文档内容
唐山市 2024－2025 学年度高一年级第一学期期末考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式可得结果.
【详解】 .
故选：A.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 ，根据交集运算直接求解即可.
【详解】由题知， ，所以 .
故选：B
3. 设命题 ， ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】命题的否定，量词和结论都要改变，条件不变.
【详解】命题 ， 的否定 ： ， ，
故选：C.
4. 设函数 ，则 的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由零点存在性定理逐一判断即可.
【详解】因为 和 为增函数，所以 也为增函数，因为
， ，所以根据零点存在性定理可知 的零点一定位于区间
内.
故选：C.
5. 已知幂函数 的图象过点 ，则下列关于 的说法正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 的定义域为 D. 在 上单调递增【答案】D
【解析】
【分析】求出幂函数 的解析式，利用幂函数的基本性质逐项判断，即可得出合适的选项.
【详解】因为函数 为幂函数，设 ，则 ，解得 ，
所以， ，所以，函数 的定义域为 ，
函数 为非奇非偶函数，且该函数在 上单调递增，ABC都错，D对.
故选：D.
6. 若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用三个二次的关系推得方程 有两根为 和4，由韦达定理求出 ，代入所
求不等式，求解即得.
【详解】由题意，方程 有两根为 和4，
故由韦达定理， ，解得 ，
则不等式 即 ，解得 或 .
.
故选：D
7. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】依题意， ， ， ，
所以 .
故选：C
8. 已知 ，若 ， ，则 是 的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求出命题 、 ，再根据充分不必要条件定义判断可得答案.
【详解】由 得 ，解得 ，则 ，
由 得 ，则 ，
所以若 成立，则 成立，
但 成立，但 不一定成立，
则 是 的充分不必要条件.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，则关于 的说法正确的有（ ）
A. 最小正周期为B. 图象关于直线 对称
C. 图象关于点 对称
D. 向左平移 个单位长度得到 的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】由 的性质及图形变换判断即可.
【详解】由 可知周期为 ，故A正确；
函数 的对称轴：由 ，可得 ，故B错误；
函数 的对称中心：由 ，得 ，
当 时， ，故对称中心为 ，故C正确；
函数 向左平移 个单位长度得 ，故D错误，
故选：AC
10. 下列命题为真命题的有（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 的最小值为2 D. 的最大值为5
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断即可；对于BC：举反例说明即可；对于D：利用基本不等式分析求解.
【详解】对于选项A：因为 ，则 ，
可得 ，故A正确；
对于选项B：例如 ，则 ，故B错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可知2不为 的最小值，故C错误；
对于选项D：因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
可得 ，
所以 的最大值为5，故D正确；
故选：AD.
11. 已知函数 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A. 在 上单调递增 B. 为奇函数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据 和 为增函数可直接判断 的单调性；对于B，利用奇函数的定
义即可判断；对于C和D，只需分别化简计算等式两边解析式即可判断.
【详解】对于A，由 ，因 与 在 上均为增函数，故 在 上单调递增，即A正确；
对于B，不妨记 ，函数定义域为 ，
且 ，即 为奇函数，故B正确；
对于C，因 ，而 ，
故 ，即C错误；
对于D，因 ， ，
故 ，即D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：对于给定函数，判断其单调性和奇偶性等性质的问题，一般从单调性和奇偶性定义出
发进行推理判断，有些函数，还可根据其组成的函数单调性，直接判断其单调性，在判断等式时，需要整
体处理意识.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式，直接求解定义域即可.
【详解】由题知， 且 ，
所以 且 ，
即函数 的定义域是 .故答案为：
13. 已知 ，且 为第二象限角，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数 ，及 之间的关系，得到答案.
【详解】 ，且 为第二象限角， ， ，
， ， ， ， .
故答案为：
14. 已知函数 ，则 ______；若关于 的方程 有4个不等
的实数根，则 的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得 的值，进而计算可得 的值，可得第一空答案；
对于 ，设 ，则 ，求得 的取值范围，结合函数的图象分析 解的
情况即可求解．
【详解】依题意， ， ；
令 ， ，当且仅当 时取等号，则 或 ，当 或 时，方程 有两个相等的根，
当 或 时，方程 有两个同号且不相等的实根，
方程 化为 ，而 ，
当 时， 在 上递减；当 时， 在 上递减，
因此由方程 有4个不等的实数根，得方程 在 上各有一个实根，
则函数 在 的图象与直线 有两个交点，如图：
观察图象知，当 时，直线 与 在 的图象有两个交点，
所以 的取值范围是 .
为
故答案 ： ；
【点睛】思路点睛：令 并求出值域，把问题转化为方程 在 上各有一个
根，数形结合求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）1 （2）3【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，再逆用和角的正弦公式计算即得；
（2）利用换底公式和对数的运算性质计算即得.
【小问1详解】
【小问2详解】
.
16. 已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 ，求 的值域.
【答案】（1） ， .
（2） .
【解析】
【分析】（1）化简 ，结合复合函数单调性求解即可.
（2）由题知 ，由整体思想进而可得 的值域.
【小问1详解】
，令 ， ，解得 ， .
所以 的单调递减区间为 ， .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
当 时，即 时， 取得最大值，最大值为 ；
当 时，即 时， 取得最小值，最小值为 .
所以 的值域为 .
17. 已知函数 且 .
（1）求 的定义域；
（2）判断 的奇偶性，并说明理由；
（3）若 ，求满足 的 的取值集合.
【答案】（1）
（2）偶函数，理由见解析
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据对数的真数大于零，可得出关于 的不等式组，由此可解得函数 的定义域；
（2）利用函数 奇偶性的定义可得出结论；（3）由 求出 的值，可得出函数 的解析式，分析函数 的单调性，结合
可得出关于 的不等式，解之即可.
【小问1详解】
对于函数 且 ，
由 解得 ，故函数 的定义域为 .
【小问2详解】
函数 为偶函数.理由如下：
函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，故函数 为偶函数.
【小问3详解】
依题意 ，
若 ，则 ，解得 .
设 ， ，
因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
又 在其定义域内单调递增，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
因为 ，所以 ，解得 ，所以 的取值集合为 .
18. 已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 在区间 上的最小值；
（3）设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，求实数 的取
值范围.
【答案】（1）
（2） .
（3） .
【解析】
【分析】（1）由 代入可得；
（2）设 ，换元后利用二次函数的性质可得；
（3）先将条件转化为 ，因 ，故 对任意的
恒成立，即 在 上恒成立，进而可得.
【小问1详解】
由 ，得 ，即： ，解得 .
【小问2详解】
当 时， ，令 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， 取最小值 ，所以 在区间 上的最小值为 .
【
小问3详解】
若对任意的 ，总存在 ，使得 ，
可得： .
又因为 ，所以对任意的 ， ，
则 对任意的 恒成立，
即 ，即 ，令 ， .
因为 在区间 上为增函数，所以
所以实数 的取值范围是 .
19. 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形 的四个顶点
都落在边界上.经过测量，在扇形 中， ， ，记 ，共设计了两个
方案：
方案一:如图1，点 在半径 上，点 在半径 上， 是扇形弧上的动点，此时矩形 的面
积记为 ；方案二:如图2，点 分别在半径 和 上，点 ， 在扇形弧上， ，记此时矩形
的面积为 .
（1）分别用 表示两个方案中矩形 的面积 , ；
（2）分别求出 , 的最大值，并比较二者最大值的大小.
【 答 案 】 （ 1 ） ， ，
， .
（2） ， ， .
【解析】
【分析】（1）结合图形，按照方案一和二，分别将 用 的三角函数表示，即得 和 的表达式；
（2）利用三角恒等变换公式和方法将 分别化成正弦型函数，利用正弦函数的性质求其最大值，通过
作差法比较大小即得.
【小问1详解】
如图1，在 中， ， ，所以 ， .
在 中， ， .
则 ， .
如图2，过点 作 于点 ，过点 作 的垂线，交弧 于点 ，
在 中， ， ，所以 ， .
由扇形和矩形的对称性可得， ，
则在 中， ，则 ，
， .
则 ， .
【小问2详解】由 ，得 ， .
方案一：
当 时，即 时， 取最大值，最大值为 .
方案二：
所以当 时，即 时， 取最大值，最大值为 .
因为 ，
所以 .
【点睛】思路点睛：对于三角函数的实际应用题，一般解题思路为，选设角为自变量，将相关边长，夹角，
面积等相关量用该角的三角函数表示，借助于三角恒等变换有关公式将其化成正弦型函数或余弦型函数，
利用三角函数的图象性质求解即可.
