CD，利用特殊点的函数值排除A，可确定正确选项.
【详解】由图可知，函数的定义域为 ，
C项的定义域为 ，不合题意；
D项的定义域为 ，不合题意；
对A选项，因为 ，不符合函数图象.
故选：B
6. 已知函数 是幂函数，一次函数 的图像过点 ，则
的最小值是（ ）
A. 3 B. C. D. 5【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数定义，求出点 ，代入一次函数中，得到 ，再利用基本不等式求
的最小值.
【详解】由 是幂函数，可得 ， ，即 ， ，
又由点 在一次函数 的图像上，所以 ，
因为 ， ，所以由基本不等式，得
，
当且仅当 时取等号，即当 ， 时， ，
故选：B.
7. 奇函数 和偶函数 的图象分别如图1、图2所示，方程 和 的实根
个数分别 ， ，则 （ ）
A. 3 B. 7 C. 10 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】令 ， 得到 ，从而求出对应的解， ，同理可得
有4个解， ，得到答案.【详解】结合函数 图象可知 中，令 ，则 ，故 ，
结合 图象可知， 的根为0， 有2个根， 无解；
故 有3个解，故 ；
中，令 ，则 有2个根，不妨设 ，
当 ，即 ，此时 有2个解，
当 ，即 ，此时 有2个解，
故 有4个解，即 ，
综上， .
故选：B
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层
函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，
即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
8. 设函数 的最小值为 ，若 ，且 ， ，用
表示 中的最大数，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】按照 、 和分类讨论求解分段函数最值得 ，不妨设 ，由基
本不等式得 ，解出 的取值范围即可求解.【详解】当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
综上， ，故 ，所以 ，不妨设 ，则 ，
又 ， 所以 ， ，由基本不等式得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，即 的最小值为2.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若 ，则（ ）
.
A B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合 利用不等式性质判断ACD；举反例判断B.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，故A正确；
对于B， 时，满足 ，但是 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，
由 得 ，即 ，故C正确；对于D，因为 ，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
10. 对于实数 ，规定 表示不大于 的最大整数，如 ， ，那么不等式
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】解不等式得到 ，故 ， 或 ，从而得到 ，然后利用集合关
系判断充分不必要条件，即可得解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
因此 ， 或 ，
又因为 表示不大于 的最大整数，所以 ，即不等式 的解集为 .
因为 和 是 的真子集，故它们是 的充分不必要条件；
因为 是 的真子集，故 是 的必要不充分条件.
故选：AD
11. 已知正实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为2 B. 的最大值为1
C. 的最小值为4 D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合条件等式进行了最值证明，从而可判断ACD，对于B则举反例说明不成立.【详解】由 可得： ，
因为 ，所以 ，
解得 或 ，由于 ，所以 舍去，
即 ，此时取等号条件是 ，与 联立可解得： ，故A正确；
由 可得： ，
因为 ，所以
，
又因为 ，所以解得 ，
此时取等号条件是 ，与 联立可解得： ，故C正确；
由 可得： ，由 ，可得 ，
则 ，
此时取等号条件是 ，即 ，故D正确；
取 ，可得 ，故B错误；
故选：ACD．
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 的定义域为_______
【答案】 且
【解析】【分析】利用函数有意义列不等式求解.
【详解】由题意得 ，
则函数定义域为 且 .
故答案为 且 .
13. 设 ，若 ，则 ______．
【答案】 或0
【解析】
【分析】根据分段函数，分 和 两种情况即可求解.
【详解】由题意有：当 时，即 时， ，解得 ；
当 时，即 时， ，解得 ，
所以 或 .
故答案为： 或0.
14. 已知对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值集合为
__________.
【答案】
【解析】
【
分析】利用分类讨论思想，分 和 两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,
可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案.
【详解】当 时，由 ，可得 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立，此时 不存在；
当 时，由 对任意的 恒成立，
作出 的大致图象，如图所示：
由题意可知 ，又 整数，
是
所以 或 或 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用补集和交集的定义可得出集合 ；（2）求出集合 ，分 、 两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数 的不等
式（组），综合可得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
因为 ， ，所以 ，
因此 .
【小问2详解】
因为 ， ，所以 ，
当 时， ，解得 ，满足题意；
当 时， ，解得 ，
因为 ，画出数轴图，
可得 ，解得 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
16. 已知函数 ．
（1）当 时，函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；（2）当 时，求不等式 的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质得到 ，解得即可；
（2）分 、 两大类，当 时 ，再分 、 、 、
四种情况讨论，分别求出不等式 的解集.
【小问1详解】
当 时 ，
又 在区间 上单调递增，所以 ，解得 ，
即 的取值范围为 ；
【小问2详解】
当 时，则 ，则 ，
对于 ，即 ，解得 ；
当 时， ，则 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ，解得 或 ；当 时不等式化为 ．
当 ，即 时，解得 ，
当 ，即 时，解得 ，
当 ，即 时，解得 ，
综上所述，当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ．
17. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道
公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆
通行能力，研究了该隧道内的车流速度 （单位:千米/小时）和车流密度 （单位:辆/千米）所满足的关系
式: ，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的
车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度 不小于20千米/小时，求车流密度 的取值范围；（2）隧道内的车流量 （单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足 ，求隧道内车流量
的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.
【答案】（1）
（2）隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时,此时车流密度约为75辆/千米.
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的性质，列不等式即可求解，
（2）根据基本不等式求解函数的最值即可求解.
【小问1详解】
由 可得
当 时， ，符合题意，
当 时，令 ，可得 ，
综上可得
【小问2详解】
由题意得 ，
当 时, 为增函数,所以 ,当 时等号成立;
当 时， ，
，
故 ,
当且仅当 ，即 时等号成立.
由于所以,隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米.
18. 已知定义在 上的奇函数 满足 ．
（1）求 的解析式，并写出 的单调区间（不需证明）；
（2）解不等式 ；
（3）设 为方程 的两个非零实根，若 ，使不等式
成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，递减区间为 ， ，递增区间为 ，
（2） 或 或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义及 列方程求得 ， ，则 ，写出单调区间，
并用定义法证明即可；
（2）去掉绝对值得 ，结合 ，利用函数单调性
得 或 ，然后解二次解不等式即可；
（3）由题意 为 的两个非零实根，利用韦达定理将问题转化 ，使 ，利用二次函数性质求解最值即可.
【小问1详解】
为奇函数， ，即 ，
，即 ．又 ，即 ，解得 ，
．
的递减区间为 ， ，递增区间为 ， ．
证明如下：
任意 ， ，且 ，则
，
当 ，且 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递减.
当 ，且 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递增.
根据奇函数性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 的递减区间为 ， ，递增区间为 ， ．
【小问2详解】， ．
，
由函数单调性可知 或 ，
即 或 ，
解得 或 或 ，
不等式 的解集为 或 或 ．
【小问3详解】
．
则 也 为 的 两 个 非 零 实 根 ， 且 1 不 是 此 方 程 的 根 ， 则
．
则 ．
因为 ，使 ，所以 .
19. 已知二次函数 ．（1）若 ，且 在 上有两个互不相同的实数根，求 的取值范围；
（2）若 的解集为 ， ，对于 ， ，使得
成立，求实数 的取值范围；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数根的分布列不等式组求解即可；
（2）根据不等式得解 ，则 ，由题意 ，按照
、 和 分类讨论，利用最小值列不等式求解即可；
（3）根据二次型恒成立求得 ，求得 ，令 ， ，按
照 和 分类讨论，即可求解最大值．
【小问1详解】
，则 ，
因为 在 上有两个互不相同的实数根，所以 ，解得 ．
【小问2详解】
由 的解集为 ，则 ，即 ，
故 ，
令 ， ，且 ， ，
要使 ，总 ，使得 成立，
所以，只需 ，而 的对称轴为 ，
①当 ，即 时，只需 ，即 ，
②当 ，即 时，只需 ，即 ，不符合条件，
③当 ，即 时，只需 ，即 ，不符合条件，
综上， ．
【小问3详解】
若对任意 ，不等式 恒成立，
整理得 恒成立，显然 ，所以 ，则 ，
所以 ．
令 ，因为 ，所以 ，
若 时，此时 ．
若 时， ，
当且仅当 时，即 时，上式取得等号，
综上： 的最大值为 ．
