文档内容
高一年级期中考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：C
2. 已知集合 ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，分析集合 的端点值，知 ，求解即可
【详解】由题意可得 ，解得 ．
故选：B.3. 函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数的对称轴与区间的关系即可判断.
【详解】 的对称轴为： ，
由题意可得 ，解得 .
故选：D
4. 已知不等式 的解集是 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，借助韦达定理，列方程组，从而求得.
【详解】由题意可得 解得 ， ，则 .
故选：A.
5. 甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（
）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即得.
【详解】若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军，
所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.故选：B
6. 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，即可求解.
【详解】因为函数 的定义域是 ，
所以由 ，可得 ，即函数 的定义域是 .
故选：C
7. 若 ，则 有（ ）
A. 最小值4 B. 最小值2
C. 最大值 D. 最大值
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】 .
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
则 ，即 有最大值 .故选：D.
8. 已知函数 ，若不等式 成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，验证其为奇函数，再将问题转化为 ，然后由单调性解抽象
函数不等式即可；
【详解】设 ，则 ，故 是奇函数．
不等式 等价于不等式
即不等式
因为 是奇函数，所以
易证 是 上的减函数，则 ，即 ，解得 ．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】举反例可说明选项A，B，D符合题意；由函数 在 上为增函数可得选项C不符合题意.
【详解】当 ， ， 时， ，A符合题意.
当 ， ， 时， ，B符合题意.函数 在R上为增函数，由 得 ，C不符合题意.
当 ， ， 时， ，D符合题意.
故选：ABD.
10. 已知 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由不等式的性质及基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为 ，所以 .因为 ， ，所以 ，则A正确.
因为 ，所以 .因为 ， ，所以 ，则B正确.
因为 ， ，且 ，所以 ，解得 ，当且仅当 时，等号
成立，则C错误.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成
.
立，则D正确
故选：ABD
11. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，则（
）
A.B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 中心对称
D. 当 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，赋值计算判断AB；利用奇函数的性质求解判断CD.
【详解】在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，
对于A，由 ，得 ，A正确；
对于B， ， ，函数 的图象不关于直线 对称，B错误；
对于C，由 ，得 ，则 ，
因此函数 的图象关于点 中心对称，C正确；
对于D， ，当 时， ，设 ，则 ，
于是 ，因此 ，
所以 ，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 则 ______.
【答案】11
【解析】
【分析】由解析式即可直接求解.
【详解】由题意可得 ，则 .
为
故答案 ：1113. 已知某商品的原价为 元，由于市场原因，先降价 出售，一段时间后，再提价
出售，则该商品提价后的售价______该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”）
【答案】低于
【解析】
【分析】根据已知第一次降价后的售价为 元，第二次提价后的售价为 元，
再计算判断即可.
【详解】第一次降价后的售价为 元，第二次提价后的售价为 元.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即该商品提价后的售价低于该商品的原价.
故答案为：低于.
14. 设函数 ，即 表示函数 ， 中的较大者.已知函数
， ，若 的值域为 ，则 ______.
【答案】3或
【解析】
【分析】由 ，解得 或 .再结合二次函数对称轴 或 两种情况讨
论即可.
【详解】因为 的值域为 ，所以 ，解得 或 .
，对称轴为： ，图像恒过
当 时，因为 的值域为 ，
所以当 时， ，解得 ；当 ，因为 的值域为 ，
所以当 时， ，解得 .
综上， 或 .
故答案为：3或 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求 的取值范围.
.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）把 代入，利用并集、交集的定义直接求解.
（2）利用给定的交集结果，列式求出.
【小问1详解】
当 时， ，而 ，
则 ， .
【小问2详解】
由 ，得 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
16. 已知幂函数 是奇函数.
（1）求 的解析式；（2）若不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由幂函数的概念及奇函数即可求解；
（2）由函数单调性即可求解.
【小问1详解】
因为 是幂函数，所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 .
当 时， ，此时 ，所以 是奇函数，则 符合题意；
当 时， ，此时 ，所以 是偶函数，则 不符合题意.
故 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，所以不等式 ，即不等式 ，
因为 为增函数，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，即 的取值范围是 .
17. 已知 ， ，且 .
（1）证明： .
（2）求 的最小值.
【答案】（1）证明见解析（2）16
【解析】
【分析】（1）由基本不等式即可直接求证；
（2）由乘“1”法即可求解.
【小问1详解】
4 1 √ 4 1 4
证明：由基本不等式可得 + ≥2❑ ⋅ = ，
a2 b2 a2 b2 ab
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因为 ， ，且 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 .
故 ，当且仅当 时，等号成立.
【小问2详解】
解：因为 ，所以 .
因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 ，所以 ，
则 ，即 的最小值是16.18. 已知 是定义在 上的函数， ， ， ，且当 时，
.
（1）求 的值.
（2）证明： 是 上的减函数.
（3）若 ，求不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3） .
【解析】
【分析】（1）赋值法计算即可；（2）运用定义法证明单调性；（3）运用单调性解不等式即可.
【小问1详解】
解：令 ，得 ，则 .
【小问2详解】
证明：设 ， ，且 ，则 .
因为 ，所以 .
当 时， ，所以 ，所以 ，
的
则 是 上 减函数.
【小问3详解】
令 ，得 .
令 ， ，得 .
因为 ，所以 ，所以 ，则不等式 等价于不等式
.
由（2）可知 是 上的减函数，则
解得 ，即不等式 的解集为 .
19. 已知 是定义在 上的函数，对任意的 ，存在常数 ，使得 恒成立，则称
是 上的受限函数， 为 的限定值.
（1）若函数 在 上是限定值为8的受限函数，求 的最大值.
（2）若函数 ，判断 是否是受限函数.若是，求出 的限定值 的最小值；
若不是，请说明理由.
（3）若函数 在 上是限定值为11的受限函数，求 的取值范围.
【答案】（1）7 （2）是，7
（3） .
【解析】
【分析】（1）求得函数值域，结合新定义构造不等式即可求解；
（2）求得函数值域，即可判断；
（3）由题意得到 在 上恒成立，通过参变分离，基本不等式求最值，即可求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 .因为 在 上是限定值为8的受限函数，所以 ，
解得 ，则 的最大值为7.
【小问2详解】
由题意可得 ，解得 .
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 是 上的受限函数，且 的限定值 满足 ，
故 的限定值 的最小值为7.
【小问3详解】
因为 在 上是限定值为11的受限函数，所以 在 上恒成立，即
在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因为 ，所以 ，即 的取值范围为 .
