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压轴题 04
圆的综合
目 录
题型一 切线的判定
题型二 圆中求线段长度
题型三 圆中的最值问题
题型四 圆中的阴影部分面积
题型五 圆中的比值（相似）问题
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题型解读： 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的
考查热度.
圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题
的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多
圆的综合
考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中
最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相 100%
似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相
80%
关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类
题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长
60%
及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅
助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热 40%
度.
20%
0%
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一 切线的判定
解题模板：
技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行）
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没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）
【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图， 为 的直径，如果圆上的点 恰使 ，
求证：直线 与 相切．
【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径， 平分 交
于点E，过点E作 ，交 的延长线于点F．
求证： 与 相切；
【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上， ，点
在线段 的延长线上，且 ．
(1)求证：EF与 相切；
(2)若 ，求 的长．
【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图， 为 的直径，E为 上一点，点C为 的中点，
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过点C作 ，交 的延长线于点D，延长 交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
题型二 圆中求线段长度
解题模板：
【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知 为 的直径，点C为圆上一点， 垂直于过点C的直
线，交 于点E，垂足为点D， 平分 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图， 是⊙ 的直径， 为⊙ 上的一点，点 是 的中点，
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连接 ，过点 的直线垂直于 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在 中， 为 的直径，点 为 上一点，
为 的平分线交 于点 ，连接 交 于点E．
(1)求 的度数；
(2)如图2，过点A作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．若 ，
，求 的长．
【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图， 是等腰直角三角形， ，点O为 的中
点，连接 交 于点E， 与 相切于点D．
(1)求证： 是 的切线；
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(2)延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
题型三 圆中的最值问题
解题模板：
技巧精讲：
1、辅助圆模型
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【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在 中， 为直径，C是 上一点， .过O分
别作 于点H， 于点D，点E、F分别在线段 上运动（不含端点），且保持
．
(1) ______；四边形 是______（填矩形/菱形/正方形）； ______；
(2)当F和D不重合时，求证： ；
(3)①在图1中， 是 的外接圆，设 面积为S，求S的最小值，并说明理由；
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②如图2：若Q是线段 上一动点，且 ， ， 是四边形 的外接圆，则
当n为何值时， 的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径 ，弦 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 的面积最大时，求 的度数．
【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段 ， ，线段 绕点 在直线 上方旋转，
连接 ，以 为边在 上方作 ，且 ．
(1)若 ，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ，用等式表
示线段 与 的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若 ， ， ，求 的长；
(3)如图3，若 ， ， ，当 的值最大时，求此时 的值．
【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】
如图 ，在 中， ， ， ，则 的外接圆的半径值为______；
【问题解决】
如图 ，点 为正方形 内一点，且 ，若 ，求 的最小值；
【问题解决】
如图 ，正方形 是一个边长为 的书展区域设计图， 为大门，点 在边 上， ，
点 是正方形 内设立的一个活动治安点，到 、 的张角为 ，即 ，点 、 为另
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两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点 ，使得 到 、 、 三个治安点的距离和
最小，试求 的最小值．（结果精确到 ，参考数据 ， ）
题型四 圆中的阴影部分面积
技巧精讲：
【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰 的顶点A，C 在 上， 边经过圆心0且与
交于D 点， .
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求阴影部分的面积
【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形 内接于 ．
(1)若P是 上的动点，连接 ， ，求 的度数；
(2)已知 的面积为 ，求 的面积．
【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在 中， 为 边上一点，连结
．以 为半径的半圆与 边相切于点 ，交 边于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ．
①求半圆 的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图， 是 的直径，点C，D是 上 异侧的两点，
，交 的延长线于点E，且 平分 ．
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(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图， 为 的直径，点C是 的中点，过点C做射线
的垂线，垂足为E．
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有 的式子表示）．
题型五 圆中的比值（相似）问题
技巧精讲：
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【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图， 为 的直径， 点 D为 上一点， 过点 B作 切线
交 延长线于点 C， 平分 ， 交于F．
(1)求证： ；
(2)若 半径为2， ，求 的长度．
【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图， 是 的直径，点 ， 在 上， 平分 ，交
于点 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)当 ，且 时，求线段 的长．
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(3)点 为线段 上一点，且 平分 ，若 ， ，求 的长．
【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图， 是 的直径 与 相切于点C，与 的延长线交于
点D，连接 ，点E在线段 上，过点E作 的垂线交 的延长线于点F，交 于点G．
(1)求证： ；
(2)若 ，点E为 的中点，求 的长．
【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图， 是 的直径，点 在直径 上（ 与 不重合），
且 ，连接 ，与 交于点 ，在 上取一点 ，使 与 相切．
(1)求证： ；
(2)若 是 的中点， ，求 的长．
一、解答题
1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形 内接于 ，对角线 是 的直径，过点 作 的垂
线交 的延长线于点 ， 为 的中点，连接 ， ， 与 交于点 ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图， 平分 ， 与⊙O相切于点 ，延长 交 于点 ，
过点 作 ，垂足为 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4， ，求 的长．
3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l与 相离， 于点A，交 于点 P，点 B 是
上一点，连接 并延长，交直线l于点 C，使得 ．
(1)判断直线 与 的位置关系并说明理由；
(2) 求线段 的长．
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4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图， 是 的直径，点P是 延长线上一点，且 与 相切于
点A，弦 于点F，过D点作 于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径和 的长．
5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，
E为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 长．
6．（2024-山东泰安-一模）如图， 是 的两条直径，过点C的 的切线交 的延长线于点
E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若B是 的中点， ，求 的半径．
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7．（2024-福建南平-一模）如图1，点 是 的边 上一点． ， ， 是
的外接圆，点 在 上（不与点 ，点 重合），且 ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)如图2，若 是⊙ 的直径，且 ，折线 是由折线 绕点 顺时针旋转 得到．
①当 时，求 的面积；
②求证：点 ， ， 三点共线．
8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点
D，过点C作 的切线，交 的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图， 为 的直径， 和 相交于点F， 平分 ，点C
在 上，且 ， 交 于点P．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)已知 ，求 的值．
10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，过点D作
，交 的延长线于点F，交 的延长线于点E，连接 ．若 ．
(1)求证： 为 的切线．
(2)若 ， ，求 的半径．
11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D，E在以 为直径的 上， 的平分线交 于点
B，连接 ， ， ，过点E作 ，垂足为H，交 于点F．
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(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图， 是 的直径，点 是 上的一点（点 不与点 ， 重
合），连接 、 ，点 是 上的一点， ， 交 的延长线于点 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为 ， ，则 的长为______ ．
13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图， 是 的直径，点 是圆上的一点， 于点 ，
交 于点 ，连接 ，若 平分 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，延长 ，
交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
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(2)求证： ；
(3)若 ，求 的值．
14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 与 交于点
D，点 是 的中点，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，点P是 上一动点，求 的最大值．
15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在 中， ，以 为直径作 与 交于点D，过
点D作 ，交 延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
19
