第02讲函数及其图像（讲练，3考点+9题型38考向（含3种解题技巧）+命题预测）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_讲义+练习

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模块一 数与代数基础
第 02 讲 函数及其图像
（思维导图+3考点+9题型38考向（含3种解题技巧））
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 函数图像信息
►题型01 实物与函数图像
考向一 根据函数图像，选择实物图形
考向二 根据实物图形，选择函数图像
考向三 根据实物图形，结合函数图像计算
考向四 根据实际描述，判断函数图像
►题型02 从函数图像中获取信息
考向一 行程问题-单函数问题
考向二 行程问题-双函数问题
考向三 其它问题-学科应用问题
考向四 其它问题-跨学科问题
►题型03 动点与函数图像
考向一 线段长为函数
考向二 面积为函数
考向三 线段比为函数
考向四 线段和为函数
考点二 反比例函数
►题型01 比较变量的大小
考向一 已知x，比较y的大小
考向二 已知y，比较x的大小
►题型02 求取值范围
考向一 求y的取值范围
考向二 求x的取值范围
考向三 求参数的取值范围
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►题型03 反比例函数与不等式
考向一 单曲线与不等式
考向二 双曲线与不等式
►题型04 反比例函数与几何结合
考向一 反比例函数与等腰三角形
考向二 反比例函数与直角三角形
考向三 反比例函数与平行四边形
考向四 反比例函数与矩形
考向五 反比例函数与菱形
考向六 反比例函数与正方形
考向七 反比例函数与圆
►题型05 反比例函数与几何结合
考向一 求解析式
考向二 求面积
考向三 求最值
考点三 二次函数
►题型01 二次函数的多结论问题
考向一 二次函数性质的运用
考向二 二次函数各系数之间的关系
考向三 函数值的比较大小
考向四 一元二次方程根的判断
考向五 一元二次方程根的分析
考向六 一元二次方程根的分布
考向七 二次函数与不等式
考向八 分析含绝对值的二次函数
考向九 二次函数与最值
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01考情透视·目标导航
中考考
命题预测
点
随着教育改革的不断深入，中考数学的命题趋势也在悄然发生变化。函数作为初中数学的核心内容
之一，每年都是中考的重点考查对象。以下是对函数在中考中的命题预测，旨在帮助考生更好地备考。
1. 降低难度，注重基础：近年来，中考数学试卷在函数部分的难度有所降低，更加注重对基础知识和基
本技能的考查。
2. 结合实际，贴近生活：中考函数试题越来越注重与实际生活的联系，通过创设现实生活情境，考查学
生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 注重探究，强调能力：中考函数试题注重考查学生的探究能力和创新意识。
函数图 4. 跨学科融合，综合考查：函数试题常常与方程、几何、一次函数等其他数学知识联系在一起，综合考
像信息 查学生的知识整合能力和综合运用能力。
【备考建议】1. 夯实基础，掌握双基：考生要系统复习函数的基础知识，包括函数的概念、图像、性质
等，确保对基本概念和基本技能熟练掌握。
2. 注重实践，提高应用能力：考生要多做与生活实际相关的函数题目，学会从具体情境中抽象出数学问
题，并用函数知识解决。
3. 培养探究能力，增强创新意识：考生要注重培养自己的探究能力和创新意识，多做开放性和探究性题
目，学会独立思考和解决问题。
4. 跨学科整合，提升综合能力：考生要注重函数与其他数学知识的联系，学会将不同知识整合起来解决
问题，提高综合运用能力。
函数的 函数在中考中的命题趋势逐渐向注重基础、联系实际、强调探究和跨学科融合的方向发展。考生在
性质 备考过程中要注重基础知识的掌握和实践应用能力的培养，同时要培养探究能力和创新意识，才能在中
考中取得优异的成绩。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 函数图像信息
►题型01 实物与函数图像
考向一 根据函数图像，选择实物图形
1．（2024峰峰矿区模拟）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时
间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象的走势：陡，较缓，较陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越
粗的容器上升高度越慢，从而得到答案．
【详解】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快，
所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的
关键．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（
）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
根据函数图象分析即可．
【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运
动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
考向二 根据实物图形，选择函数图像
3．（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容
器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y（单位：帕），时间为x（单位：秒），则y关于
x的函数图象大致为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面
高度h随时间x变化而分两个阶段．
【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度h随时间x的增大而增长缓慢，用时
较长，即压强y随时间x的增大而增长缓慢，用时较长，
最上面容器最小，则压强y随时间x的增大而增长变快，用时最短．
故选：B．
4．（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，
直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y （细实线）表示铁桶中水面高度，y （粗实线）
1 2
表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内
均无水），则y ,y 随时间t变化的函数图象大致为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】解：根据图象知，t=t 时，铁桶注满了水，0≤t≤t ，y 是一条斜线段，t>t ，y 是一条水平线
1 1 1 1 1
段，
当t=t 时，长方体水池开始注入水；当t=t 时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变
1 2
得平缓；当t=t 时，长方体水池满了水，
3
∴y 开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
2
观察函数图象，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的
类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
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考向三 根据实物图形，结合函数图像计算
5．（2024·山东临沂·二模）如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内
注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需
要的时间为 秒．
【答案】15
【分析】本题考查函数图象的分析，理解并根据图象中的数据进行解答是关键．本题根据水位上升时是匀
速，并结合数据可得注水速度，再计算即可．
【详解】解：根据题意10s之后水杯内水的高度开始匀速增加，
∵10~12s内注水4cm，
4
∴每秒注水： =2(cm)，
12−10
根据图可得注满水时的高度为10cm，
10
所以从10s开始到注满水需 =5(s)，
2
从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为10+5=15(s)，
故答案为：15．
6．（2024·贵州贵阳·一模）如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为25cm2，5cm2，容
1
器B的容积是整个容器容积的 （容器各面的厚度忽略不计），现以速度v(cm3 /s)均匀地向容器注水，直
3
至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h(cm)与注水时间t(s)的函数图象．下列判断中正确的
是（ ）
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A．注满整个容器至少需要20s B．容器B的容积为40cm3
C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为20cm3/s
【答案】D
【分析】根据函数的图象得到注满整个容器至少需要15s，容器A的高为8cm，10s时注满容器A；再根据
容积公式来解答．
本题考查了函数的图象，解题的关键是从图象中获得信息，再计算出容器的容积来进行分析解答．
【详解】解：根据函数图象得到注满整个容器至少需要15s，故A不符合题意；
根据函数图象得到容器A的高度是8cm，所以容器A的容积是25×8=200cm3，容器B的容积是容器A的
容积： 1 ÷ ( 1− 1) = 1 ，所以容器B的容积是200× 1 =100cm3 ，故B选项不符合题意；
3 3 2 2
100÷5=20cm，20÷8=2.5，故C不符合题意；
200÷10=20cm3/s，故D符合题意，
故选：D
考向四 根据实际描述，判断函数图像
7．（2023·江苏·中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①
开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环
进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次2×50m的折返跑，用时18s在整个过程中，他的速度大小v
（m/s）随时间t（s）变化的图像可能是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．
【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①，
由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，
故他的速度大小v（m/s）随时间t（s）变化的图像可能是D．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要
的条件，结合实际意义得出正确的结论．
8．（2024·河南郑州·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P
（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，
那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是（ ）
V（单位：立方
64 48 38.4 32 24 …
米）
P（单位：千帕） 1.5 2 2.5 3 4 …
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数
【答案】D
【分析】根据所给出的数据和常识可直接判断．此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实
际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．
【详解】解：由题意可知，64×1.5=96；48×2=96；38.4×2.5=96；32×3=96；24×4=96，…
96
由此可得出P和V的函数关系是为：P= ．
V
故选：D．
►题型02 从函数图像中获取信息
根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：
1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；
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3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.
考向一 行程问题-单函数问题
9．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄
果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
【答案】D
【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．
【详解】解：x=0时，y=200，因此小星家离黄果树景点的路程为50km，故A选项错误，不合题意；
x=1时，y=150，因此小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，故B选项错误，不合题意；
x=2时，y=75，因此小星从家出发2小时离景点的路程为75km，故C选项错误，不合题意；
150−75
小明离家1小时后的行驶速度为 =75km/h，从家出发2小时离景点的路程为75km，还需要行驶1
2−1
小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了3h，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．
10．（2024·河南濮阳·三模）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为
1600cm，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的
小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向
挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为
y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（ ）
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55 75 56
A． B． C． D．18
3 4 3
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，由题意可知小球P从A出发正好到达B处时所用
的时间为16s，从而求出P、Q的速度，进而列出关于t的一元一次方程100(t−16)+60t=1600−200，
求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由图2可知，小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为16s，
∴小球P的速度为：1600÷16=100(cm/s)，
Q的速度为：[1600−(20−16)×100]÷20=60(cm/s)，
当x=t时，y=200，
又∵16<t<20，
∴100(t−16)+60t=1600−200，
75
解得：t= ，
4
故选：B．
考向二 行程问题-双函数问题
11．（2023·山东聊城·中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘
快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，
则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
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A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标
即可．
【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为
70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应函数图象的解析式为y =k t，
1 1
a
将(70,a)代入解析式得a=70k ，解得k = ，
1 1 70
a
∴小亮对应函数图象的解析式为y = t，
1 70
设小莹对应函数图象的解析式为y =k t+b，
2 2
将(10,a)，(40,0)代入解析式，得¿，
解得¿，
a 4
∴小莹对应函数图象的解析式为y =− t+ a，
2 30 3
a a 4
令y = y ，得 t=− t+ a，
1 2 70 30 3
解得t=28，
∴小亮与小莹相遇的时刻为8:28．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练
运用数形结合思想．
12．（2022·黑龙江绥化·中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家
出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y
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（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（
）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【答案】C
【分析】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，
再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可．
【详解】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0）
设AE的解析式为y=kx+b，则¿ ，解得¿
a
∴直线AE的解析式为y= x-a
4
a a
同理：直线AF的解析式为：y=- x+3a,直线OD的解析式为：y= x
4 12
联立¿ ，解得¿
联立¿ ，解得¿
两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题
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的关键．
考向三 其它问题-学科应用问题
13．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程
中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单
价是20元时，则当日的销售利润为（ ）
A．200元 B．300元 C．350元 D．500元
【答案】B
【分析】根据题意，利用待定系数法求出x与y的一次函数关系式，然后将x=20代入即可求出销售量，最
后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润．
【详解】解：设x与y的一次函数关系式为y=kx+b，
由图可得¿，
解得¿，
所以x与y的一次函数关系式为y=−2x+100，
把x=20代入y=−2x+100可得y=60，
所以销售利润为60×20−60×15=300（元）．
故选B．
【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关
键．
14．（2023·湖北武汉·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，如图是甲、
乙两个蓄水池中水的高度y (单位：米)，y (单位：米)随注水时间x（单位：小时）变化的图象．当甲、
甲 乙
乙两池水的高度相同时，其相同的高度是（ ）
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A．2.4米 B．3米 C．3.2米 D．3.6米
【答案】C
【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式，联立两个函数解析式，即可求交点P的坐标，
点P的纵坐标即为所求．
【详解】解：根据图象设y =k x+4，y =k x+2，
甲 1 乙 2
∵图象分别过点(3,0)和(3,8)，
4
∴3k +4=0，3k +2=8，解得：k =− ，k =2，
1 2 1 3 2
4
则甲、乙两个长方体蓄水池的函数解析式分别为：y =− x+4，y =2x+2，
甲 3 乙
联立¿，解得：¿，
即当甲、乙两池水的高度相同时，其相同的高度是3.2米，
故选：C．
【点睛】此题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容，解
题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．
考向四 其它问题-跨学科问题
15．（2024·湖北宜昌·模拟预测）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实
验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示
数F （单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是
拉力
（ ）
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A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
22
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底 cm
3
【答案】C
【分析】本题考查函数图象．关键是得到图象中关键点表示的意义．用到的知识点为：浮力=重力−拉力．
图2中点(0,4)表示铁块未移动时，拉力为4N，那么铁块的重力为4N，此时铁块下表面与烧杯上端平齐；
因为水平面保持不变．那么AB段铁块移动的距离即为铁块的高度，为10−6=4cm，可判断A正确，不符
合题意；(6,4)表示铁块向下移动6cm时，拉力为4N，此时铁块下表面与水面平齐；铁块继续向下移动，
水向外流出，水平面保持不变．(10,2.5)表示铁块上表面刚好浸入水中，拉力为2.5N．烧杯高度为16cm，
铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了6cm，所以烧杯内水的高度为10cm，可判断B正确，不符合题意；
当铁块下降高度为8cm时，由于出水口的存在，由图2可知，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为
4+2.5
=3.25N，那么所受到的浮力=重力−拉力为4−3.25=0.75N，故C错误，符合题意；设F=kx+b，
2
3 25 3 25 26 26 22
代入(6,4),(10,2.5)，得F=− x+ ，将F=3代入F=− x+ ，得x= ，16− = ，故D正确，
8 4 8 4 3 3 3
不符合题意；．
【详解】解：∵烧杯有出水口，
∴水平面在铁块下移过程中保持不变．
∴铁块的高度为AB段铁块移动的距离为10−6=4cm，故A正确，不符合题意；
∵烧杯高度为16cm，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了6cm，
∴烧杯内水的高度为10cm，故B正确，不符合题意；
∵当铁块下降高度为8cm时，铁块的一半刚好浸入水中，
4+2.5
∴拉力的大小为 =3.25N，
2
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∵铁块的重力为4N，
∴铁块所受到的浮力为4−3.25=0.75N，故C错误，符合题意．
3 25 3 25 26
设F=kx+b，代入(6,4),(10,2.5)，得F=− x+ ，将F=3代入F=− x+ ，得x= ，
8 4 8 4 3
26 22
16− = ，故D正确，不符合题意
3 3
故选：C．
16．（2024·河北沧州·三模）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识
的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用pH值表示溶液酸碱
性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么
在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象，根据NaOH溶液呈碱性，pH>7，以及将给定的NaOH溶液加水稀释，
pH值逐渐接近7，即可判断出NaOH溶液的pH值与所加水的体积V之间对应关系的图象．
【详解】解：∵ NaOH溶液呈碱性，
∴ pH>7，
∵将给定的NaOH溶液加水稀释，
∴ pH值逐渐减小，逐渐接近7，
故选：B．
►题型03 动点与函数图像
考向一 线段长为函数
17．（2024·山东烟台·二模）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2
是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则cos∠ACB
为 ．
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3
【答案】 /0.6
5
【分析】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数，结合图形和图象得到线
段长度，利用数形结合思想是解决本题的关键．
根据图象可知点P在BC上运动时，BP不断增大，当点P到达C时，y有最大值，从C向A运动时，BP先
变小后变大，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，AC边上的高为4（此时BP=4），根据勾股定
理求出这时CP=3，再由直角三角形三角函数求出答案．
【详解】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B运动到C时，y最大值为5，即BC=5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时y最小，即BP⊥AC，BP=4，
如图：当BP⊥AC时，
∴CP=√BC2−BP2=√52−42=3，
PC 3
∴cos∠ACB= = ，
BC 5
3
故答案为： ．
5
18．（2024·山东临沂·一模）如图1，动点P从A点出发，沿着矩形ABCD的边，按照路线
A→B→C→D→A匀速运动一周到A点停止，速度为1cm/s．AP的长y(cm)与运动时间t(s)的关系图
象如图2，则矩形对角线AC的长为 ．
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【答案】5cm
【分析】本题考查了矩形的性质，动点问题的函数图象，利用了数形结合的思想，解答本题的关键是读懂
题意，从图象的变化与动点运动位置的改变确定动点的所需关系量．
当0≤x<4、4≤x<7两段，分别求得矩形的边长再用勾股定理即可得解．
【详解】解：根据题意，结合函数图象，可知：
当0≤x<4时，点P在AB上运动；
当x=4时，点P运动到点B，即AB=1×4=4(cm)；
由图知，点P在AB，CD上运动时间均为4s，则在BC上运动了3s，
即由A到C运动了7s；
当4≤x<7时，点P在BC上运动；
当x=7时，点P运动到点C，即CB=1×(7−4)=3(cm)．
在矩形ABCD中，AB=4，CB=3，则AC=√AB2+CB2=√42+32=5(cm)，
故答案为：5cm．
考向二 面积为函数
19．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的
高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE=x，四边形DEBF的面积为
y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作
EH⊥AC于点H，由勾股定理求出AC，根据等面积法求出BD，先证明△ABC∽△ADB，由相似三角
AB AC
形的性质可得出 = ，即可求出AD，再证明△AED∽△BFD，由相似三角形的性质可得出
AD AB
S
△AED=
(AD) 2
，即可得出S =4S ，根据S =S −S −(S −S )，代入可
S BD △AED △BFD 四边形DEBF △ABC △AED △BDC △BDF
△BFD
得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值．
【详解】解：过点E作EH⊥AC于点H，如下图：
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=√AB2+BC2=2√5，
∵BD是边AC上的高．
1 1
∴ AB⋅BC= AC⋅BD，
2 2
4
∴BD= √5，
5
∵∠BAC=∠CAB，∠ABC=∠ADB=90°，
∴△ABC∽△ADB，
AB AC
∴ = ，
AD AB
8√5
解得：AD= ，
5
8√5 2√5
∴DC=AC−AD=2√5− = ，
5 5
∵∠BDF+∠BDE=∠BDE+∠EDA=90°，∠CBD+∠DBA=∠DBA+∠A=90°，
∴∠DBC=∠A，∠BDF=∠EDA，
∴△AED∽△BFD，
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2
8√5
( )
∴
S
△AED=
(AD) 2
=
5
=4，
S BD 4√5
△BFD
5
∴S =4S ，
△AED △BFD
∴S =S −S −(S −S )
四边形DEBF △ABC △AED △BDC △BDF
1 1 1 1
= AB⋅BC− AE⋅ADsin∠A− DC⋅DB+ S
2 2 2 4 △AED
1 3 1 8√5 2 1 2√5 4√5
= ×4×2− × x⋅ × − × ×
2 4 2 5 2√5 2 5 5
16 3
= − x
5 5
∵0<x<4，
16
∴当x=0时，S = ，
四边形DEBF 5
4
当x=4时，S = ．
四边形DEBF 5
故选：A．
20．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD，点M从B出发沿
BD方向以√3cm/s的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间
为x(s)，△BMN的面积为y(cm2)，y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．2√2cm B．4√2cm C．4cm D．8cm
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知BN=x(cm)，BM=√3x(cm)，结合
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√3 √3
菱形的性质得∠DBC=30°，过点M作MH⊥BC于点H，则MH= x(cm)，那么y= x2(cm2)，设
2 4
菱形ABCD的边长为a，则BD=√3a，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最
大值为4√3，利用最大值即可求得运动时间x，即可知菱形边长．
【详解】解：根据题意知，BN=x(cm)，BM=√3x(cm)，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
过点M作MH⊥BC于点H，连接AC交BD于点O，如图，
√3
则MH=BM×sin∠MBH= x(cm)，
2
1 √3
那么，△BMN的面积为y= BN×MH= x2(cm2)，
2 4
设菱形ABCD的边长为a，
√3
∴BD=2BO=2×BC×cos∠BOC=2×a× =√3a，
2
∴点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最大值为4√3，
√3
∴
x2=4√3，解得x=4，（负值舍去），
4
∴BC=4．
故选：C．
考向三 线段比为函数
21．（2024·山东聊城·三模）如图1，点P从菱形ABCD的边AD上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中
n
心，再沿直线运动到点C停止，设点P的运动路程为x，点P到AB的距离为m到CD的距离为n，且y=
m
（当点P与点C重合时，y=0），点P运动时y随x的变化关系如图2所示，则菱形ABCD的面积为（ ）
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A．6√7 B．5√7 C．10 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，动点问题的函数图象，解答本题的
关键是熟练掌握菱形的性质以及勾股定理．
连接AC,BD交于点O，连接OP，由当0≤x≤2时，y的值恒等于1，推出点P的运动路径是△ADC的中位
线，则可得到CD=2×2=4，再由当x=5时，y=0，求出OC=3，由菱形的性质求出AC,BD的长即可得
到答案．
【详解】解：连接AC,BD交于点O，连接OP，如图，
由题意知，当0≤x≤2时，y的值恒等于1，
∴m=n．
∴点P的运动路径是△ADC的中位线，且CD=2 ×2=4．
∵当x=5时，y=0，
∴OC=3．
由菱形的性质可得AC=2OC,BD=2OD,AC⊥BD，
∴AC=2OC=6，
∴OD=√CD2−OC2=√7，
∴BD=2OD=2√7，
1 1
∴S = BD⋅AC= ×2√7×6=6√7，
四边形ABCD 2 2
故选：A．
22．（2024·河南新乡·三模）如图1，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点P从点E出发，沿直线运动
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PA
到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x， = y，图2是点P运动时y
PB
随x变化的关系图象，则矩形ABCD的对角线AC的长是（ ）
A．√5 B．4 C．2√5 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题的关键是根据函数的图象求出有关的线段
的长度．
PA
根据图中信息得出 =1，可得出当0≤x≤2时，点P在线段AB的垂直平分线上运动，作AB的垂直平分
PB
线，交边CD于点F，连接AC，根据题意可得EF=2，FC=2，最后根据勾股定理即可得出答案．
PA
【详解】解：由图2得，当0≤x≤2时， =1，即PA=PB
PB
∴当0≤x≤2时，点P在线段AB的垂直平分线上运动
如图，作AB的垂直平分线，交边CD于点F，连接AC
由题意可知，动点P沿EF运动到点F后，再沿FC运动到顶点C
∴EF=2，FC=4−2=2，
∴AB=2FC=4，BC=EF=2
∴AC=√22+42=2√5
故选C．
23．（2023·河南·中考真题）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一
PB
点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x， = y，图2是点P运动时y随x变化的关
PC
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系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．3 C．4√3 D．2√3
【答案】A
【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B．结
合图象可知，当点P在AO上运动时，PB=PC，AO=2√3，易知∠BAO=∠CAO=30°，当点P在OB
上运动时，可知点P到达点B时的路程为4√3，可知AO=OB=2√3，过点O作OD⊥AB，解直角三角形
可得AD=AO⋅cos30°=3，进而可求得等边三角形ABC的边长．
【详解】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B．
PB
结合图象可知，当点P在AO上运动时， =1，
PC
∴PB=PC，AO=2√3，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAO=∠CAO=30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4√3，
∴OB=2√3，即AO=OB=2√3，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
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过点O作OD⊥AB，
∴AD=BD，则AD=AO⋅cos30°=3，
∴AB=AD+BD=6，
即：等边三角形ABC的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
考向四 线段和为函数
24．（2023·河南平顶山·模拟预测）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E为AD的中点，点P从
点B处沿对角线BD运动，到达点D后停止，连接PA，PE．设PB=x，PE+PA= y，图2是点P运动时y
随x变化的关系图象，其中图象右端点M到x轴的距离为3√3，则图象最低点N的坐标为（ ）
A．(3,4) B．(4,3) C．(3,2√3) D．(4,2√3)
【答案】B
【分析】连接AC交BD于点O，连接CE交BD于点P，则PE+PA的最小值为CE的长，根据图象右端点
M到x轴的距离为3√3，可得当点P运动到点D时，PE+PA=3√3，从而求得AD=2√3，再根据菱形的
性质和∠BAD=120°可得△ADC是等边三角形，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AC交BD于点O，连接CE交BD于点P，则PE+PA的最小值为CE的长，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∵图象右端点M到x轴的距离为3√3，
∴当点P运动到点D时，PE+PA=3√3
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∵点E为AD的中点，
1
∴AD+ AD=3√3，解得：AD=2√3，
2
∴DE=√3，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°,∠AOD=90°，AD=CD，
∴△ADC是等边三角形，∠ADO=30°，
∴OD=AD×cos30°=3
∴BD=6
∵点E为AD的中点，
∴CE⊥AD
DE
∴CE=DE×tan60°=3，DP= =2，
cos30°
∴BP=BD−PD=6−2=4，
∵PB=x，PE+PA= y，
∴图象最低点N的坐标为(4,3)
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，利用数形结合思想
解答是解题的关键．
25．（2024·河南洛阳·三模）如图，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设
BP=x，PA−PE= y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则AD长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．当x=0，即P在B点
时，BA−BE=2；利用两点之间线段最短，得到PA−PE≤AE，得y的最大值为AE=10；在Rt△ABE
中，设BE的长度为t，由勾股定理求出BE的长，再根据BC=2BE求出BC的长，即可求解．
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【详解】解：由函数图象知：当x=0，即P在B点时，BA−BE=2．
利用三角形中任意两边之差小于第三边，得到PA−PE<AE，
当点P、E重合时，有PA−PE=AE，
∴PA−PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE=10．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2=AE2=100，
设BE的长度为t，
则AB=t+2，
∴(t+2) 2+t2=100，
解得t=6或t=−8，
由于t>0，
∴t=6．
∴BE=6，
∵点E为BC的中点，
∴BC=12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12．
故选：D．
26．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB的中点，E是边
AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，DF交边BC于点F．设AE的长为x，△≝¿的面积为y，
s= y−6，则s与x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】A
4 3
【分析】先求出AB=10，则AD=BD=5，sinA= ，sinB= ，过点E作EM⊥AB于M，过点F作
5 5
4x
FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，则EM= ，S =2x，设BF=a，则
5 △ADE
3a S
CF=8−a，FN= ， 3a ，证△AED和△BHD全等得AE=BH=x，再利用勾股定理得
5 △≝¿= 2 ¿
FH2=a2+x2，FE2=(6−x) 2+(8−a) 2，再证FH=FE，进而求得a，S ，根据y=S −¿列出函数
△≝¿¿ △ABC
关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=10，
∵ D为AB的中点，
∴ AD=BD=5，
BC 8 4 AC 6 3
又sinA= = = ，sinB= = = ，
AB 10 5 AB 10 5
过点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，如图：
EM
在Rt△AEM中，AE=x，sin A= ，
AE
4x
∴EM=AE⋅sin A= ，
5
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1 1 4x
∴S = AD⋅EM= ×5× =2x，
△ADE 2 2 5
设BF=a，则CF=BC−BF=8−a，
FN
在Rt△BFN中，sinB= ，
BF
3a
∴FN=BF⋅sinB= ，
5
1 1 3a 3a
∴S = BD⋅FN= ×5× = ，
△DBF 2 2 5 2
在△AED和△BHD中，
¿，
∴△AED≌△BHD(SAS)，
∴AE=BH=x，
在Rt△BFH中，BF=a，BH=x，
由勾股定理得：FH2=BF2+BH2=a2+x2，
在Rt△CEF中，CE=AC−AE=6−x，CF=8−a，
由勾股定理得：FE2=CE2+CF2=(6−x) 2+(8−a) 2，
∵ED=DH，DF⊥DE，
∴DF为线段EH的垂直平分线，
∴FH=FE，
∴a2+x2=(6−x) 2+(8−a) 2，
25−3x
∴a= ，
4
3a 75−9x
∴S = = ，
△DBF 2 8
75−9x 75+7x 25−3x 3x+7
∴S +S =2x+ = ，CF=8−a=8− = ，
△ADE △DBF 8 8 4 4
1 1 3x+7 1
∴S = CE⋅CF= (6−x)× = (−3x2+11x+42)，
△CEF 2 2 4 8
1 1
而S = AC×BC= ×6×8=24，
△ABC 2 2
∴y=S −¿，
△ABC
75+7x 1
即y=24− − (−3x2+11x+42)，
8 8
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3 9 75
整理得：y= x2− x+ ，
8 4 8
∵s= y−6，
3 9 75 3 9 27 3
∴s= x2− x+ −6= x2− x+ = (x−3) 2 ，
8 4 8 8 4 8 8
27 27
当x=0时，s= ，当x=6时，s= ，顶点坐标为(3,0)，
8 8
( 27) ( 27)
∴该函数图象是抛物线，与y轴交于点 0, ，顶点为(3,0)，且过点 6, ，
8 8
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二
次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键．
动点与函数图像问题解题方法：
类型一动点与函数图像判断的解题策略
方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减
变化趋势；
方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断；
方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行
排除；
方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图像计算的解题策略
一看图：注意函数图像横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图像的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图像相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
1．（2025·安徽·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=√5，点D在折线ACB上运动，
过点D作AB的垂线，垂足为E，设AE=x，S = y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
△ADE
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用
的规律，相似三角形的判定和性质得到DE的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分
析是解题的关键．
运用勾股定理，等面积法得到AB边上的高，根据点D在折线ACB上运动，分类讨论：当点D在AC上时，
0<AE≤AF，即0<x≤4；当点D在BC上时，如图所示，AF<AE<AB，即4<x<5；运用相似三角形的
判定和性质可得DE的值，由三角形面积的公式可得y关于x的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定
即可求解；
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5,BC=√5，
∴AC=√AB2−AC2=√52−(√5) 2=2√5，
如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，
1 1
∵S = AC·BC= AB·CF，
△ABC 2 2
AC·BC 2√5×√5
∴CF= = =2，
AB 5
∴在Rt△ACF中，AF=√AC2−CF2=√(2√5) 2 −22=4，
∵∠A=∠A,∠AED=∠AFC=90°，
∴△ADE∽△ACF，
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AE DE
∴ = ，
AF CF
AE·CF 2x 1
∴DE= = = x，
AF 4 2
1 1 1 1
∴当点D在AC上时，0<AE≤AF，即0<x≤4，S = AE·DE= x· x= x2(0<x≤4)，
△ADE 2 2 2 4
1
∴y= x2(0<x≤4)，
4
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意；
当点D在BC上时，如图所示，AF<AE<AB，即4<x<5，
∵AB=5,AF=4,AE=x，
∴BF=AB−AF=5−4=1,BE=AB−AE=5−x，且CF=2，
∵∠B=∠B,∠BED=∠BFC=90°，
∴△BED∽△BFC，
BE DE
∴ = ，
BF CF
BE·CF (5−x)×2
∴DE= = =10−2x，
BF 1
1 1
∴S = AE·DE= x(10−2x)=−x2+5x，
△ADE 2 2
∴y=−x2+5x(4<x<5)，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
故选：A ．
2．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所
走的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数关系图象．则下列结论正确的是（ ）
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A．后800m的速度为32m/min B．中途停留了10min
C．后800m速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为48m/min
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
利用速度=路程÷时间，可求出后800m的速度，判断A选项；利用中途停留的时间=25−20，可求出中途
停留的时间，判断B选项；当25≤t≤50时，s关于t的函数图象是线段，可得出后800m速度不变，判断C
选项；利用整个登山过程的平均速度=总路程÷总时间，可求出整个登山过程的平均速度，判断D选项．
【详解】解：A、后800m的速度为800÷(50−25)=32(m/min)，选项A正确，符合题意；
B、中途停留了25−20=5(min)，选项B错误，不符合题意；
C、当25≤t≤50时，s关于t的函数图象是线段，即后800m速度不变，选项C错误，不符合题意；
D、整个登山过程的平均速度为2000÷50=40(m/min)，选项D错误，不符合题意．
故选：A．
3．（2024·山西·模拟预测）排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为
v，水的密度为ρ，则该物体的排水量M=v:ρ，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按
照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块
各自的排水量M随时间t变化的图象是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象．根据题意可以分别得到甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同
样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自
的排水量M随时间t变化的图象，从而解答本题．
【详解】解：根据题意甲、乙两个铁块，在没有浸入装满水的烧杯时，都是0，即在原点，故排除选项A
和B，
因为甲的体积>乙的体积，且同样的速度匀速浸入装满水的烧杯，
所以甲的排水量>乙的排水量，
故选：C．
4．（2024·贵州贵阳·二模）已知A，B两地相距280km，现有甲、乙两车相向而行，甲车以40km/h的速度
匀速从A地驶往B地，乙车以35km/h的速度匀速从B地驶往A地，乙车比甲车早出发1h，然后甲车出发，
两车途径C地，甲车到达C地后，因为车出现故障而停留了1h，然后因有事不得不原路返回A地(返回时
速度不变)，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地，则甲、乙距离各自出发点的路程y(km)与甲车出发
所用的时间t(h)之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，先根据题意求出乙行驶的时间，进而求出甲行驶的时间，
则可求出甲车到A到C的时间为3h，返回A的时间为7h，再求出甲车到C地的距离为120km，据此可得
答案．
【详解】解：∵乙车的速度为35km/h，
∴乙车总共行驶了280÷35=8(h)．
∵乙车比甲车早出发1h，甲车到达C地后停留1h，
∴甲车总共行驶了8−1−1=6(h)，
∴甲车到A到C的时间为3h，返回A的时间为3+1+3=7h，
∵甲车的速度为40km/h，
∴甲车走的总路程为6×40=240(km)，
∴甲车到C地的距离为120km，
∴符合题意的函数图象如选项A所示，
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故选：A．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，⊙A的直径BC=6，D为半圆BC的中点，P点从D出发，沿
D−A−C的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿⊙A下半圆的路径移动，移动到C点停止，
π
Q的速度是P速度的 倍，PQ的长度变化的函数图像为（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】A
π
【分析】设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为 ，运用特殊值，几何排除法求解即可．
2
π
【详解】解：设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为 ，
2
π
如图，当t=1时，则AP=AD−1=2，B´Q的长为 ，
2
连接AQ，作QE⊥AB于点E，作QF⊥AD，交DA的延长线于点E，则四边形AFQE是矩形，
∴AE=QF,AF=QE．
∠BAQ⋅π×3 π
∵ = ，
180 2
∴∠BAQ=30°，
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∴AF=QE=
1
AQ=
3
， AE=QF=
√
32−
(3) 2
=
3√3
，
2 2 2 2
3 7
∴PF=2+ = ，
2 2
√ (7) 2 (3√3) 2
∴PQ= + =√19≈4.36，故C，D不符合题意；
2 2
5π
如图，当t=5时，则AP=5−AD=2，B´Q的长为 ，
2
1 5π π
∴C´Q的长为 ×6π− = ，
2 2 2
连接AQ，作QE⊥AB于点E，作QF⊥AD，交DA的延长线于点E，则四边形AFQE是矩形，
∴AE=QF,AF=QE．
∠CAQ⋅π×3 π
∵ = ，
180 2
∴∠CAQ=30°，
∴AF=QE=
1
AQ=
3
， AE=QF=
√
32−
(3) 2
=
3√3
，
2 2 2 2
3√3 3
∴PE= −2≈ ，
2 5
√ (3) 2 (3) 2 3
∴PQ= + = √29≈1.62，故B不符合题意，A符合题意；
2 5 10
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，弧长公式，解直角三角形，特殊值法的运用是解答本题的关键．
6．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1，在正方形ABCD内，以点A为圆心，AB长为半径画弧，点P从
BO
圆弧的端点B出发，沿B´D向点D运动，过点P作PO⊥AB于点O．设点P运动的时间为x，y= ，图
OP
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3π
2是点P以每秒 的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图1中阴影部分面积为（ ）
8
9 3
A．3 B．9 C．9− π D．6− π
4 2
【答案】C
BO
【分析】先由图象可得：当x=4时，y= =1，可得OB=OP，再进一步利用弧长与扇形面积公式可得
OP
答案．
BO
【详解】解：由图象可得：当x=4时，y= =1，
OP
∴OB=OP，
∴P,D重合，O,A重合，
3π 3π
∴B´D的长为4× = ，
8 2
90π×AB 3π
∴ = ，
180 2
∴AB=3，
90π×32 9π
∴阴影部分面积为32− =9− ；
360 4
故选C
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，正方形的性质，弧长的计算，扇形的面积，理解题意是解本
题的关键．
7．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线
会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电
流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图
2）．下列结论中错误的是（ ）
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A．当P=440W时，I=2A B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图1知：当P=440W时，I=2A，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合
题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，
故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
34．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三
角形以2cm/s的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面
的函数图象．则这个长方形的面积为 ．
【答案】80cm2/80平方厘米
【分析】本题主要考查函数图形与几何图形面积的计算，理解图示，掌握动点与面积的关系，函数图象获
取信息的知识是解题的关键．
根据题意，第5~7秒时，三角形的面积等于24cm2，第2~5秒时，三角形的底边为(5−2)×2=6cm，第7
秒时，长方形的长为(7−2)×2=10cm，由此即可求解．
【详解】解：由图可知，第5~7秒时三角形完全覆盖住长方形，可得三角形的面积等于24cm2，
第2~5秒时，三角形和长方形从开始覆盖到完全覆盖，
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∴三角形的底边为(5−2)×2=6cm，
1
∴三角形的高为24÷6÷ =8，即长方形的宽也为8cm，
2
第7秒时，三角形已经运动到长方形最右端，
∴长方形的长为(7−2)×2=10cm，
∴长方形的面积等于10×8=80(cm2)．
8．（2024·辽宁抚顺·三模）【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A开始出发沿线段AC
向终点C匀速运动，点Q同时从点A开始出发沿折线A−B−C向终点C匀速运动，P,Q两点同时到达点C．
连接PQ，设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y．经探究发现在某范围内y是关于x的二次函数，并绘
制成如图②所示的图象，图②中点D的横坐标为5，点E的横坐标为8，请根据图①和图②的信息回答问题．
【初步感知】
（1）①图①中，AC的长为______，AB的长为______；
②求点D的纵坐标；
（2）求y关于x的函数表达式；
【延伸探究】
（3）∠CPQ的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠CPQ的正切值；
（4）点M为AC中点，点N为线段PQ上靠近点P的三等分点，连接MN，当点Q在AB上运动时，请求出
MN长度的最小值．
【答案】（1）①8，10；②点D的纵坐标为15；（2）y=¿；（3）不变化，理由见解析；（4）MN的最
2√10
小值为
5
【分析】（1）①根据函数图像读取信息，可知AC=8，再根据函数图像结合勾股定理得到AB的长度；②
根据图像可知△APQ的面积为点D的纵坐标，利用勾股定理即可求出；
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（2）分两种情况：当0<x≤5时，过点Q作QH⊥AC与点H，当5<x≤8时，分别求出函数解析式即可；
（3）分两种情况求出角的正切值即可做出判断；
（4）当点Q运动到点B时，连接AN，过点M作M N'⊥AN于点N'，点A为定点，点P在线段AC上运
PN 1
动，即主动点，点N在线段AN上运动，为从动点，点N为线段PQ上靠近点P的三等分点，即 = ，
PB 3
HN 1
∠PAN为定值，判定出△HPN∽△CPB，根据三角形相似性质可以得出tan∠HAN= = ，当点N
AH 3
与N'重合时，MN的值最小，即为M N'的长，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：初步感知：（1）①由函数图象可知：P的运动路程是8，
∴AC=8，
当P运动路程为5时，面积最大，此时Q运动到B点，
5 AB
∴ = ，
8 AB+BC
∵AB2−BC2=AC2，即AB2−BC2=64,
解得：AB=10，
故答案为：8，10；
②如图①，
∵点D的横坐标为5，
∴此时AP=5，CP=3，点Q和点B重合，
∵△APQ的面积为点D的纵坐标，
∵AB=10，AC=8，
∴BC=√102−82=6，
1 1
∴S = AP×BC= ×5×6=15，
△APQ 2 2
∴点D的纵坐标为15；
（2）如解图②，当0<x≤5时，过点Q作QH⊥AC与点H，
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∵∠QHA=∠BCA，∠A=∠A
，
∴△AQH∽△ABC，
AQ QH AH
∴ = = ，
AB BC AC
∵AQ=2x，AB=10，BC=6，AC=8，
6 8 3
QH= x，AH= x，PH=AH−AP= x，
5 5 5
1 3
∴y= AP⋅QH= x2 ；
2 5
如解图③，
1 1
当5<x≤8时，y= AP⋅QC= x⋅(16−2x)=−x2+8x，
2 2
综上所述，y关于x的函数表达式为：y=¿；
延伸探究：（3）不变化，理由如下：
6
x
QH 5
当0<x≤5时，如解图②，tan∠CPQ= = =2，
PH 3
x
5
QC 16−2x
当5<x≤8时，如解图③，tan∠CPQ= = =2，
PC 8−x
∴∠CPQ的大小不发生变化，tan∠CPQ=2；
（4）如解图④，当点Q运动到点B时，连接AN，过点M作M N'⊥AN于点N'，
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∵点A为定点，点P在线段AC上运动，即主动点，点N在线段AN上运动，为从动点，点N为线段PQ上
PN 1
靠近点P的三等分点，即 = ，∠PAN为定值，
PB 3
∴点N的运动轨迹为线段AN，
当AP=5时，过点N作NH⊥AC于点H，
由（1）得，CP=3，CQ=6，由勾股定理得，PQ=3√5，
1
∴PN= PQ=√5，
3
∵∠HPN=∠CPB，∠PHN=∠C，
∴△HPN∽△CPB，
HN PN PH HN 1 PH
∴ = = ，即 = = ，
CB PB PC 6 3 3
∴HN=2，PH=1，
∴AH=AP+PH=6，
HN 1
∴tan∠HAN= = ，
AH 3
当点N与N'重合时，MN的值最小，即为M N'的长，
∵AM=4 设M N'=x，
2√10
则(3x) 2+x2=16，解得x= ，
5
2√10
即MN的最小值：为 ．
5
【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，函数图像读取信息，
二次函数的几何应用，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题关键．
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考点二 反比例函数
►题型01 比较变量的大小
考向一 已知x，比较y的大小
k
1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点A(−2,y ),B(−1,y ),C(3,y )在反比例函数y= (k<0)的图象
1 2 3 x
上，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】C
k
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数y= (k<0)的图象
x
分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数
图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵k<0，
k
∴函数y= (k<0)的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
x
∵−2<−1<0<3，
∴y <0<y <y
3 1 2
∴y <y <y ，
3 1 2
故选：C．
2
2．（2024·广西·中考真题）已知点M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，若x <0<x ，则
1 1 2 2 x 1 2
有（ ）
A．y <0<y B．y <0<y C．y <y <0 D．0<y <y
1 2 2 1 1 2 1 2
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点
2
M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数图象上，则满足关系式y= ，横纵坐标的积等于2，结合x <0<x 即
1 1 2 2 x 1 2
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可得出答案．
2
【详解】解：∵ 点M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，
1 1 2 2 x
∴ x y =2，x y =2，
1 1 2 2
∵ x <0<x ，
1 2
∴ y <0，y >0，
1 2
∴ y <0<y ．
1 2
故选：A．
1) 当k＞0时，同象限： ，整体： .
2) 当k＜0时，同象限： ，整体：
考向二 已知y，比较x的大小
5
3．（2024·天津·中考真题）若点A(x ,−1),B(x ,1),C(x ,5)都在反比例函数y= 的图象上，则
1 2 3 x
x ,x ,x 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．x <x <x B．x <x <x
1 2 3 1 3 2
C．x <x <x D．x <x <x
3 2 1 2 1 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．
【详解】解：∵k=5>0，
5
∴反比例函数y= 的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
x
5
∵点B(x ,1),C(x ,5)，都在反比例函数y= 的图象上，1<5，
2 3 x
∴x >x >0．
2 3
5
∵−1<0，A(x ,−1)在反比例函数y= 的图象上，
1 x
∴x <0，
1
∴x <x <x .
1 3 2
故选：B．
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8
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）若点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )都在反比例函数y= 的图象上，
1 1 2 2 3 3 x
其中y <0<y <y ，则x ，x ，x 的大小关系是（ ）
2 1 3 1 2 3
A．x <x <x B．x <x <x C．x <x <x D．x <x <x
1 2 3 2 3 1 1 3 2 2 1 3
【答案】B
【分析】先判断出点A、C在第一象限，点B在第三象限，再根据反比例函数的增减性判断．
【详解】解：∵k=8>0，y <0<y <y ，
2 1 3
∴点B在第三象限，点A、C在第一象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴x <0，x >x >0，
2 1 3
∴x <x <x ．
2 3 1
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象与性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
►题型02 求取值范围
考向一 求y的取值范围
k
5．（2024·上海·模拟预测）已知点A(2,3)在反比例函数y= 的图象上，则当x>2时，y的取值范围是
x
．
【答案】0<y<3
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
k
由点A(2,3)在反比例函数y= 的图象上，可知反比例函数在第一象限，y随着x的增大而减小，然后作答
x
即可．
k
【详解】解：∵点A(2,3)在反比例函数y= 的图象上，
x
∴反比例函数在第一象限，y随着x的增大而减小，
∴当x>2时，0<y<3，
故答案为：0<y<3．
k
6．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象(x>0)经
x
过点A(2,m)，过A作x轴的垂线AB，垂足为B，且△OAB的面积为1．
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(1)求m和k的值；
(2)若点C(x,y)也在这个函数的图象上，当1≤x≤3时，求y取值范围
【答案】(1)m=1，k=2；
2
(2) ≤ y≤2．
3
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质．
k
（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y= ，可求出k的值；
x
（2）先分别求出x=1和3时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】（1）解：∵A(2,m)，
∴OB=2，AB=m，
1 1
∴S = ⋅OB⋅AB= ×2×m=1，
△AOB 2 2
∴m=1；
∴点A的坐标为(2,1)，
k
把A(2,1)代入y= ，
x
解得k=2；
2
（2）解：∵当x=1时，y=2；当x=3时，y= ，
3
2
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为 ≤ y≤2．
3
考向二 求x的取值范围
k
7．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，正比例函数y =k x(k <0)的图象与反比例函数y = 2 (k <0)的图
1 1 1 2 x 2
象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y >y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
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A．x<−2或x>2 B．−2<x<0或x>2
C．x<−2或0<x<2 D．−2<x<0或0<x<2
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
k
由图象可知，当x<−2或0<x<2时，正比例函数y =k x(k <0)的图象在反比例函数y = 2 (k <0)的图
1 1 1 2 x 2
象的上方，
∴当x<−2或0<x<2时，y >y ，
1 2
故选：C．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题
的关键．
k
8．（2022·浙江温州·中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)的图象的一支如图所示，它经过点(3,−2)．
x
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(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
6
【答案】(1)y=− ，见解析
x
6
(2)x≤− 或x>0
5
【分析】（1）将图中给出的点(3,−2)代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象；
6 6
（2）当y=5时，5=− ，解得x=− ，结合图象即可得出x的取值范围．
x 5
k
【详解】（1）解：（1）把点(3,−2)代入表达式y= (k≠0)，
x
k
得−2= ，
3
∴k=−6，
6
∴反比例函数的表达式是y=− ．
x
反比例函数图象的另一支如图所示．
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6 6
（2）当y=5时，5=− ，解得x=− ．
x 5
由图象可知，当y≤5，且y≠0时，
6
自变量x的取值范围是x≤− 或x>0．
5
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
口诀：图像比高低，谁高谁大.
解题方法：
1）将两个函数解析式联立方程，解方程即可求出交点坐标；
2）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解集.
考向三 求参数的取值范围
4−k
9．（2023·湖北·中考真题）在反比例函数y= 的图象上有两点A(x ,y ),B(x ,y )，当x <0<x 时，
x 1 1 2 2 1 2
有y <y ，则k的取值范围是（ ）
1 2
A．k<0 B．k>0 C．k<4 D．k>4
【答案】C
4−k
【分析】根据题意可得反比例函数y= 的图象在一三象限，进而可得4−k>0，解不等式即可求解．
x
【详解】解：∵当x <0<x 时，有y <y ，
1 2 1 2
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4−k
∴反比例函数y= 的图象在一三象限，
x
∴4−k>0
解得：k<4，
故选：C．
4−k
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数y= 的图象在一三象限是解题
x
的关键．
k
10．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）点(2a−1,y )、(a,y )在反比例函数y= (k>0)的图象上，若
1 2 x
0<y <y ，则a的取值范围是 ．
1 2
【答案】a>1
【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于0<y <y ，得到0<2a−1<a，从
1 2
而得到a的取值范围．
k
【详解】解：∵在反比例函数y= 中，k＞0，
x
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵0<y <y ，
1 2
∴这两个点在同一象限，
∴0<a<2a−1，
解得：a>1，
故答案为：a>1．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内
y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
1
11．（2024·湖北·一模）若点A(a−1,y )，B(a+1,y )在反比例函数y= 的图象上，且y >y ，则a的取
1 2 x 1 2
值范围是 ．
【答案】a>1或a<−1
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数
1
图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质．由y= 可得在各象限内y随x增大而减小，由y >y 可得点
x 1 2
A，点B都在第一象限，或都在第三象限，进而求解．
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1
【详解】解：∵y= ，
x
∴在一，三象限时，y随x增大而减小，
∵a−1<a+1，y >y ，
1 2
∴点A，点B都在第一象限，或都在第三象限，
∴a−1>0，或a+1<0，
解得a>1或a<−1；
故答案为：a>1或a<−1．
►题型03 反比例函数与不等式
考向一 单曲线与不等式
12．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，点A(n,6)和B(3,2)是一次函数y =kx+b的图象与反比例函数
1
m
y = (x>0)的图象的两个交点．
2 x
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x为何值时，y >y ？
1 2
6
【答案】(1)y =−2x+8；y =
1 2 x
(2)1<x<3
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．
m
【详解】（1）解：将点B(3,2)代入y = ，
2 x
∴m=6，
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6
∴y = ，
2 x
6
将A(n,6)代入y = ，
2 x
∴n=1，
∴A(1,6)，
将A(1,6)和B(3,2)代入y =kx+b，
1
∴ ¿，解得：¿，
∴y =−2x+8；
1
（2）解：根据图象可得，当y >y 时，x的取值范围为：1<x<3．
1 2
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
求x的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构
成的集合．
考向二 双曲线与不等式
3
13．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数y =x−2与反比例函数y = 的图象
1 2 x
交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当x>3时，y <y B．当x<−1时，y <y
1 2 1 2
C．当0<x<3时，y >y D．当−1<x<0时，y <y
1 2 1 2
【答案】B
【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．
【详解】解：A、当x>3时，y >y ，则此项错误，不符合题意；
1 2
B、当x<−1时，y <y ，则此项正确，符合题意；
1 2
C、当0<x<3时，y <y ，则此项错误，不符合题意；
1 2
D、当−1<x<0时，y >y ，则此项错误，不符合题意；
1 2
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故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
k
14．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）
x
的图象交于点A(−3,a)，B(1,3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
k
(2)根据图象直接写出不等式mx+n> 的解集；
x
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S =4S ，求点P的坐标．
△OCP △OBD
3
【答案】(1)y= ，y=x+2
x
(2)−3<x<0或x>1
( 3 )
(3)点P坐标为 − ,−4
4
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是
解题的关键．
（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，
最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据△OCP与△OBD的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题．
k k
【详解】（1）解：将B(1,3)代入y= 得，3=
x 1
∴k=3，
3
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
3 3
将A(−3,a)代入y= 得，a= =−1，
x −3
∴点A的坐标为(−3,−1)．
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将点A和点B的坐标代入y=mx+n得，
¿，
解得¿，
∴一次函数的解析式为y=x+2；
（2）解：根据所给函数图象可知，
k
当−3<x<0或x>1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即mx+n> ，
x
k
∴不等式mx+n> 的解集为：−3<x<0或x>1．
x
（3）解：将x=0代入y=x+2得，y=2，
∴点D的坐标为(0,2)，
1
∴ S = ×2×1=1，
△OBD 2
∴ S =4S =4．
△OCP △OBD
将y=0代入y=x+2得，x=−2，
∴点C的坐标为(−2,0)，
1
∴ S = ×2×|y |=4，
△OCP 2 P
解得|y |=4．
P
∵点P在第三象限，
∴y =−4，
P
3 3
将y =−4代入y= 得，x =− ，
P x P 4
( 3 )
∴点P坐标为 − ,−4 ．
4
►题型04 反比例函数与几何结合
考向一 反比例函数与等腰三角形
8 k
15．（2024·河南新乡·模拟预测）平面直角坐标系中，反比例函数y=− (x<0)和y= (x<0)的图象如下，
x x
8 k
点B(m,0)是x轴负半轴上一点，过点B作x轴的垂线，分别与y=− (x<0)和y= (x<0)的图象交于点
x x
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A，C．当m=−2时，线段BC=2．
(1)求k的值；
(2)当△AOB为等腰三角形时，求AC的长．
【答案】(1)k=4
(2)AC=3√2
【分析】本题考查反比例函数、等腰直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解
题的关键．
k
（1）将点C的坐标代入y= (x<0)可得答案；
x
（2）由△AOB为等腰三角形可得AB=BO，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出
1 1
S = ⋅AB⋅BO= ×|−8|=4，进而求出AB=BO=2√2，再求出BC的值即可．
△AOB 2 2
【详解】（1）解：由题意得：点C的坐标为(−2,−2)，代入，
∴k=−2×(−2)=4；
（2）解：∵∠ABO=90°，且△AOB为等腰三角形，
∴AB=BO，
1 1
∵S = ⋅AB⋅BO= ×|−8|=4，
△AOB 2 2
∴AB=BO=2√2，
∴B(−2√2,0)．
4
将x=−2√2代入反比例函数y= ，得y=−√2，
x
∴BC=√2，
∴AC=AB+BC=2√2+√2=3√2．
k
16．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y= (k≠0)的图象经
x
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AN
过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则 的值为（ ）
AB
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 5 5
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之
间的关系是解题的关键．
作辅助线如图，利用函数表达式设出A、B两点的坐标，利用D，M是中点，找到坐标之间的关系，利用
平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，
( k) ( k)
设A a, ，B b, ，
a b
由BC中点为D，AB=AC，故等腰三角形ABC中，
∴BD=DC=a−b，
( k)
∴C 2a−b, ，
b
∵AC的中点为M，
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k k
( + ) (3a−b k(a+b))
∴ 3a−b a b ，即 , ，
M , 2 2ab
2 2
3a−b k
M( , )
由M在反比例函数上得 2 3a−b ，
2
k(a+b) k
=
∴ 2ab 3a−b，
2
解得：b=−3a，
由题可知，AD∥NE，
AN DE a a 1
∴ = = = = ．
AB BD a−b a+3a 4
故选：B．
考向二 反比例函数与直角三角形
17．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角△ABO中，AO=√3，AB=1，将△ABO绕点O顺时针
k
旋转105°至△A'B'O的位置，点E是OB'的中点，且点E在反比例函数y= 的图象上，则k的值为
x
．
1
【答案】
2
【分析】依据题意，在Rt△BAO中，AO=√3，AB=1，从而BO=√AB2+AO2=2，可得∠AOB=30°，
又结合题意，∠BOB'=105°，进而∠B'OH=45°，故可得E点坐标，代入解析式可以得解．
【详解】解：如图，作EH⊥x轴，垂足为H．
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由题意，在Rt△BAO中，AO=√3，AB=1，
∴BO=√AB2+AO2=2．
1
∴AB= BO．
2
∴∠AOB=30°．
又△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A'B'O的位置，
∴∠BOB'=105°．
∴∠B'OH=45°．
又点E是OB'的中点，
1 1
∴OE= BO= B'O=1．
2 2
在Rt△EOH中，
∵∠B'OH=45°，
√2 √2
∴EH=OH= OE= ．
2 2
√2 √2
∴E( ， )．
2 2
k
又E在y= 上，
x
√2 √2 1
∴k= × = ．
2 2 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要
熟练掌握并灵活运用是关键．
18．（2023·安徽·中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，
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k
AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
【答案】 √3 4
【分析】（1）根据已知条件得出A,B的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出C的坐标，
进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线AC,BD，联立BD与反比例函数解析式，得出D的坐标，进而根据两点距离公
式求得OB2，BD2，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵AB=2,∠AOB=30°，∠OAB=90°，
∴OA=2√3,OB=2AB=4
∴A(2√3,0),B(2√3,2)，
∵C是OB的中点，
∴C(√3,1)，
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
∴k=√3；
√3
∴反比例数解析式为y=
x
故答案为：√3；
（2）∵A(2√3,0)，C(√3,1)
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
√3
∴直线AC的解析式为y=− x+2，
3
∵DB∥AC，
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√3
设直线BD的解析式为y=− x+b，将点B(2√3,2)代入并解得b=4，
3
√3
∴直线BD的解析式为y=− x+4，
3
√3
∵反比例数解析式为y=
x
联立¿
解得：¿或¿
当¿时， BD2=(2√3+3−2√3) 2+(2−2+√3) 2=9+3=12
当¿时， BD2=(2√3−2√3+3) 2+(2+√3−2) 2=9+3=12
OB2=(2√3) 2+22=16
∴OB2−BD2 =4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性
质是解题的关键．
考向三 反比例函数与平行四边形
19．（2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，
k
1），B（1，2），反比例函数y= (k≠0)的图象经过 OABC的顶点C，则k= ．
x
【答案】-2
【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线
互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
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【详解】解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（1，2），
(1 )
∴P的坐标 ,1 ，
2
∵A（3，1），
∴C的坐标为（-2，1），
k
∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过点C，
x
∴k=-2×1=-2，
故答案为-2．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题
的关键．
8
20．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形OABC的顶点A，B在函数y= (x>0)的图象上，边BC
x
OD
与y轴交于点D，AE⊥x轴于点E．若△AOB的面积为8，则 的值为 ．
AE
【答案】2
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，
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16
S =S =8，x −x =x −x ，则由S =S +S =8，化简得到x −x = ，结合反比
△BOC △AOB A O B C △BOC △ODC △ODB B C OD
8
例函数的比例系数k的几何意义得x −x = ，即可求得答案．
A O AE
【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，△AOB的面积为8，
x +x x +x
∴S =S =8， A C = B O，
△BOC △AOB 2 2
即x −x =x −x ，
A O B C
∵S =S +S =8，
△BOC △ODC △ODB
1
∴ OD⋅(x −x )=8，
2 B C
∴OD⋅(x −x )=16，
B C
16
即x −x = ；
B C OD
8
∵A点在函数y= (x>0)的图象上，
x
∴OE⋅AE=8，
8
即x −x = ，
A O AE
16 8
∴ = ，
OD AE
OD 16
∴ = =2；
AE 8
故答案为：2．
考向四 反比例函数与矩形
k 1
21．（2023·广西·中考真题）如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=− 的
x x
图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，
1 2
5
S ，S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
3 4 2 3 4 2
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
( 1 ) ( 1) ( 1 1)
【分析】设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,− ，根据坐标求得S =ab=k，S =S =1，
b a b a 1 2 4
( 1) ( 1) 1
推得S = − × − = ，即可求得．
3 b a 2
( 1 ) ( 1) ( 1 1)
【详解】设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,−
b a b a
k
∵点A在y= (x>0)的图象上
x
则S =ab=k，
1
1
同理∵B，D两点在y=− 的图象上，
x
则S =S =1
2 4
5 1
故S = −1−1= ，
3 2 2
( 1) ( 1) 1
又∵S = − × − = ，
3 b a 2
1 1
即 = ，
ab 2
故ab=2，
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∴k=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
k
22．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y= (x<0)的图像上，顶点
x
2
B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC= ，则k=
3
．
8
【答案】−
3
6 2 9
【分析】方法一：根据△AOC的面积为3，得出OC= = ，AC= a，在Rt△AOC中，
3a a 2
4√5
AC2=AO2+OC2，得出a2= ，根据勾股定理求得DO=√5a，根据k的几何意义，即可求解．
15
AD 4 4
方法二：根据已知得出 = 则S = S ，即可求解．
AC 9 △AOD 9 △AOC
2
【详解】解：方法一：∵cos∠OAC= ，
3
AD AO 2
∴cos∠OAC= = =
AO AC 3
设AD=2a，则AO=3a，
9
∴AC= a
2
∵矩形OABC的面积是6，AC是对角线，
1
∴△AOC的面积为3，即 AO×OC=3
2
6 2
∴OC= =
3a a
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在Rt△AOC中，AC2=AO2+OC2
即 (9 a ) 2 =(3a) 2+ (2) 2
2 a
81−36 4
即
a2=
4 a2
4√5
解得：a2=
15
在Rt△ADC中，DO=√AO2−AD2=√5a
∵对角线AC∥x轴，则AD⊥OD，
4√5 8
∴|k|=2S =2a×√5a=2√5a2=2√5× = ,
△AOD 15 3
∵反比例函数图象在第二象限，
8
∴k=− ，
3
2
方法二：∵cos∠OAC= ，
3
AD AO 2
∴cos∠OAC= = =
AO AC 3
设AD=2a，则AO=3a，
9
∴AC= a，
2
AD 2a 4
= =
∴AC 9 9，
a
2
4 8 8
∴2S = ×2S = ×6= ，
△AOD 9 △AOC 9 3
∵k<0，
8
∴k=− ，
3
8
故答案为：− ．
3
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是
解题的关键．
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考向五 反比例函数与菱形
23．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，
k
以反比例函数y= 图象上的点A(√3,1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴
x
上，以点O为圆心，OA长为半径作A´C，连接BF．
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】(1)√3
(2)半径为2，圆心角为60°
2
(3)3√3− π
3
k
【分析】（1）将A(√3,1)代入y= 中即可求解；
x
（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出∠AOD的度数，最后结合菱形的性质求解；
（3）先计算出S =2√3，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出
菱形AOCD
S =√3，从而问题即可解答．
△FBO
k
【详解】（1）解：将A(√3,1)代入y= 中，
x
k
得1= ，
√3
解得：k=√3；
（2）解：∵过点A作OD的垂线，垂足为G，如下图：
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∵A(√3,1)
，
∴AG=1,OG=√3，
∴OA=√ (√3) 2+12=2，
∴半径为2；
1
∵AG= OA，
2
AG 1
∴sin∠AOG= = ，
OG 2
∴∠AOG=30°，
由菱形的性质知：∠AOG=∠COG=30°，
∴∠AOC=60°，
∴扇形AOC的圆心角的度数：60°；
（3）解：∵OD=2OG=2√3，
∴S =AG×OD=1×2√3=2√3，
菱形AOCD
1 1 2
∵S = ×πr2= ×π×22= π，
扇形AOC 6 6 3
如下图：由菱形OBEF知，S =S ，
△FHO △BHO
|k| √3
∵S = =
△BHO 2 2
，
√3
∴S =2× =√3，
△FBO 2
2 2
∴S =S +S −S =√3+2√3− π=3√3− π．
阴影部分面积 △FBO 菱形AOCD 扇形AOC 3 3
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【点睛】本题考查了反比例函数及k的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握k的
几何意义．
k k
24．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1和y= 2的图象上，若
x x
k
∠BCD=60°，则 1 的值为（ ）
k
2
2 √3 1
A．√3 B． C．− D．−
3 3 3
【答案】D
1
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=
2
OB √3
∠BCD=30°，解直角三角形求得tan30°= = ，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得
OC 3
S OB 2
△OMB∽△CNO，得到 ΔBOM =( ) ，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．
S OC
ΔCON
【详解】解：连接AC、BD，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
k k
∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1和y= 2的图象上，
x x
∴A与C、B与D关于原点对称，
∴AC、BD经过点O，
∴∠BOC=90°，
1
∵∠BCO= ∠BCD=30°，
2
OB √3
∴tan30°= = ，
OC 3
作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵∠BOM+∠NOC=90°=∠NOC+∠NCO，
∴∠BOM=∠NCO，
∵∠OMB=∠CNO=90°，
∴ΔOMB∽ΔCNO，
S OB 2
∴ ΔBOM =( ) ，
S OC
ΔCON
1
k
2 1 1
∴ = ，
1 3
− k
2 2
k 1
∴
1=−
，
k 3
2
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故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性
质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
考向六 反比例函数与正方形
3 n
25．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y= 和y= 的图象的四个
x x
分支上，则实数n的值为（ ）
1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
【答案】A
3
【分析】如图所示，点B在y= 上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
x
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D，点B在
3
y= 上，
x
∵OB=OA，∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°，
∴∠CAO=90°−∠AOC=∠BOD．
∴△AOC≌△OBD．
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3 |n|
∴S =S = = ．
△AOC △OBD 2 2
∵A点在第二象限，
∴n=−3．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个2×2的正方形网格，网格的横线、纵
线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为(3,3)．
（1）点M的坐标为 ；
k
（2）若双曲线L：y= (x>0)与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个．
x
【答案】 (1,2) 4
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用以上知识点．
（1）根据已知条件及线段的和差求出M的坐标．
（2）先找出正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点，假设每个点处都有双曲线，求出此时k的值，再
根据只有两个点的对应的k值相等即可得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴NC=AN=AB=2，
∵点N的坐标为(3,3)，
∴点M的横坐标为3−2=1，点M的纵坐标为3−1=2，
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∴点M的坐标为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
（2）正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点有(1,1)、(1,2)、(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)、
( 3) ( 5) ( 4) ( 5) ( 7) ( 8)
2, , 2, ,(3,1),(3,2),(3,3), 3, , 3, , 3, , 3, 、
2 2 3 3 3 3
( 3) ( 5) ( 4) ( 5) ( 7) ( 8)
(3,1), 2, , 2, , 3, , 3, , 3, , 3, 、
2 2 3 3 3 3
则分别过以上点的双曲线的k值分别为：1,2,3,2,4,6,3,5,3,6,9,4,5,7,8,3,3,5,4,5,7,8，
k
所以当y= (x>0)与正方形网格线有两个交点，k的值可以为2,6,7,8，
x
满足条件的正整数k的值有4个．
故答案为：4．
考向七 反比例函数与圆
k
27．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y= (k>0,x>0)的图象
x
上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=3√2，
则k的值为（ ）
A．3 B．3√2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点A,B分别作y,x轴的垂线，垂足分别为E,D，AE,BD交于点C，得出B的横坐标为1，A的
纵坐标为1，设A(k,1)，B(1,k)，则AC=k−1,BC=k−1，根据AB=3√2，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，
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依题意，B的横坐标为1，A的纵坐标为1，设A(k,1)，B(1,k)
∴C(1,1)，
则AC=k−1,BC=k−1，
又∵∠ACB=90°，AB=3√2，
∴(k−1) 2+(k−1) 2=(3√2) 2
∴k−1=3（负值已舍去）
解得：k=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
k
28．（2024·河南信阳·二模）如图，点A(−5,1)，点B(−1,5)为反比例函数y= 上两点，点D，E为等腰
x
Rt△ABC两腰的中点，过点C，D，E做圆F．
(1)求k的值；
(2)取DE的中点F，连接CF，DE，试证明CF垂直平分DE．
(3)求阴影部分的面积．
【答案】(1)k=−5
(2)证明见解析
(3)6−π
【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，等腰三角形的性质以及求不规则图形的面积：
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k
（1）把点A(−5,1)代入y= ，求出k的值即可；
x
（2）根据等腰三角形的性质可判断；
1
（3）由勾股定理求出BC,DE的长，根据S =S −S − S 求解即可．
阴影 △ABC △DCE 2 ⊙F
k
【详解】（1）解：将点A(−5,1)代入y= ，
x
k
可得1= ，
−5
解得k=−5；
（2）证明：∵点D，E为等腰Rt△ABC两腰的中点，
∴CE=CD.
∵点F为DE中点，
∴CF垂直平分DE.；
（3）解：∵点A(−5,1)，点B(−1,5)，
∴AB=√[−5−(−1)] 2 +(1−5) 2=4√2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC,
又AC2+BC2=AB2,
∴AC=BC=4,
又点D，E为BC,AC的中点，
∴DC=2,EC=2,
∴DC=EC，即△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=√DC2+EC2=2√2,
∵∠DCE=90°,
∴DE是⊙F的直径，
∴⊙F的半径长为√2，
1
∴S =S −S − S
阴影 △ABC △CDE 2 ⊙F
1 1 1
= ×AC×BC− ×CE×CD− πr2
2 2 2
1 1 1
= ×4×4− ×2×2− π×(√2) 2
2 2 2
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=6−π
►题型05 反比例函数与几何结合
考向一 求解析式
k
29．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(−3,0)，与反比例函数y=
x
（k为常数，k≠0）的图象在第一象限的部分交于点B(n,4)．
(1)求m，n，k的值；
k
(2)若C是反比例函数y= 的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出
x
点C的横坐标a的取值范围．
【答案】(1)m=3，n=1，k=4
(2)a>1
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）把点A(−3,0)坐标代入y=x+m求出m，得到直线解析式，再把点B(n,4)坐标代入直线解析式求出
n，把点B(1,4)坐标代入反比例函数解析式求出k值即可；
4
（2）根据题意，列出不等式 <4，解答即可．
a
【详解】（1）解：把点A(−3,0)坐标代入y=x+m得：0=−3+m，
解得m=3，
∴直线解析式为y=x+3，
把点B(n,4)坐标代入直线解析式得4=n+3，
解得n=1，
k
把点B(1,4)坐标代入反比例函数解析式得：4= ，
1
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解得k=4，
（2）∵k=4
4
∴反比例函数解析式为y= ，
x
∵△AOC的面积小于△AOB的面积，
∴y <y ，即y <4，
C B C
∵点C在反比例函数图象上，且在第一象限，
4
∴ <4，
a
∴a>1．
k
30．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y= 的图
x
(1 )
象交于M ,4 ，N(n,1)两点．
2
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求△OMN的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
2
【答案】(1)一次函数的表达式为y=−2x+5，反比例函数表达式为y=
x
15
(2)
4
( 17)
(3)P 0,
5
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数
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的性质是关键．
(1 ) k
（1）依据题意，由M ,4 在反比例函数y= 上，可得k的值，进而求出反比例函数，再将N代入求出
2 x
N的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
(5 )
（2）依据题意，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，由直线l为y=−2x+5，可得A ,0 ,B(0,5)，故
2
5 1 1 1
OA= ,OB =5，再由S =S −S −S = ×AO×BO− ×AO⋅y − ×BO×x ，进
2 △OMN △AOB △AON △BOM 2 2 N 2 M
而计算可以得解；
（３）依据题意，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N
( 1 ) 6 17
的长，结合M¿)与M'关于y轴对称，故M'为 − ,4 ，又N(2,1)，可得直线M'N为y=− x+ ，再
2 5 5
17
令x=0，则y= ，进而可以得解．
5
(1 ) k
【详解】（1）解：由题意，∵M ,4 在反比例函数y= 上，
2 x
1
∴k= ×4=2．
2
2
∴反比例函数表达式为y= ．
x
2
又N(n,1)在反比例函数y= 上，
x
∴n=2．
∴N(2,1)．
设一次函数表达式为y=ax+b，
∴¿，
∴a=−2，b=5．
∴一次函数的表达式为y=−2x+5．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
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又直线l为y=−2x+5，
(5 )
∴A ,0 ，B(0,5)．
2
5
∴OA= ，OB=5，
2
1 1 1
∴S =S −S −S = ×AO×BO− ×AO⋅y − ×BO⋅x
△OMN △AOB △AON △BOM 2 2 N 2 M
1 5 1 5 1 1 15
= × ×5− × ×1− ×5× = ；
2 2 2 2 2 2 4
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则
PM+PN=PM'+PN的最小值等于M'N的长．
(1 )
∵M ,4 与M'关于y轴对称，
2
( 1 )
∴M'为 − ,4 ．
2
又N(2,1)，设M'N的解析式为y=cx+d，
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则¿，解得¿，
6 17
∴直线M'N为y=− x+ ．
5 5
17
令x=0，则y= ．
5
( 17)
∴P 0, ．
5
考向二 求面积
k
31．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线AB与反比例函数y= (x<0)的图象交于点A(−2,m)，
x
B(n,2)，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使OC=2OD，连接BC，AD．
若△ACD的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于△BAC面积的2倍，求点P的坐标．
8
【答案】(1)y=− ；
x
(2)P(2,8)
【分析】（1）根据OC=2OD，可得三角形面积之比，计算出△AOC的面积，面积乘2即为|k|=8，解析
式可得；
（2）根据点的坐标求出直线AB的解析式为y=x+6，设符合条件的点P(m,m+6)，利用面积的倍数关系
建立方程解出即可．
【详解】（1）解：∵OC=2OD，△ACD的面积是6，
∴S =4，
△AOC
∴|k|=8，
∵图象在第二象限，
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∴k=−8，
8
∴反比例函数解析式为：y=− ；
x
8
（2）∵点A(−2,m)，B(n,2)，在y=− 的图象上，
x
∴m=4，n=−4，
∴A(−2,4)，B(−4,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
¿，
解得：¿，
∴直线AB的解析式为y=x+6，
∵AC∥y轴交x轴于点C，
∴C(−2,0)，
1
∴S = ×4×2=4，
△ABC 2
设直线AB上在第一象限的点P(m,m+6)，
1
∴S = ×4×(m+2)=2S =8，
△PAC 2 △ABC
∴2m+4=8，
∴m=2，
∴P(2,8)．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
m
32．（2023·四川·中考真题）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y= (m>0)的图象交于
x
A(3，4)，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点
D，E．
(1)求k，m的值及C点坐标；
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(2)连接AD，CD，求△ACD的面积．
2
【答案】(1)k=− ；m=12；C(9,0)
3
(2)S =9
△ACD
m
【分析】（1）把点A(3，4)代入y=kx+6和y= (m>0)求出k、m的值即可；把y=0代入AB的解析式，
x
求出点C的坐标即可；
（2）延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD解析式，得出
点F的坐标，根据S =S −S 求出结果即可．
△ACD △CDF △CAF
m
【详解】（1）解：把点A(3，4)代入y=kx+6和y= (m>0)得：
x
m
3k+6=4，4= ，
3
2
解得：k=− ，m=12，
3
2 12
∴AB的解析式为y=− x+6，反比例函数解析式为y= ，
3 x
2 2
把y=0代入y=− x+6得：0=− x+6，
3 3
解得：x=9，
∴点C的坐标为(9,0)；
（2）解：延长DA交x轴于点F，如图所示：
将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：
2 2
y=− x+6+3=− x+9，
3 3
联立¿，
解得：¿，¿，
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(3 )
∴点D ,8 ，
2
(3 )
设直线AD的解析式为y=k x+b ，把D ,8 ，A(3，4)代入得：
1 1 2
¿，
解得：¿，
8
∴直线AD的解析式为y=− x+12，
3
8 8
把y=0代入y=− x+12得0=− x+12，
3 3
9
解得：x= ，
2
(9 )
∴点F的坐标为 ,0 ，
2
9 9
∴CF=9− = ，
2 2
∴S =S −S
△ACD △CDF △CAF
1 9 1 9
= × ×8− × ×4
2 2 2 2
=9．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解
题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
考向三 求最值
1
33．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数y= x−1的图像与y轴相交于B点，与反比例函数
2
k
y= (k≠0,x>0)图像相交于点A(m,2)．
x
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(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图像于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，
求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？
12
【答案】(1)y=
x
25
(2)当a=1时，最大值S =
△BCD 4
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及二次函数的性质．
（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．
1
【详解】（1）解：∵点A(m,2)在一次函数y= x−1的图象上，
2
1
∴ m−1=2，
2
解得m=6，
∴A(6,2)，
∵点A(6,2)在反比例函数图像上，
∴k=6×2=12，
12
∴反比例函数解析式为：y= ；
x
1
（2）解：∵点C在一次函数y= x−1的图像上，且点C的横坐标为a，
2
1
∴点C的纵坐标为 a−1，
2
( 12)
∴D a, ，
a
12 1
∴CD= − a+1，
a 2
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1 (12 1 )
∴S = × − a+1 ×a
△BCD 2 a 2
1 1
=− a2+ a+6
4 2
1 25
=− (a−1) 2+ ，
4 4
1
∵− <0，
4
25
∴S 有最大值，当a=1时，最大值S = ．
△BCD △BCD 4
34．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x的图象l与函数
k
y= （k>0，x>0）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB=1，点C在线段OB
x
上（不含端点），且OC=t，过点C作直线l ∥x轴，交l于点D，交图象Γ于点E．
1
(1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
(2)连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S 、S ，设U=S −S ，求U的最大值．
1 2 1 2
1
【答案】(1)k=2； t
2
5
(2)
4
【分析】（1）将x=1代入y=2x，得y=2，得到点A的坐标，再将点A代入y=kx，得k即可；根据已知
得点D的纵坐标为t，代入y=2x求出点D的坐标；
（2）将y=t代入y=2x得到点E的坐标，根据三角形的面积公式分别求出S 、S ，得到U与t的函数解
1 2
析式，再根据二次函数的性质得到最大值即可．
【详解】（1） ∵AB⊥y轴，且AB=1，
∴点A的横坐标为1，
∵点A在直线y=2x上，
∴y=2×1=2，
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∴点A(1，2)，
∴B(0，2)，
k
∵点A在函数y= 上，
x
∴k=1×2=2，
∵OC=t，
∴C(0,t)，
∵CE∥x轴，
∴点D的纵坐标为t，
∵点D在直线y=2x上，t=2x，
1
∴x= t ，
2
1
∴点D的横坐标为 t
2
（2）由（1）知，k=2，
2
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
由（1）知，CE∥x轴，
∴C(0,t)，
∴点E的纵坐标为t，
2
∵点E在反比例函数y= 的图象上，
x
2
∴x= ，
t
(2 )
∴E ,t ，
t
2
∴CE= ，
t
∵B(0,2)，
∴OB=2．
1 1 2 2
S =S = OB⋅CE= ×2× = .
1 △OBE 2 2 t t
∴
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(1 )
由（1）知，A(1，2)，D t,t ，
2
2 1
∴DE= − t，
t 2
∵CE∥x轴，
1
∴S =S = DE(y −y )
2 △ADE 2 A D
1(2 1 )
= − t (2−t)
2 t 2
1 1 2
= t2− t+ −1，
4 2 t
∴U=S −S = 2 − (1 t2− 1 t+ 2 −1 )
1 2 t 4 2 t
1 1
=− t2+ t+1
4 2
1 5
=− (t−1) 2+ ，
4 4
∵点C在线段OB上（不含端点），
∴0<t<2，
5
∴当t=1时，U最大= ．
4
【点睛】此题考查了待定系数法，直线与双曲线的交点问题，平行于x轴的直线的特点，二次函数的性质，
三角形的面积公式，求出点E的坐标是解题的关键．
反比例函数的性质
表达式
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图像
k＞0 k＜0
图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交
经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【补充】
1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这
个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y
随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2）反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函
数的增减性，也可以推断出k的符号.
3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图像的
两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
4）|k|越大，与坐标轴的距离越远.
k
1．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图像如图所示，则下列结论正确的有
x
（ ）
①k>0；②abk<0；③M M =N N ；④若(a−1,y )，(a+2,y )均在反比例函数上且y >y ，则
1 1 1 2 2 1
−2<a<1且a≠0
A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④
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【答案】B
【分析】由一次函数的图像可得：a<0，b<0，由反比例函数的图像可得：k>0，可得①符合题意，②不
( b ) ( k) ( k)
符合题意；求解N (0,b)，M − ,0 ，设M c, ，N d, ，再结合勾股定理与一元二次方程根与
1 1 a c d
系数的关系可判断③符合题意；由(a−1,y )，(a+2,y )均在反比例函数上且y >y ，可得¿，可得④不
1 2 2 1
符合题意．
【详解】解：由一次函数的图像可得：a<0，b<0，
由反比例函数的图像可得：k>0，
∴abk>0，故①符合题意，②不符合题意；
∵直线y=ax+b，
当x=0，y=b，则N (0,b)，
1
b ( b )
当y=0，则x=− ，则M − ,0 ，
a 1 a
( k) ( k)
设M c, ，N d, ，
c d
∴M M = √ ( c+ b) 2 + k2 ，N N = √ d2+ (k −b ) 2 ，
1 a c2 1 d
联立¿，
∴整理得：ax2+bx−k=0，
b k
∴c+d=− ，cd=− ，
a a
∴c+ b =−d，即 ( c+ b) 2 =d2 ，k=−acd，b=−ac−ad，
a a
∴ k2 =a2d2 ， (k −b ) 2 =(−ac+ac+ad) 2=a2d2 ，
c2 d
k2 (k ) 2
∴ = −b ，
c2 d
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∴M M =N N ，故③符合题意；
1 1
∵(a−1,y )，(a+2,y )均在反比例函数上且y >y ，
1 2 2 1
∴¿，
解得：−2<a<0，故④不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的
应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形
16
结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式x+|−2x+6|−2> 的解集是
x
（ ）
A．x>4或x<3 B．x<0或x>4
C．x>3或x<0 D．x>0或x<−4
【答案】B
【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之
间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【详解】解：∵y=x+|−2x+6|−2，
∴y=x+|−2x+6|−2=¿
16
函数y=¿的图象和函数y= 图象如下：
x
16
∴ x+|−2x+6|−2> x<0 x>4
x
由图象可知，不等式 的解集是 或 ，
故选：B．
9
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数y= 的图象上有一点P，其中P的横坐标为3√3，连接OP
x
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k
并将OP绕点O逆时针旋转120°且缩短至原来的一半得到OQ，反比例函数y= 恰好经过点Q，则k的值
x
为（ ）
9+12√3 9+12√3 9+6√3
A．−4.5 B．− C．− D．−
8 4 4
【答案】B
【分析】过点P作PH⊥x轴，过点Q作QK⊥x轴，过点Q作QL⊥ PO的延长线于点L，记QL与x轴的
1 1
交点为点G，先得出PH=√3,tan∠POH= ,OP=√30，GL= LO，再结合连接OP并将OP绕点O逆
3 3
1 √30
时针旋转120°且缩短至原来的一半得到OQ，得出∠QOL=60°,∠LQO=30°,LO= OQ= ，
2 4
3√10
QL= ，运用三角形内角和性质得∠KQG=∠GOL，再结合勾股定理列式计算，得出
4
9−√3 9−√3 ( 3√3+3 9−√3)
KG= ,QK= ，得出Q − , ，即可作答．
12 4 4 4
【详解】解：如图所示：过点P作PH⊥x轴，过点Q作QK⊥x轴，过点Q作QL⊥ PO的延长线于点L，
记QL与x轴的交点为点G，
9
∵反比例函数y= 的图象上有一点P，其中P的横坐标为3√3，
x
9
∴OH=3√3，y= =√3，
3√3
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1
∴PH=√3,tan∠POH= ,OP=√OH2+PH2=√30，
3
∵∠GOL=∠POH，
1 GL
∴tan∠GOL= = ，
3 LO
1
∴GL= LO，
3
∵连接OP并将OP绕点O逆时针旋转120°且缩短至原来的一半得到OQ，
1 √30
∴∠QOP=120°,OQ= OP= ，
2 2
1 √30
则∠QOL=60°,∠LQO=30°,LO= OQ= ，
2 4
OL
∵tan∠LQO= ，
QL
√30
∴ 4 ，
tan30°=
QL
3√10
解得QL= ，
4
1 √30 √30 5√3
∴GL= × = ，OG=√GL2+OL2= ，
3 4 12 6
3√10 √30 9√10−√30
∴QG= − = ，
4 12 12
∵过点Q作QK⊥x轴，过点Q作QL⊥ PO的延长线于点L，
∴∠QKG=∠OLQ=90°，
∵∠QGK=∠OGL，
∴180°−∠QGK−90°=180°−∠OGL−90°，
∴∠KQG=∠GOL，
1
即tan∠KQG=tan∠GOL= ，
3
KG 1
∴ = ，
QK 3
设QK=3r,KG=r（r为正数），
在Rt△QKG中，QK2+KG2=QG2,
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2
即10r2=
(9√10−√30)
，
12
9√10−√30
∴√10r= ，
12
9−√3
解得r= ，
12
9−√3 9−√3
∴KG= ,QK= ，
12 4
5√3 9−√3 9√3+9 3√3+3
则KO= + = = ，
6 12 12 4
∵点Q在第二象限，
( 3√3+3 9−√3)
∴Q − , ，
4 4
3√3+3 (9−√3) 9+12√3
∴k=− × =− ，
4 4 8
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质，反比例函数的图象性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
k
4．（2024·贵州黔东南·一模）已知反比例函数y= (k≠0，x<0)的图象如图所示，线段AB平行x轴，其
x
中A点坐标为(−1,−2)，AB=4，而反比例函数图像恰好经过AB的中点，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得中点的坐标是解题的关键．求得AB的中
k
点坐标，代入y= (k≠0，x<0)即可求得．
x
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【详解】∵AB平行x轴，
∴A，B的纵坐标相同，
∵A点坐标为(−1,−2)，点B在点A左侧，AB=4，
∴点B的坐标为(−5,−2)，
∴AB中点的坐标为(−3,−2)．
又∵反比例函数图象经过AB的中点，
∴k=−2×(−3)=6．
故选A．
1
5．（2024·贵州遵义·二模）已知函数y= 的图象与二次函数y=2ax2+3ax+1(a<0)的图象交于点
x+1
A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )．若点A在x轴下方且y >y 时，则下列正确的是（ ）
1 1 2 2 3 3 2 3
A．x <x <x B．x <x <x
1 2 3 2 1 3
C．x <0<x <x D．x <x <x
3 1 2 3 2 1
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是数形结合．
先画出函数图象，根据函数的图象即可得．
【详解】解：如图所示，
根据函数图象得，x <x <x ；
1 2 3
故选：A．
1
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数y= (x>0)的图象上的一点，⊙P的半径为√2，当
x
⊙P与直线y=x有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（ ）
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A．1≤x≤√2 B．√2−1≤x≤√2
C．√2−1≤x≤1 D．√2−1≤x≤√2+1
【答案】D
【分析】如图所示，P P 即为⊙P与直线y=x有一个公共点的情况，点P只有在线段P P 上，即符合题
1 2 1 2
( 1 )
意，根据图象的对称性可知，△AP P 是等腰直角三角形，求得AP =AP =2，设P x , ，则
1 2 1 2 1 0 x
0
( 1 ) ( 1 )
P x +2, −2 ，则△AP P 的中点M在直线y=x上，得到M x +1, −1 ，解方程得到
2 0 x 1 2 0 x
0 0
x =√2−1,x =−√2−1（不合题意，舍去），于是得到结论．
0 0
【详解】解：如图所示，P P 即为⊙P与直线y=x有一个公共点的情况， 点P只有在线段P P 上，即
1 2 1 2
符合题意，
根据图象的对称性可知，△AP P 是等腰直角三角形，
1 2
∵⊙P的半径为√2，
∴P P =2√2，
1 2
∴AP =AP =2，
1 2
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( 1 ) ( 1 )
P x , ，则P x +2, −2 ，
1 0 x 2 0 x
0 0
则△AP P 的中点M在直线y=x上，
1 2
( 1 )
∴M x +1, −1 ，
0 x
0
1
∴x +1= −1，
0 x
0
解得：x =√2−1,x =−√2−1（不合题意，舍去），
0 0
∴P 的横坐标是√2−1，P 的横坐标是√2+1，
1 2
∴√2−1≤x≤√2+1，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
7．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形OCDE分别交某反比例函数于点F、
G，OC=6，OE=4，△OFG的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
12
【答案】y=
x
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是
解题的关键．
k
由反比例函数k的几何意义得到△OCG的面积=△OEF的面积= ，根据△OFG的面积=矩形的面积-
2
△OCG的面积-△OEF的面积-△DFG的面积可求出k，即可求出答案．
k
【详解】解：设反比例函数解析式为y= ，
x
∵矩形OCDE分别交某反比例函数于点F、G，OC=6，OE=4，
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(k ) ( k) k
F ,4 ,G 6, ,△OCG的面积=△OEF的面积= ，
4 6 2
∴
∵△OFG的面积=矩形的面积-△OCG的面积-△OEF的面积-△DFG的面积=9，矩形的面积=4×6=24，
k k 1 ( k) ( k)
∴24− − − × 4− × 6− =9，
2 2 2 6 4
解得k=12（负值已舍去），
12
∴反比例函数解析式为y= ．
x
12
故答案为：y= ．
x
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线BC交y轴于点B，交双曲线
m
y= (x>0)于点C，且BC∥OA，点A在双曲线上．
x
（1）若点A的横坐标为2，OA=2√2，则m的值是 ；
（2）在（1）的条件下，若BC=2，则点C的坐标是 ．
【答案】 4 (√2,2√2)
【分析】（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则∠ADO=90°，利用勾股定理可求得AD，即可得点
A(2,2)，将点A代入反比例函数即可求得；
（2）过点C作CH⊥x轴，过点B作BG⊥CH，垂足分别为H，G，则∠ADO=∠BGC=90°，即可判
定△AOD为等腰直角三角形，结合平行线的性质可知∠CBG=∠BCG，则BG=CG．求得
√2
BG=CG= BC，则有点C的横坐标，代入反比例函数的解析式即可．
2
【详解】解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则∠ADO=90°．
∵
点A的横坐标为2，
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∴OD=2．
在Rt△AOD，由勾股定理得AD=√OA2−OD2=√(2√2) 2 −22=2，
∴A(2,2)
m
∵点A(2,2)在双曲线y= 上，
x
m
∴2= ，
2
∴m=4．
（2）如图，过点C作CH⊥x轴，过点B作BG⊥CH，垂足分别为H，G，则∠ADO=∠BGC=90°．
∵A(2,2)，
∴AD=OD，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°，
∴∠AOB=45°．
∵BC∥OA，
∴∠CBO+∠AOB=180°，即∠CBO=180°−∠AOB=180°−45°=135°．
∵∠CBG=∠CBO−∠GBO=135°−90°=45°，
∴∠CBG=∠BCG，
∴BG=CG．
∵BC=2，
√2
∴BG=CG= BC=√2，
2
∴点C的横坐标为√2．
4
由（1）知双曲线的解析式为y= ．
x
4
∵点C在双曲线y= 上，
x
4
∴y = ，
C √2
∴y =2√2，
C
∴C(√2,2√2)．
【点睛】本题主要考查反比例函数和几何的结合，涉及勾股定理、待定系数法求解析式、等腰三角形的判
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定和性质和平行线的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质和等腰三角形的性质．
9．（2024·安徽·三模）如图 ，O为坐标原点，过第一象限上的点A 作AB⊥x 轴于点B，交反比例函数
k
y= (x>0)的图象于点C ，作AD∥x轴交反比例函数的图象于点D，已知△OBC的面积为1．
x
（1）k= ；
OE 3
（2）连接OA 交反比例函数的图象于点E， 若 = ，则四边形OBAD的面积为 ．
EA 2
41
【答案】 2
9
【分析】（1）利用比例系数的几何意义即可求解；
OE 3
（2）延长AD交y轴于F，易得S =S =1，设点E的坐标为(m,n)，则mn=2，根据 = ，得
△ODF △OBC EA 2
5 5 25 50
AB= n，AF= m，S =AB⋅AF= mn= ，然后利用面积和差即可求解；
3 3 △BAF 9 9
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的
关键．
【详解】（1）∵S =1，
△OBC
k
∴ =1，
2
∴k=2，
故答案为：2；
延长AD交y轴于F，易得S =S =1，
△ODF △OBC
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设点E的坐标为(m,n)，则mn=2，
OE 3
∵ = ，
EA 2
5 5 25 50
∴AB= n，AF= m，S =AB⋅AF= mn= ，
3 3 △BAF 9 9
50 41
∴四边形OBAD的面积= −1= ．
9 9
4
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点P 、P 、P 、……、P (n为自然数)在反比例函数y= 图
1 2 3 n x
象上，且横坐标分别为1、2、3、……、n，分别以P P 、P P 、P P 、…、P P 为斜边向下作直角
1 2 2 3 3 4 n n+1
三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到n个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为 ．
4048 2023
【答案】 /1
2025 2025
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及数字类变化规律，正确得出S +S +S +⋅⋅⋅+S
1 2 3 2024
1
= (y −y )是解题关键．
2 1 2025
1
根据反比例函数图像上点的坐标特征可得P A = y −y ，P A = y −y ，P A = (y −y )，
1 1 1 2 2 2 2 3 2024 2024 2 2024 2025
1 1 1
即可得出S = (y −y )，S = (y −y )，S = (y −y )，进而可得S +S +S +⋅⋅⋅+S
1 2 1 2 2 2 2 3 2024 2 2024 2025 1 2 3 2024
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1
= (y −y )，分别求出y 和y 的值即可得答案．
2 1 2025 1 2025
【详解】解：设前2024个直角三角形的面积分别为S 、S 、S ……、S ，
1 2 3 2024
4
∵点P 、P 、P 、……、P 在y= 图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、n，
1 2 3 n x
1 1
∴P A = y −y ，A P =1，S = P A ⋅A P = (y −y )
1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2
1 1
P A = y −y ，A P =1，S = P A ⋅A P = (y −y )
2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3
……
1 1 1
P A = (y −y )，A P =1，S = P A ⋅A P = (y −y )
2024 2024 2 2024 2025 2024 2025 2024 2 2024 2024 2024 2025 2 2024 2025
∴当x=1时，y =4，
1
4
当x=2025时，y = ，
2025 2025
∴S +S +S +⋅⋅⋅+S
1 2 3 2024
1
= (y −y + y −y +⋅⋅⋅+ y −y )
2 1 2 2 3 2024 2025
1
= (y −y )
2 1 2025
1 4
= ×(4− )
2 2025
4048
= ．
2025
m
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知一次函数y=kx+b的图象直线与反比例函数y= 的图象双曲线相交
x
于点A(−2,−3)和点B(1,n)，且直线与x轴、y轴相交于点C、点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
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(2)点P(p,q)为直线AB上的动点，过P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F，请选择下面其中一题
完成解答：
PE
①连接DE，若S =6S ，求 的值；
△PDE △DCO PF
p−1
②点P在点E上方时，判断关于x的方程(p+1)x2+(p−1)x− =0的解的个数．
2
6
【答案】(1)y=3x+3，y=
x
PE 3
(2) = ；②见解析
PF 4
①
【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知
识．
m 6 6
（1）把A(−2,−3)代入y= 得m=6，知反比例函数的解析式为y= ；把B(1,n)代入y= 得一次函数
x x x
的解析式为y=3x+3；
6 | 6|
（2）①求出D(0,3)，C(−1,0)，可知P(p,3p+3)，E(p, )，F(p,0)，PE= 3p+3− ，故
p p
1 | 6| 1
×|p|× 3p+3− =6× ×3×1，解出p，q的值，可得P，E，F的坐标，从而求出PE，PF得到答
2 p 2
案；
②观察图象可知，点P在点E上方时，−2<p<0或p>1；①当p=−1时，方程
p−1
(p+1)x2+(p−1)x− =0为一元一次方程，只有一个实数根；②当p≠−1时，方程
2
p−1 p−1
(p+1)x2+(p−1)x− =0为一元二次方程；△=(p−1) 2−4(p+1)×(− )=(p−1)(3p+1)，
2 2
再分类讨论即可．
m m
【详解】（1）把A(−2,−3)代入y= 得：−3= ，
x −2
∴m=6，
6
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
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6
把B(1,n)代入y= 得n=6，
x
∴B(1,6)；
把A(−2,−3)，B(1,6)代入y=kx+b得：
¿，
解得¿，
∴一次函数的解析式为y=3x+3；
（2）①∵y=3x+3与x轴、y轴相交于点C、点D，求得C(−1,0)，D(0,3)，
1 3
∴S = CO⋅DO= ，
△DCO 2 2
∴S =6S =9，
△PDE △DCO
∵P(p,q)，
( 6)
∴E p, ，
p
连接EO，
1 1 | 6|
∴S = EF⋅FO= ⋅p⋅ =3
△EOF 2 2 p
．
1
|p|⋅PE
S 2 PE
∵ △PDE = = ，
S 1 EF
△EOF |p|⋅EF
2
PE 9
∴ = =3，PE=3EF．
EF 3
∴PE>EF，点P在线段EF外，如图，
PE PE 3EF 3
∴ = = = ．
PF PE+EF 4EF 4
②由图象可知，点P在点E上方时，
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∴−2<p<0 p>1
或 ，
p−1
当p=−1时，方程(p+1)x2+(p−1)x− =0为一元一次方程−2x+1=0，
2
∴方程有一个实数根．
p−1
当p≠−1时，方程(p+1)x2+(p−1)x− =0为一元二次方程，
2
p−1
Δ=(p−1) 2+4(p+1)⋅ =3p2−2p−1=(3p+1)(p−1)．
2
∴当p>1时，Δ>0，方程有2个实数解，
1
当−2<p<− ，且p≠−1时，(3p+1)(p−1)>0，即Δ>0，方程有2个实数解，
3
1
当− <p<0时，(3p+1)(p−1)<0，即Δ<0，方程无实数解，
3
1
当− =p时，(3p+1)(p−1)=0，方程有两个相等实数解，
3
当p=−1时，方程有一个实数解．
12．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−6x+3与x轴交于点B，与反比
k 1
例函数y= 的图象交于点A，C，点A的横坐标为− ．
x 2
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(1)求点B的坐标和反比例函数的表达式；
(2)设P是x轴上一点，若△PAB是以AB为腰的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)若D是线段AB上一动点，过点D作AB垂线交反比例函数图象于点E，F，连接AE，AF，当△ADE
与△ADF相似时，求点D的坐标．
3 (1 )
【答案】(1)反比例函数的表达式为：y=− ，点B ,0
x 2
(1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 )
(2)点P的坐标为： ，0 或 − ,0 或 √37+ ,0 或 −√37+ ,0
2 2 2 2
(1 3)
(3)点D ,
4 2
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当AB=PA时，列出等式即可求解；当AB=PB时，同理可解；
（3）△ADE与△ADF相似时，则AD2=DE⋅DF，即可求解．
1
【详解】（1）解：当x=− 时，y=−6x+3=6，
2
( 1 )
即点A − ,6 ，
2
1
则k=− ×6=3，
2
3
则反比例函数的表达式为：y=− ，
x
y=−6x+3与x轴交于点B，
1
令y=0，解得x= ，
2
(1 )
则点B ,0 ；
2
（2）解：设点P(x,0)，
由点P,A,B的坐标得，PA2= ( x+ 1) 2 +36,PB2= ( x− 1) 2 ,AB2=1+36=37，
2 2
当AB=PA时，
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( 1) 2
则 x+ +36=37，
2
1 3
解得：x= 或− ，
2 2
(1 ) ( 3 )
则点P的坐标为： ，0 或 − ,0 ；
2 2
当AB=PB时，
( 1) 2
则 x− =37，
2
1
解得：x=±√37+ ，
2
( 1 ) ( 1 )
则点P的坐标为： √37+ ,0 或 −√37+ ，0 ，
2 2
(1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 )
综上，点P的坐标为： ，0 或 − ,0 或 √37+ ,0 或 −√37+ ,0 ；
2 2 2 2
（3）解：过点F作FH∥x轴，过点D作DH∥y交FH于点H，过点A作AM∥x轴，过点B作BN∥y
轴，则MD∥BN,AN∥FH，
则∠ADN=∠ABN
∵FD⊥AB
∴∠ADM=∠DFH=90°−∠FDH，
AN 1 BN 6
则tan∠DFH=tan∠ABN= = ，cos∠DFH=cos∠ABN= = ，
BN 6 AB √37
设点D(m,−6m+3)，
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∵直线AB:y=−6x+3,AB⊥DF，
1
则直线FD的表达式为：y= (x−m)−6m+3，
6
x −x √37
则DF= D F = (m−x )，
cos∠DFH 6 F
√37
同理可得：DE= (m−x )，
6 E
3 1
联立反比例函数表达式和DF的表达式得：− = (x−m)−6m+3，
x 6
整理得：x2−(37m−18)x+18=0，
则x +x =37m−18,x ⋅x =18，
E F E F
当△ADE与△ADF相似时，
则AD2=DE⋅DF，
即 ( m+ 1) 2 +(−6m+3−6) 2= √37 (m−x )× √37 (m−x )，
2 6 F 6 E
即37 ( m2+m+ 1) = 37 [m2−(x +x )m+x ⋅x ]，
4 36 E F E F
即37 ( m2+m+ 1) = 37 [−36m2+18m+18] ，
4 36
整理得：8m2+2m−1=0，
1 1
解得：m=− (舍去)或 ，
2 4
(1 3)
即点D , ．
4 2
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到相似三角形的性质、解直角三角形、解一元二次方程、
一次函数与反比例函数的性质以及次函数与反比例函数交点等知识点，数据处理是解题的难点．
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考点三 二次函数
►题型01 二次函数的多结论问题
考向一 二次函数性质的运用
1．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a<0）的顶点为(1,2)．
小烨同学得出以下结论：①abc<0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个根为
1
3，则a=− ；④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得
2
到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
b
【分析】根据抛物线的顶点公式可得− =1，结合a<0，a+b+c=2，由此可判断①；由二次函数的增
2a
减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
b
【详解】解：根据题意可得：− =1，
2a
b
∴− =a，
2
∵a<0，
b
∴− <0即b>0，
2
∵ a+b+c=2，b=−2a
∴c=2−a−b=2+a，
∴c的值可正也可负，
∴不能确定abc的正负；故①错误；
∵ a<0，
∴抛物线开口向下，且关于直线x=1对称，
当x>1时，y随x的增大而减小；故②正确；
∵b=−2a,c=2+a，
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∴抛物线为y=ax2−2ax+2+a，
∵ 0=9a−6a+2+a，
1
∴a=− ，故③正确；
2
∵抛物线y=ax2+bx+c=a(x−1) 2+2，
将y=a(x−1) 2+2向左平移1个单位得：y=a(x−1+1) 2+2=ax2+2，
∴抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位得到的，故④错误；
∴正确的有②③，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元
二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线y=x2−2mx+m2+m−4（m是常数），下列结论正确的是
（填写所有正确结论的序号）．
①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=−4；
③若点A(m−2,y )，B(m+1,y )在抛物线上，则y <y ；
1 2 1 2
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于2√2．
【答案】 /
【分析】
①
本题
④
主
④
要
①
考查了二次函数的图象和性质．①把m=0代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程
根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线x=m，再由二次函数的
性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线y=x−4上，即可判断．
【详解】解：当m=0时，y=x2−4，此时抛物线的对称轴是y轴，故①正确；
∵此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴方程x2−2mx+m2+m−4=0的有两个相等的实数根，
∴Δ=(−2m) 2−4(m2+m−4)=0，
解得：m=4，故②错误；
∵y=x2−2mx+m2+m−4=(x−m) 2+m−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=m，
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∵1>0，
∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，
∵点A(m−2,y )，B(m+1,y )在抛物线上，且|m−2−m|>|m+1−m|，
1 2
∴y >y ，故③错误；
1 2
∵y=x2−2mx+m2+m−4=(x−m) 2+m−4，
∴抛物线的顶点坐标为(m,m−4)，
∴抛物线的顶点坐标在直线y=x−4上，
如图，过点A作AB⊥直线y=x于点B，则点A(4,0)，∠AOB=45°，OA=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，
√2
∴AB= OA=2√2，即抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于2√2，故④正确．
2
故答案为：①④
考向二 二次函数各系数之间的关系
3．（2024·四川·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象如图所示，给出下列结论：①c<0；②
b
− >0；③当−1<x<3时，y<0．其中所有正确结论的序号是（ ）
2a
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的
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关键．根据图象与y轴交点(0,c)在y轴负半轴，可得c<0，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为
−1+3 b b
x= =1，由于对称轴为x=− ，可得− >0，故②正确；当−1<x<3时，二次函数图象位于x
2 2a 2a
轴下方，即当−1<x<3，所对应的y<0，故③正确．
【详解】解：① 当x=0时，y=c，根据图象可知，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与y轴交点
(0,c)在y轴负半轴，即c<0，故①正确，符合题意；
−1+3 b
②根据图象可知，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x= =1，即− =1>0，故②正
2 2a
确，符合题意；
③根据图象可知，当−1<x<3时，图象位于x轴下方，即当−1<x<3，所对应的y<0，故③正确，符合题
意；
综上所述，①②③结论正确，符合题意．
故选：D．
4．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点(3，0)，对称轴为直
线x=1，下列五个结论：①abc>0；②b2>4ac；③(a+c) 2−b2>0；④a+b≥am2+bm (m为任意实数)；
⑤4a+c<0．其中，正确结论的序号是 ．
【答案】②④⑤
【分析】根据开口向下，对称轴为直线x=1，图象与y轴正半轴相交，判定a<0， c>0，b>0，即可判定
①；根据抛物线与x轴有两个交点，得Δ=b2−4ac>0，即可判定②；求出抛物线与x轴另一交点为
(−1,0)，再代入得a−b+c=0，则(a+c) 2−b2=(a+c+b)(a+c−b)=0，即可判定③；根据抛物线的最值
为y=a+b+c，即可判定④；把(3，0)代入代入抛物线解析式得9a+3b+c=0，则9a−6a+c=0，则
4a+c=a<0，即可判定⑤．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，图象与y轴正半轴相交，
b
∴a<0， c>0，− =1，
2a
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∴b=−2a>0
∴abc<0．故①错误．
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴b2>4ac．故②正确．
∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴交点(3，0)，
∴抛物线与x轴另一交点为(−1,0)，
把(−1,0)代入抛物线解析式得a−b+c=0，
∴(a+c) 2−b2=(a+c+b)(a+c−b)=0，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为y=a+b+c，
∵当x=m （m为任意实数）时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确；
把(3，0)代入代入抛物线解析式得9a+3b+c=0，
b
∵− =1
2a
∴b=−2a
∴9a−6a+c=0
∴3a+c=0
∴4a+c=a<0，故⑤正确；
∴正确的有②④⑤．
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元
二次方程的关系，从抛物线图象获取信息是解题的关键．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）
的图象与x轴的一个交点坐标为(2,0)，对称轴为x=−1．结合图象给出下列结论：①abc>0；②
1 1
9a−3b+c=0；③8a+c=0；④关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为 和− ；⑤
2 4
a−b≥ab2+b2．其中正确结论的个数为（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，由图象得出a，b，c的符号，即
可判断①；由图象可得，当x=−3时，y=9a−3b+c>0，即可判断②；把(2,0)代入抛物线结合b=2a即
可判断③；将方程化为−8ax2+2ax+a=0，解方程即可判断④；根据，当x=−1时，y取到最大值，即
可判断⑤；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∵抛物线对称轴为x=−1，
b
∴x=− =−1，
2a
∴b=2a<0，
∴abc>0，故①正确；
∵抛物线的图象与x轴的一个交点坐标为(2,0)，对称轴为x=−1，
∴抛物线的图象与x轴的另一个交点横坐标为−2−2=−4，即坐标为(−4,0)，
∴由图象可得，当x=−3时，y=9a−3b+c>0，故②错误；
∵抛物线的图象与x轴的一个交点坐标为(2,0)，
∴4a+2b+c=0，
∵b=2a，
∴4a+4a+c=0，即8a+c=0，故③正确；
∴c=−8a，
∴方程cx2+bx+a=0可以化为：−8ax2+2ax+a=0，
∴8ax2−2ax−a=0，
∴a(4x+1)(2x−1)=0，
1 1
解得：x= 或− ，故④正确；
2 4
当x=−1时，y=a−b+c，当x=b时，y=ab2+b2+c，
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由图象可得，当x=−1时，y取到最大值，
∴a−b+c≥ab2+b2+c，即a−b≥ab2+b2，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象交x轴于点A(−3,0)、B(1,0)，
交y轴于点C．以下结论：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三
2 √97
角形时，c=√7；④当c=3时，在△AOC内有一动点P，若OP=2，则CP+ AP的最小值为 ．其中
3 3
正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线图象经过点B(1,0)，可得当x=1时，y=a+b+c=0，据此可判断①；根据对称轴计
算公式求出b=2a，进而推出c=−3a，则a+3b+2c=a+6a−6a=a，再根据抛物线开口向下，即可判
断②；对称轴为直线x=−1，则AC≠BC，求出AB=4，OC=c，再分当AC=AB=4时， 当
BC=AB=4时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当c=3时，C(0，3)，则OC=3，取点
( 4 ) 4 2
H − ，0 ，连接PH，则OH= ，可证明△HOP∽△POA，由相似三角形的性质可得PH= PA，
3 3 3
2 2
则CP+ AP=CP+PH，故当点P在线段CH上时，CP+PH的值最小，即此时CP+ AP的值最小，最
3 3
小值为线段CH的长，利用勾股定理求出CH即可判断④．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点B(1,0)，
∴当x=1时，y=a+b+c=0，故①正确；
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∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象交x轴于点A(−3,0)、B(1,0)，
−3+1
∴抛物线对称轴为直线x= =−1，
2
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a，
∴a+2a+c=0，即c=−3a，
∴a+3b+2c=a+6a−6a=a，
∵a<0，
∴a+3b+2c<0，故②正确；
∵对称轴为直线x=−1，
∴AC≠BC；
∵A(−3,0)、B(1,0)，
∴OA=3，OB=1，
∴AB=4；
在y=ax2+bx+c(a<0)中，当x=0时，y=c，
∴C(0，c)，
∴OC=c，
当AC=AB=4时，则由勾股定理得AC2=OA2+OC2，
∴42=32+c2，
∴c=√7或c=−√7（舍去）；
同理当BC=AB=4时，可得c=√15；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=√7或c=√15，故③错误；
当c=3时，C(0，3)，则OC=3，
( 4 ) 4
如图所示，取点H − ，0 ，连接PH，则OH= ，
3 3
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4
∴OH 3 2，
= =
OP 2 3
OP 2
∵ = ，
OA 3
OH OP
∴ = ，
OP OA
又∵∠HOP=∠POA，
∴△HOP∽△POA，
PH OP 2
∴ = = ，
PA OA 3
2
∴PH= PA，
3
2
∴CP+ AP=CP+PH，
3
2
∴当点P在线段CH上时，CP+PH的值最小，即此时CP+ AP的值最小，最小值为线段CH的长，
3
在Rt△OCH中，由勾股定理得CH=√OH2+OC2=
√ (4) 2
+32=
√97
，故④正确，
3 3
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，
熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
( 3 )
7．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为 − ,m ，下列判断正确个
2
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数为①ab<0；②b−3a=0；③ax2+bx≥m−2；④点(−4.5,y )和点(1.5,y )都在此函数图象上，则
1 2
y = y ；⑤9a=8−4m．以上结论正确的是 ．（填序号）
1 2
【答案】②④⑤
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质．根据抛物线的开口方向
3
得a<0，由顶点坐标可得b=3a<0，b−3a=0，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当x=−
2
时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点
( 3 )
坐标 − ,m 代入函数解析式中，化简即可判断⑤．
2
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
( 3 )
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为 − ,m ，
2
b 3
∴抛物线的对称轴为直线x=− =− ，
2a 2
∴b=3a<0，
∴ab>0，故①错误；
由上述可知，b=3a，
∴b−3a=0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
3
∴当x=− 时，y取得最大值为m，
2
∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m，
∴ax2+bx≤m−2，故③错误；
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3
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1.5，−1.5−(−4.5)=1.5−(−1.5)，
2
∴y = y ，故④正确；
1 2
( 3 )
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为 − ,m ，
2
9 3
∴ a− b+2=m，
4 2
整理得：9a−6b+8=4m，
∵b=3a，
∴9a−18a+8=4m，
∴9a=8−4m，故⑤正确．
综上，正确的结论有②④⑤，共3个．
故答案为：②④⑤．
考向三 函数值的比较大小
8．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线y =−x2+1，直线y =−x+1，下列判断中：
1 2
①当x<0或x>1时，y <y ；
1 2
②当x=−2或x=3时，y −y =6；
2 1
1
③当x> 时y −y 随x的增大而增大；
2 1 2
1
④使|y −y |= 的x的值有3个．
1 2 3
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
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【分析】由图知：抛物线y =−x2+1与直线y =−x+1交于(0,1)和(1,0)，由此可判断①正确；求出
1 2
y −y =x2−x，将x=−2和x=3代入求值即可判断②正确；由y −y =−x2+x=− ( x− 1) 2 − 1 ，根据二
2 1 1 2 2 4
1 1 1 1
次函数的增减性可判断③错误；由|y −y |= 得 |−x2+x|= ，则可得−x2+x= 或−x2+x=− ．根据
1 2 3 3 3 3
一元二次方程根的判别式即可判断④错误．
【详解】由图知：抛物线y =−x2+1与直线y =−x+1交于(0,1)和(1,0)，
1 2
当x<0或x>1时，y <y ；
1 2
故①正确；
∵y −y =(−x+1)−(−x2+1)=x2−x
2 1
当x=−2时，y −y =(−2) 2−(−2)=6，
2 1
当x=3时，y −y =32−3=6 ，
2 1
故②正确；
∵y −y =(−x2+1)−(−x+1)=−x2+x=− ( x− 1) 2 − 1 ，开口向下，对称轴为x= 1 ，
1 2 2 4 2
1
∴当x> 时y −y 随x的增大而减小；
2 1 2
故③错误；
1 1
由|y −y |= 得|−x2+x|= ，
1 2 3 3
1 1
∴−x2+x= 或−x2+x=−
．
3 3
1
由−x2+x= 得3x2−3x+1=0，
3
∵Δ=9−12=−3<0，
∴此方程无解；
1
由−x2+x=− 得3x2−3x−1=0，
3
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∵Δ=9+12=21>0，
∴此方程由两个不相等的实数根．
1
∴使|y −y |= 的x的值有2个，
1 2 3
故④错误；
综上，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题
关键．
9．（2024·湖北武汉·一模）已知点A(x ,y )在抛物线y =nx2−2nx+n上，点B(x ,y )在直线
1 1 1 2 2
y =−nx+n，当n>0时，下列判断正确的是（ ）
2
A．当x =x <1时，y <y B．当x =x >1时，y <y
1 2 1 2 1 2 1 2
C．当y = y >n时，x >x D．当y = y <n时，x >x
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用：根据函数的性质画出函数的大致图像，根据图象数形
结合，逐项判断即可．
b −2n
【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为x=− =− =1，
2a 2n
抛物线y =nx2−2nx+n与直线y =−nx+n经过点C(0，n)，
1 2
∵n>0，
∴抛物线y =nx2−2nx+n开口向上，直线y =−nx+n经过一、二、四象限，
1 2
当x =x <1时，y <y 或y >y ，
1 2 1 2 1 2
当x =x >1时，y <y 或y >y ，故A、B错误，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
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当y = y >n时，图像位于y轴的左侧，可知x >x ；故C正确，符合题意；
1 2 1 2
当y = y <n时，图像位于y轴的左侧，可知x >x 或x <x ；故D错误，不符合题意．
1 2 1 2 1 2
故选：C．
考向四 一元二次方程根的判断
10．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过三点
A(x ,y ),B(x ,y ),C(−3,0)，且对称轴为直线x=−1．有以下结论：①a+b+c=0；②2c+3b=0；③
1 1 2 2
当−2<x <−1，0<x <1时，有y <y ；④对于任何实数k>0，关于x的方程ax2+bx+c=k(x+1)必有两
1 2 1 2
个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数图像的对称轴为x=−1，且过C(−3,0)，结合抛物线的对称轴即可求解．
【详解】解： ∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−1，且图像经过C(−3,0)，
b
∴− =−1，即b=2a，
2a
∴点(1,0)在抛物线上，
∴a+b+c=0，故结论①正确；
b
由结论①正确可得，a+b+c=0，且b=2a，则a=
2
b
∴ +b+c=0，则2c+3b=0，故结论②正确；
2
∵当−2<x <−1，0<x <1时，
1 2
∴点A离对称轴更近，
当a>0时，y <y ；当a<0时，y >y ；故结论③错误；
1 2 1 2
由ax2+bx+c=k(x+1)得，ax2+(b−k)x+c−k=0，
∵结论①正确可得，a+b+c=0，结论②正确可得，2c+3b=0，
2 1
∴b=− c，a=− c，
3 3
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∴Δ=(b−k) 2−4a(c−k)= ( − 2 c−k ) 2 −4× ( − 1 c ) (c−k)，整理得，Δ= 16 c2+k2 ，
3 3 9
∵k>0，
16
∴Δ= c2+k2>0，
9
∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②④，3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根与系数的关系，二次函数图像上点的特征，由对称轴确定
系数a,b的关系，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
11．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过(−1,1)，(m,1)两
点，且0<m<1．下列四个结论：
①b>0；
②若0<x<1，则a(x−1) 2+b(x−1)+c>1；
③若a=−1，则关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=2无实数解；
1 1
④点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线上，若x +x >− ，x >x ，总有y <y ，则0<m≤ ．
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
1 −1+m
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴− < <0，即可判断①，根据
2 2
(−1,1)，(m,1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(−1,1)得出c=b+2，代入顶点纵坐
1 −1+m 1
标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴− < ≤− ，解不等式，即可
2 2 4
求解．
【详解】解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过(−1,1)，(m,1)两点，且0<m<1．
b −1+m 1 −1+m
∴对称轴为直线x=− = ， − < <0，
2a 2 2 2
b
∵x=− <0，a<0
2a
∴b<0，故①错误，
∵0<m<1
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∴m−(−1)>1，即(−1,1)，(m,1)两点之间的距离大于1
又∵a<0
∴x=m−1时，y>1
∴若0<x<1，则a(x−1) 2+b(x−1)+c>1，故②正确；
1 −1+m
③由①可得− < <0，
2 2
1 b
∴− < <0，即−1<b<0，
2 2
当a=−1时，抛物线解析式为y=−x2+bx+c
4ac−b2 −4c−b2
设顶点纵坐标为t= =
4a −4
∵抛物线y=−x2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过(−1,1)，
∴−1−b+c=1
∴c=b+2
−4c−b2 b2+4c 1 1 1
∴t= = = b2+c= b2+b+2= (b+2) 2+1
−4 4 4 4 4
1
∵−1<b<0， >0，对称轴为直线b=−2，
4
∴当b=0时，t取得最大值为2，而b<0，
∴关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=2无解，故③正确；
1
④∵a<0，抛物线开口向下，点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线上， x +x >− ，x >x ，总有y <y ，
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
x +x 1
又x= 1 2>− ，
2 4
1
∴点A(x ,y )离x=− 较远，
1 1 4
1 −1+m 1
∴对称轴− < ≤−
2 2 4
1
解得：0<m≤ ，故④正确．
2
故答案为：②③④．
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考向五 一元二次方程根的分析
( 1 )
12．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 − ,n ，与x轴的一个
3
交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(−6,y ),(5,y )，则
1 2
y >y ；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是 （请填写序
1 2
号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称
3
轴求出a= b，根据图象可得当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设
2
(−6,y ),(5,y )两点横坐标与对称轴的距离为d ，d ，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点
1 2 1 2
的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
( 1 )
【详解】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 − ,n ，
3
b 1
∴− =− ，
2a 3
b 1
∴ = >0，即ab>0，
2a 3
由图可知，抛物线开口方向向下，即a<0，
∴b<0，
当x=0时，y=c>0，
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∴abc>0，故①正确，符合题意；
1
②∵直线x=− 是抛物线的对称轴，
3
b 1
∴− =− ，
2a 3
b 1
∴ = >0，
2a 3
3
∴a= b
2
由图象可得：当x=1时，y=a+b+c<0，
5
∴ b+c<0，即5b+2c<0，故②正确，符合题意；
2
1
③∵直线x=− 是抛物线的对称轴，
3
设(−6,y ),(5,y )两点横坐标与对称轴的距离为d ，d ，
1 2 1 2
| ( 1)| 17 | ( 1)| 16
则d = −6− − = ，d = 5− − = ，
1 3 3 2 3 3
∴d <d ，
2 1
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y <y ，故③错误，不符合题意；
1 2
④如图，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，
∴n<4，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
13．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<c<0）经过点(−1，m)，
其中m>0．下列结论：
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①b<0；
1
②当x>− 时，y随x的增大而减小；
2
③关于x的方程ax2+(b+m)x+c+n=0有实数根，则n是非负数；
m
④代数式 +3的值大于0．
a+b
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的符号问题，二次函数与方程关系，二次函数图像性质，解题的关键是能根
据题目中的已知条件找到相关的数量关系．
①将(−1，m)代入y=ax2+bx+c即可得到b的范围；
b
②将b=a+c−m代入x=− 即可；
2a
③把b=a+c−m代入ax2+(b+m)x+c+n=0可判断n的正负；
m
④将b=a+c−m代入 +3即可；
a+b
【详解】解：①将(−1，m)代入y=ax2+bx+c得m=a−b+c，
∴b=a+c−m，
∴a<c<0，m>0
∴a+b−c<0，即b<0.结论正确，故①符合题意；
b a+c−m 1 m−c
②对称轴为直线x=− =− =− + ，
2a 2a 2 2a
∵m>0，c<0，
∴m−c>0，
又∵a<0，
m+c
∴ <0，
2a
1 m−c 1
∴x=− + <− ，
2 2a 2
∵a<0，开口向下，
1
∴x> 时，即对称轴右侧，y随x的增大而减小.结论正确，故②符合题意；
2
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③把b=a+c−m代入ax2+(b+m)x+c+n=0得ax2+(a+c)x+c+n=0．
∵方程有实数根，
∴Δ=(a+c) 2−4a(c+n)≥0，
即a2+c2−2ac−4ac≥0，
∴4an≤(a−c) 2，
∵a<0，
(a−c) 2
∴n≥ ，
4a
∵a<c<0，
(a−c) 2
∴ <0，
4a
(a−c) 2
∴ 是负数，n为非负数不正确.故③不符合题意；
4a
m
④将b=a+c−m代入 +3，
a+b
m
= +3，
2a+c−m
m+3(2a+c−m)
= ，
2a+c−m
ba+3c−2m
= ，
2a+c−m
∵a<c<0，m>0，
ba+3c−2m
∴ >0，
2a+c−m
m
即 +3>0，④正确，故④符合题意；
a+b
故答案为：①②④．
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知：二次函数y=ax2+bx+c(a<0)，过A(−1,0)，B(m,0)(m>0)，
下列结论：
①c=am；
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b
②m=1− ；
a
③关于x的一元二次方程a(x−2) 2+bx+c−2b=0的两根为x =1，x =m+2；
1 2
④am2+(2a+b)m+a+b+c<0．
其中正确的结论是 （只填序号）
【答案】②③④
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特点，二次函数与一元二次方程的关系．掌
握二次函数的性质和二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为相应一元二次方程的解是解题关键．由题意
可得出¿，再整理，分别用a、b、c表示出m的解即可判断①和②；由题意可得出方程
ax2+bx+c=0(a<0)的两根为x =−1，x =m．再根据a(x−2) 2+bx+c−2b=0，可变为
1 2
a(x−2) 2+b(x−2)+c=0，即得出关于x的一元二次方程a(x−2) 2+bx+c−2b=0的两根为x =1，
1
x =m+2，可判断 ③；由题意可确定c>0，再根据am2+(2a+b)m+a+b+c=2a−c，即可求解，可判
2
断④．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)，过A(−1,0)，B(m,0)(m>0)，
∴¿，
由①得：b=a+c③，
将③代入②，得：0=am2+(a+c)m+c，
∴(am+c)(m+1)=0，
c
解得：m =− ，m =−1，
1 a 2
∵m>0，
c
∴m=− ，即c=−am，故结论①错误；
a
由①得：c=b−a④，
将④代入②，得：0=am2+bm+b−a，
∴(am+b−a)(m+1)=0，
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a−b
解得：m = ，m =−1，
1 a 2
∵m>0，
a−b b
∴m= ，即m=1− ，故结论②正确；
a a
∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)，过A(−1,0)，B(m,0)(m>0)，
∴方程ax2+bx+c=0(a<0)的两根为x =−1，x =m．
1 2
∵a(x−2) 2+bx+c−2b=0，
∴a(x−2) 2+b(x−2)+c=0．
令x−2=t，则at2+bt+c=0，
∴t =−1，t =m，
1 2
∴x−2=−1或x−2=m，
∴x =1，x =m+2．
1 2
∴关于x的一元二次方程a(x−2) 2+bx+c−2b=0的两根为x =1，x =m+2，故结论③正确；
1 2
am2+(2a+b)m+a+b+c
=am2+2am+bm+a+b+c
=am2+bm+c+2am+a+b．
∵0=am2+bm+c，
∴am2+bm+c+2am+a+b=2am+a+b．
a−b
由m= ，得：am=a−b，
a
∴2am+a+b=2(a−b)+a+b=3a−b．
∵b=a+c，
∴3a−b=3a−(a+c)=2a−c．
∵a<0，
∴抛物线开口向下．
∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)，过A(−1,0)，B(m,0)(m>0)，
∴c>0，
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∴2a−c<0，即am2+(2a+b)m+a+b+c<0，故结论④正确．
综上可知正确的结论是②③④．
故答案为：②③④．
考向六 一元二次方程根的分布
15．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线y=ax2−2x−3a的图象上有三点A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
C(0,−3)，其中x <−1<x <3，则下列说法错误的是（ ）
1 2
13
A．方程|ax2−2x−3a|=−x+b有3个根，则b=−
4
B．y >y
1 2
C．关于x的一元二次方程ax2−2x−3a−m=0(m>0)的两根为x ，x ，且x <x ，则x <−1<3<x
3 4 3 4 3 4
D．抛物线的顶点坐标为(1,−4)
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点．
把点C的坐标代入y=ax2−2x−3a中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断D选项．根
据抛物线y=ax2−2x−3a与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程ax2−2x−3a−m=0的解，是抛物
线y=ax2−2x−3a先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断
C选项．画出函数y=|x2−2x−3|的图象，根据数形结合的思想即可判断A选项．
【详解】解：∵抛物线y=ax2−2x−3a过点C(0,−3)，
∴−3a=−3，解得a=1，
∴抛物线为y=x2−2x−3，即y=(x−1) 2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)．故D选项正确；
把y=0代入函数y=x2−2x−3中，得x2−2x−3=0，
解得x=−1或x=3，
∴抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，
∵抛物线y=x2−2x−3的开口向上，
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且抛物线上的两点A(x ,y )，B(x ,y )中，x <−1<x <3，
1 1 2 2 1 2
结合y=x2−2x−3的图象知，y >0，y <0，
1 2
∴y >y ．故B选项正确；
1 2
将抛物线y=x2−2x−3向下平移m个单位长度，得到y=x2−2x−3−m，
该抛物线与x轴的一个交点在点(−1,0)的左侧，另一交点在点(3,0)的右侧，
∴关于x的一元二次方程ax2−2x−3a−m=0（m>0）的两解为x ，x ，满足x <−1<3<x ，故C选项
3 4 3 4
正确．
∵方程|ax2−2x−3a|=−x+b有3个根，
∴函数y=|x2−2x−3|的图象与直线y=−x+b有3个交点，
∵函数y=|x2−2x−3|的图象与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，
如图，当直线y=−x+b经过点(3,0)时，直线y=−x+b与函数y=|x2−2x−3|的图象有3个交点，即
此时把点(3,0)代入函数y=−x+b中，得到0=−3+b，
解得b=3，
当−1<x<3时，y=|x2−2x−3|=−(x2−2x−3)=−x2+2x+3，
如图，当直线y=−x+b与函数y=−x2+2x+3只有一个交点时，直线y=−x+b与函数y=|x2−2x−3|的
图象有3个交点
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∴对于方程|ax2−2x−3a|=−x+b可化为−x2+2x+3=−x+b，即−x2+3x+3−b=0，
∴Δ=32−4×(−1)×(3−b)=0，
21
解得b= ，
4
21
综上所述，b=3或b= ．故A选项错误．
4
故选：A．
16．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴
为直线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)，(0,−3)之间（不含端点），
则下列结论正确的有多少个（ ）
①abc>0；
②9a−3b+c≥0；
2
③ <a<1；
3
④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n(m<n)，则−3<m<1<n．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得a>0，b=2a>0，−3<c<−2，即可判
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断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为(−3,0)，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可
得到−3<−3a<−2，即可判断③正确；结合抛物线y=ax2+bx+c和直线y=x+1与x轴得交点，即可判
断④正确．
【详解】解：由图可知a>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)，
b
∴x=− =−1，a+b+c=0，
2a
则b=2a>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点B在(0,−2)，(0,−3)之间，
∴−3<c<−2，
则abc<0，故①错误；
设抛物线与x轴另一个交点(x,0)，
∵对称轴为直线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)，
∴1−(−1)=−1−x，解得x=−3，
则9a−3b+c=0，故②正确；
∵−3<c<−2，a+b+c=0，b=2a>0，
2
∴−3<−3a<−2，解得 <a<1，故③正确；
3
根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和(−3,0)，直线y=x+1过点(−1,0)和(0,1)，如图，
方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n满足−3<m<1<n，故④正确；
故选：C．
考向七 二次函数与不等式
17．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于x的一元三次方程ax3+bx2+cx+k2+1=0的解为x =−3，
1
x =1，x =2，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于x的不等式ax3+bx2+cx+k2+1>0的
2 3
解集（ ）
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A．−3<x<1或x>2 B．−3<x<0或1<x<2
C．x<−3或1<x<2 D．x<−3或0<x<1或x>2
【答案】A
【分析】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键．
令y=ax3+bx2+cx+k2+1，根据题意画出y=ax3+bx2+cx+k2+1的图象草图，再据此求解即可．
【详解】令y=ax3+bx2+cx+k2+1，
一元三次方程ax3+bx2+cx+k2+1=0的解为x =−3，x =1，x =2，
1 2 3
∴ y=ax3+bx2+cx+k2+1的图象与x轴的交点为(−3,0)，(1,0)，(2,0)．
∵当x=0时，y=k2+1，
∵ k2+1≥1，
∴函数的图象与x轴的交点不含(0,0)，
∴ y=ax3+bx2+cx+k2+1的图象草图如下：
从图象上可以看出y>0时，即ax3+bx2+cx+k2+1时，x的取值范围是−3<x<1或x>2．
∴关于x的不等式的解集是−3<x<1或x>2．
故选：A．
1
18．（2024·陕西西安·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=− ，且
2
经过点(−2,0)，下列结论：①abc<0；②a−b=0；③点(x ，y )和(x ，y )在抛物线上，当
1 1 2 2
1 3
x >x ≥− 时，y >y ；④不等式ax2+bx+c≥0的解集是x≤−2或x≥ ．其中错误的个数有（ ）
1 2 2 1 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式的
关系是解题的关键．
b
由抛物线开口方向、和y轴交点位置、对称轴为直线x=− 可判断①、②，由抛物线开口方向、对称轴
2a
位置，可判断③，由抛物线的图象、经过(2,0)及抛物线的对称性可判断④．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，
∴a>0，
b 1
∵抛物线对称轴为直线x=− =− ，
2a 2
∴a=b>0，
∴a−b=0，故②正确；
∵抛物线和y轴交点在负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确；
1
∵x >x ≥− 时，
1 2 2
∴两点都在顶点以及对称轴的右侧部分，y随x的增大而增大，
∴y >y ，故③正确；
1 2
不等式ax2+bx+c≥0，即抛物线在x轴及上方时，x的取值范围，
1
∵对称轴为直线x=− ，且经过点(−2,0)，
2
1
∴抛物线和x轴的另一个交点横坐标=− ×2−(−2)=1，
2
∴不等式ax2+bx+c≥0的解集是x≤−2或x≥1，故④错误．
综上所述，错误的只有④，
故选：A．
考向八 分析含绝对值的二次函数
19．（23-24九年级上·广西防城港·期末）我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2−4ac>0)
的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|的图象（如图所示），并写出下列
四个结论：
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①图象与坐标轴的交点为(−1,0)，(3,0)和(0,3)；
②当x=1时，函数有最大值4；
③当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④函数与直线y=m有4个公共点，则m的取值范围是0<m≤4．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①二次函数的图象和性质，求出函数与坐标轴的交点坐标判断①，根据图象可知，函数没
有最大值，判断②；图象法，判断③和④，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】解：∵y=|x2−2x−3|，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x2−2x−3=0，解得：x =3,x =−1，
1 2
∴图象与坐标轴的交点为(−1,0)，(3,0)和(0,3)；故①正确；
由图象可知：当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；故③正确；
∴函数y=|x2−2x−3|没有最大值；故②错误；
−2
函数的对称轴为：x=− =1，
2
当x=1时，y=|1−2−3|=4，
∴当函数与直线y=m有4个公共点，则m的取值范围是0<m<4．故④错误；
综上，正确的是①③．
故答案为：①③．
20．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）已知关于x的函数y=x2−|2x−2|−3，有下列结论：
①当x<−1时，y随x增大而减小；
②函数的图象是轴对称图形；
③点M(x ,m)，N(x ,m)是函数的图象上不同的两点，则x +x <2；
1 2 1 2
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④函数的最小值为−6．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先把函数化为y=x2−|2x−2|−3=¿，再结合函数图象逐
一分析判断即可．
【详解】解：∵y=x2−|2x−2|−3=¿，
∴其图象如下：
∴当x<−1时，y随x增大而减小；故①符合题意；
函数的图象不是轴对称图形；故②不符合题意；
点M(x ,m)，N(x ,m)是函数的图象上不同的两点，当x <x <1时，
1 2 1 2
而抛物线y=x2+2x−5的对称轴为直线x=−1，
∴x +x =−2，
1 2
当x <−1<1<x 时，
1 2
∴x2−2x−1=m即x2−2x−1−m=0，
解得：x =1+√2+m，
2
当x2+2x−5=m即x2+2x−5−m=0，
解得：x =−1−√6+m，
1
∴x +x =1+√2+m−1−√6+m=√2+m−√6+m<0
1 2
∴x +x <2；故③符合题意；
1 2
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当x=−1时，函数最小值为y=(−1) 2+2×(−1)−5=1−2−5=−6，
∴函数的最小值为−6，故④符合题意；
故答案为：①③④
考向九 二次函数与最值
21．（2024·四川广安·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的
交点B在(0,1)与(0,2)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc<0；②3b=2c；③
2 1 1
若(−3,y )，(4,y )是函数图象上的两点，则y <y ；④− <a<− ；⑤若a=− ，则当0≤x<3时，y
1 2 1 2 3 3 2
3
有最大值为 ．其中正确结论有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物
线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进
行判断．
【详解】解：①∵函数开口方向向下，
∴a<0；
∵对称轴在y轴右侧
∴a、b异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
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b
∴当x=−1时，y=0，− =1，
2a
1
∴a−b+c=0，a=− b，
2
1
∴ − b−b+c=0，
2
整理得3b=2c；故②正确；
③∵1−(−3)=4，4−1=3，4>3，开口向下，且(−3,y )，(4,y )是函数图象上的两点，
1 2
∴y <y ；故③正确；
1 2
b
④∵a−b+c=0，− =1，
2a
∴c=b−a，b=−2a，
∴c=−3a，
∵1<c<2，
∴1<−3a<2，
2 1
∴− <a<− ；故④正确；
3 3
1
⑤若a=− ，
2
3
∴b=−2a=1，c=−3a= ，
2
1 3 1
∴y=− x2+x+ =− (x−1) 2+2，
2 2 2
1
∵a=− <0，当x=1时，函数有最大值为2，
2
∴当0≤x<3时，y有最大值为2．故⑤错误；
综上所述，正确的有①②③④共4个，
故选：D．
a 1
22．（2024·山东济南·一模）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若点P(a,b)满足 = ，我们把
b 2
点P称作“半分点”，例如点(−3,−6)与(√2,2√2)都是“半分点”．有下列结论：
①一次函数y=3x−2的图象上的“半分点”是(2,4)；
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k
②若双曲线y= 上存在“半分点”(t,4)，且经过另一点(m+2,m)，则m的值为2；
x
③若关于x的二次函数y=x2−2x+n的图象上恰好有唯一的“半分点”P，则n的值为4；
64
④若点P(2,4)是二次函数y=mx2−2x+n的半分点，若点Q的坐标为(m,n)，则OQ的最小值为 ．
17
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】结合题中定义及一次函数、反比例函数及二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式对题中结
论进行逐一判断即可求解．
【详解】解：根据题中定义对结论进行判断：
①在一次函数y=3x−2中，x=2时，y=3×2−2=4，即(2,4)在函数图像上；
2 1
且(2,4)满足 = ，符合“半分点”定义，
4 2
∴①正确；
t 1
②根据“半分点”定义可得， = ，
4 2
∴t=2，
k
∵(t,4)在双曲线y= 上，
x
∴k=4t=8，
8
∴双曲线解析式为y= ，
x
又(m+2,m)也在双曲线上，且与(t,4)不是同一点，
∴m(m+2)=8，
解得m=−4或2，
此时m+2=−2或4，
∴m=−4或2，
∴②错误；
x 1
③在二次函数图像上的P(x ,y )满足 P = ，
P P y 2
P
∴2x =x 2−2x +n，
P P P
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即x 2−4x +n=0，
P P
∵P点是图像上唯一的“半分点”，
∴Δ=(−4) 2−4n=0，
解得n=4，
∴③正确；
④将P(2,4)代入y=mx2−2x+n可得n=8−4m，
∴OQ=√m2+n2=√m2+(8−4m) 2，
=√17m2−64m+64，
√ ( 32) 2 322
= 17 m− − +64，
17 17
√ ( 32) 2 322
= 17 m− − +64，
17 17
√ 322 √64 8√17
∴OQ = − +64= = ，
min 17 17 17
∴④错误．
综上，正确结论的个数是2．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，一元二次方程的根的情况，解题
关键是充分理解题意并综合运用一次函数、反比例函数及二次函数的性质．
二次函数与各项系数之间的关系
① 二次函数 的图像与a，b，c的关系
字母 字母的符号 图像特征 备注
a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，
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a<0 开口向下 a的大小决定开口的大小(|a|越
大，开口越小)．
b=0 b
对称轴是y轴，即− =0
2a
b 左同右异中间0
a，b同号 b
对称轴在y轴左侧，即− ＜0
2a
a，b异号 b
对称轴在y轴右侧，即− ＞0
2a
c=0 图像过原点
c c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位
置．
c<0 与y轴负半轴相交
与x轴有两个交点
与x轴有唯一交点 的正负决定抛物线与x
轴交点个数
与x轴没有交点
【补充】
1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；
b
2）由a的符号与对称轴x=− 的位置共同确定b的符号；
2a
3）二次函数 的常见结论
【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负
图像上对应点的位置 结论
x轴的上方
x轴上
x轴的下方
图像上对应点的位置 结论
x轴的上方
x轴上
x轴的下方
图像上对应点的位置 结论
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x轴的上方
x轴上
x轴的下方
1．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数y=x2+(2m−1)x+2m ( m≠ 1) ，有下列结论：①该函数图象过
2
定点(−1,2)；②当m=1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当
3 1
1<m< 时，点P(x ,y )，Q(x ,y )是曲线上两点，若−3<x <−2，− <x <0，则y >y ．其中，
2 1 1 2 2 1 2 2 1 2
正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征．
将抛物线整理为y=x2+(2m−1)x+2m=x2+2mx−x+2m=2m(x+1)+x2−x，即可判断①；将m=1代
1
入并计算b2−4ac即可判断②；计算抛物线对称轴并根据m≠ 可判断③；根据题意确定对称轴的范围后
2
可确定P、Q的位置，根据增减性可判断④．
【详解】解：y=x2+(2m−1)x+2m=x2+2mx−x+2m=2m(x+1)+x2−x，
当x=−1时，y=2，
∴该函数图象过定点(−1,2)，故①正确，符合题意；
当m=1时，y=x2+x+2，
令y=0，则x2+x+2=0，
∵Δ=12−4×1×2=−7<0，
∴当m=1时，函数图象与x轴无交点，故②正确，符合题意；
b 1−2m 1
抛物线的对称轴为直线x=− = = −m，
2a 2 2
1
∵m≠ ，
2
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1
∴ −m≠0，
2
1 1
∴当m> 时，对称轴在y轴左侧，当m< 时，对称轴在y右侧，故③错误，不符合题意；
2 2
3
∵1<m< ，
2
1 1
∴−1< −m<− ，
2 2
1
∵−3<x <−2，− <x <0，
1 2 2
∴ P(x ,y )在对称轴左侧，Q(x ,y )在对称轴右侧，
1 1 2 2
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当x=−2时，y = y=4−4m+2+2m=−2m+6，
1最小
当x=0时，y =2m，
2最大
此时，y −y =−4m+6，
1 2
3
∵1<m< ，
2
∴−4m+6>0，
∴y >y ，故④正确，符合题意；
1 2
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
2．（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线y=a(x−2) 2+k（a，k为常数）的x与y的部分对应值如表所示；
x −2 1 4 5 t
y m n p q m
下列四个结论：①t=6②若ak>0，则该抛物线与x轴没有交点；③若n>p，则m>q；④若n·p=0，则
m·q>0，其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称性判断①；分a>0,a<0得出顶点坐标所在象限，即可判
断②；根据n>p，对称轴为直线x=2,可得抛物线开口向下，进而判断③；根据对称性得出(−2,m)关于
x=2的对称点为(6,m)，由n·p=0得出x=1或x=4时，y=0，进而分a>0,a<0分别讨论，即可判断④．
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【详解】解：∵抛物线y=a(x−2) 2+k
∴对称轴为直线x=2,
∵x=−2和x=t时的函数值相等，
−2+t
∴ =2，解得：t=6，故①正确；
2
∵ak>0，抛物线顶点坐标为(2,k)
当a>0,k>0，抛物线开口向上，抛物线顶点(2,k)在第一象限，
∴该抛物线与x轴没有交点；
当a<0,k<0，抛物线开口向下，抛物线顶点(2,k)在第四象限，
∴该抛物线与x轴没有交点；故②正确；
③若n>p，又4−2>2−1，即离对称轴较远的点的函数值较小，
∴抛物线开口向下，
又∵2−(−2)>5−2，即(−2,m)比(5,q)离对称轴远，
∴m<q，故③不正确
∵(−2,m)关于x=2的对称点为(6,m)
又∵n·p=0
∴x=1或x=4时，y=0
当a>0时，x=5和x=6时，y>0，则m·q>0
当a<0时，x=5和x=6时，y<0，则m·q>0
∴④正确
故答案为：①②④．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y
轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=−1，有下列结论：
①bc<0；②4a−b−2c<0；③当x≤−2时，y≥c；④若x ，x (x <x )是方程ax2+bx+c=0的两根，
1 2 1 2
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则方程a(x−x )(x−x )−1=0的两根m，n(m<n)满足m<x 且n>x ．其中，正确的是 ．（填
1 2 1 2
写序号）．
【答案】③④/
【分析】本题主④要③考查了二次函数的图象与字母系数的关系，二次函数的性质，数形结合法，一元二次方
程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征．利用
二次函数图象的性质，数形结合法，和二次函数与一元二次方程的关系对每一个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a>0．
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1．
2a
∴b=2a．
∴b>0．
∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴c>0．
∴bc>0，①的结论错误；
由抛物线可知：当x=−1时，y=a−b+c<0．
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1．
2a
∴b=2a．
∴a−2a+c<0．
∴c−a<0．
∴ 4a−b−2c=4a−2a−2c=2(a−c)>0，②的结论错误；
∵x=0时，y=c，抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴当x=−2时，y=c．
∴由抛物线的对称性可知：当x≤−2时，y≥c．
∴③的结论正确；
∵若x ，x (x <x )是方程ax2+bx+c=0的两根，
1 2 1 2
∴a(x−x )(x−x )=0，A(x ,0)，B(x ,0)，
1 2 1 2
设直线y=1与抛物线交于点M，N，如图，
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分别过点M，N作x轴的垂线，垂足对应的数字为m，n，
即方程a(x−x )(x−x )−1=0的两根m，n，
1 2
由图象可得：m<x ，n>x ；
1 2
∴④的结论正确．
综上，正确结论是③④．
故答案为：③④．
5．（2024·山东滨州·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，
对称轴为直线x=1，下列结论中∶①a−b+c=0；②若点(−3,y ),(2,y ),(4,y )均在该二次函数图象上，
1 2 3
则y <y <y ；③若m为任意实数，则am2+bm+c≤−4a；④方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x ,x ，
1 2 3 1 2
且x <x ，则x <−1,x >3．正确结论的序号为 ．
1 2 1 2
【答案】①③④
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数
与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将(−1,0)代入y=ax2+bx+c，可判断①；根据抛物线
的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据y=ax2+bx+c+1的图象与x轴的交
点的位置可判断④．
【详解】解：将(−1,0)代入y=ax2+bx+c(a<0)，可得a−b+c=0，
故①正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∴点(−3,y ),(2,y ),(4,y )到对称轴的距离分别为：4，1，3，
1 2 3
∵ a<0，
∴图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
∴ y <y <y ，
1 3 2
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故②错误；
b
∵二次函数图象的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴ b=−2a，
又∵ a−b+c=0，
∴ a+2a+c=0，
∴ c=−3a，
∴当x=1时，y取最大值，最大值为y=a+b+c=a−2a−3a=−4a，
即二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象的顶点坐标为(1,−4a)，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c≤−4a
故③正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，
∴与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，
∵ y=ax2+bx+c(a<0)的图象向上平移一个单位长度，即为y=ax2+bx+c+1的图象，
∴ y=ax2+bx+c+1的图象与x轴的两个交点一个在(−1,0)的左侧，另一个在(3,0)的右侧，
∴若方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x ,x ，且x <x ，则x <−1,x >3，
1 2 1 2 1 2
故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故答案为：①③④
27．（2024·山东枣庄·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点P(x ,y )，当点Q(x ,y )满足
1 1 2 2
2(x +x )= y + y 时，称点Q(x ,y )是点P(x ,y )的“倍增点”，已知点P (1,0)，有下列结论：
1 2 1 2 2 2 1 1 1
①点Q (3,8),Q (−2,−2)都是点P 的“倍增点”；
1 2 1
②若直线y=x+2上的点A是点P 的“倍增点”，则点A的坐标为(2，4)；
1
③抛物线 y=x2−x+4上存在两个点是点P 的“倍增点”．其中，正确结论有 个．
1
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并
理解．
依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”A为(x,x+2)，从而可以
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求得A(0,2)，进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为(x,x2−x+4)，从而建立方程求得解，可以判
断③．
【详解】解：①依据题意，由“倍增点”的意义，
∵2(1+3)=8+0，2(1−2)=−2+0，
∴点Q (3,8)，Q (−2,−2)都是点P 的“倍增点”．故①正确．
1 2 1
②由题意，可设满足题意得“倍增点”A为(x,x+2)，
∴2(x+1)=x+2+0．
∴x=0．
∴A(0，2)．故②错误．
③可设抛物线上的“倍增点”为(x,x2−x+4)，
∴2(x+1)=x2−x+4．
∴x=1或2．
∴此时满足题意的“倍增点”有(1，4)，(2，6)两个．故③正确．
故答案为：2．
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