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专题 04 点圆模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力.该题
型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点.
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本专题就动点轨
迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.
模型01 定义型
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆.
模型02 直径所对的角为直角（直角模型）
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧.
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P
P P
A B
O
模型03 等弦对等角模型
一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧.
P
P
P
A B
模型01 定义型
考｜向｜预｜测
点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，
难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，
结合圆和其它几何的相关知识点进行解题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据题意判定动点的变化特性
第二步： 找准定点和定长（圆心和半径）
第三步： 结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题
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例1．（2022·广西）如图，在△ABC中， ， ， ，点D在AC边上，且 ，
动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作 ，
过点D作DM⊥AB于M，交 于Q．
∵ ， ， ，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB， ．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴ ，DC=AC-AD=1．
∴ ，DQ=DC=1．∴ ．∴ ．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．∴点E在 上移动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为 ．
故选：A．
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例2．（2022·北京）如图，在 中， ， ， ，点 是边 的中点，
将 绕点C逆时针方向旋转得到 ，点 是边 上的一动点，则 长度的最大值与最小值的
差为 ．
【答案】 /
【详解】解： ， ， ， ，
将 绕点 按顺时针方向旋转，得到 ，点 是边 的中点，
， ， 点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
如图，当点 ，点 ，点 共线，且 时， 长度最小，
， ， 最小值为 ．
当点 与点 重合，且点 在 的延长线上时， 长度最大，则最大值为
长度的最大值与最小值的差为
故答案为： ．
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模型02 直角模型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主
要考查对圆性质的的理解.实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键.
许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形
问题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；
第二步： 利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；
第三步： 涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等
相关知识点；
第四步： 数形结合进行分析、解答
例1．（2021·山东）如图，在正方形ABCD中， ，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE
和AF交于点G，连接BG．若 ，则BG的最小值为__________．
【答案】 ．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，
∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
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∴ 在Rt AOB中，∠OAB=90°∴OB=
△
∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为： ．
例 2．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 是第一象限内的一个动点并且使
，点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，以 为直径作 ，连接 ，交 于 ，此时 长最小，
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， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
模型03 等弦对等角
考｜向｜预｜测
点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以
压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度.
该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与
半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的
判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属
于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察图形特点，确定定弦和定角；
第二步： 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
第三步： 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
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例1．（2022·江苏）如图，已知正方形 的边长为2，若动点E满足 ，则线段 长的最
大值为 ．
【答案】
【详解】解： ，∴点E在以 为直径的圆上，如图所示， 的最大值为 ，
∵正方形 的边长为2， ， 的最大值为 ，
当点E在 的下方时， 的最大值也是 ，
故答案为： ．
例2．（2023·重庆）如图，在边长为 6的等边 中，点 ， 分别是边 ， 上的动点，且
，连接 ， 交于点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
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【答案】
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
如图，过点 ，点 ，点 作 ，连接 ， ，
点 在 上运动，
，
， ， ，
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，
，
，
， ，
垂直平分 ，
，
， ，
，
，
在 中， ，
当点 在 上时， 有最小值，
的最小值 ，
故答案为 ．
1. （2023·广东）如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M为线段
上一点． ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形 为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵ ，
∴
∴
∵
故选：D．
2. （2023·湖南）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将
△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
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A．2 B． +1 C．2 ﹣2 D．3
【答案】C
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD= MD=1，
∴HM= = ，CH=CD+DH=5，
∴ ，
∴A′C=MC-MA′=2 -2；
故选：C．
3．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点
B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为 ，连接OC，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴CO＝OA＝1，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴ 的长为 ，
故选：D．
4．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝
6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
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【答案】
【详解】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，
∵△ADE绕点A旋转，
∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，
∵AM+AN≥MN，
∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，
∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，
在Rt ABN中，由勾股定理得 ，
△
在Rt ADM中，由勾股定理得 ，
△
根据旋转的性质得，AM′＝AM＝ ，
∴M′N＝AN+AM′＝ ，即MN的最大值为 ．
故答案为： ．
5．（2023·云南）如图，在Rt ABC中， ， ，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，
△
连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
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【答案】3
【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，
∴BD＝2，∴ ．
由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，
∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心， 长为半径的圆上运动，
CE的最大值即C到BA中点的距离加上 长．
∵ ， ，BC＝2，∴C到BA中点的距离即 ，
又∵ ，∴CE的最大值即 ．故答案为3．
6．（2023·贵州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段
EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+ CG的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：如图，
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在Rt DEF中，G是EF的中点，
△
∴DG＝ ，
∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠GDI＝∠CDG，
∴△GDI∽△CDG，
∴ ＝ ，
∴IG＝ ，
∴BG+ ＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+ CG最小＝BI，
在Rt BCI中，CI＝3，BC＝4，
∴BI＝△5，
故答案是：5．
7．（2022•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内
一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为 ．
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【答案】5﹣2 ．
【详解】解：如图，作△EMC的外接圆⊙O，连接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，
∵BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，
∴BE＝1，EC＝4，
∵∠CME＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE＝OC＝2 ，ON＝EN＝CN＝2，
∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，
在Rt AFO中，AO＝ ，
△
当点M是OA与⊙O的交点时，AM最小，
∴AM的最小值＝OA﹣OE＝5﹣2 ．
故答案为：5﹣2 ．
8．（2023·贵阳）如图，矩形 中， ， ，点 ， 分别是 ， 边上的两个动点，
且 ，点 为 的中点，点 为 边上一动点，连接 、 ，则 的最小值为
．
【答案】45
【详解】解：由已知，点 在以 圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．
作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，交以 为圆心，以5为半径的圆于
由两点之间线段最短，此时 的值最小
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最小值为 ，
则 的最小值 ，
故答案为：45．
9．（2023·安徽）等腰直角 中， ， ，点 是平面内一点， ，连接 ，将
绕 点逆时针旋转 得到 ，连接 ，当 填度数 度时， 可以取最大值，最
大值等于 ．
【答案】
【详解】解：如图一，连接 、 ．
是等腰直角三角形， ， ，
将 绕 点逆时针旋转 得到 ， ， ， ，
， ， ．
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，
如图二， 点 在以点 为圆心， 长为半径的圆周上运动，
当 、 、 在同一直线上 最长， ，
故答案为： ；
10．（2023·广西）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC边上的点，且AC＝CD＝
3，连接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．
（1）当∠B＝22.5°时，求证：CD平分∠ACB；
（2）当CD＝BD时，求 的值；
（3）如图②，若点F是线段AC上一点，且AF＝1，连接DF，EF，EF交CD于点G，求△DEF面积的最
大值．
【答案】（1）证明过程见详解；（2） +1；（3） ﹣3．
【详解】（1）证明：∵∠CAE+∠AEB＝180°，∠CEA+∠AEB＝180°，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴AC＝CE，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝CE，
∵∠B＝22.5°，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝180°﹣2×67.5°＝45°，
∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（2）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，
如图①，以点C为圆心，CA长为半径作圆，过点E作EP⊥AB于P，
∵CD＝BD，
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∴∠DCB＝∠B，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CAD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴CD＝AD，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，CD＝AD＝BD＝3，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣ ∠ACB＝180°﹣ ×90°＝135°，
∴∠EDP＝180°﹣135°＝45°，
∴△DPE是等腰直角三角形，
∴DP＝EP，
设DP＝EP＝x，则BP＝3﹣x，
在Rt BEP中，tanB＝ ＝ ＝ ，
△
解得：x＝ ，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAE＝45°，
∴∠CAE＝∠PDE，
∵∠ACE＝∠DPE＝90°，
∴△ACE∽△DPE，
∴ ＝ ＝ ＝ +1；
（3）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，
如图②，以点C为圆心，CA长为半径作圆，
∵CE＝CD＝3，CF＝AC﹣AF＝3﹣1＝2，∠ACB＝90°，
∴EF＝ ＝ ＝ ，为定值，
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∵CD为定值，
∴当CD⊥EF时，CG取得最小值，
此时，点D到EF的距离取得最大值，
即△DEF的面积取得最大值，
∵S ＝ CF•CE＝ EF•CG ，
CEF 最小
△
即 ×2×3＝ × ×CG ，
最小
解得：CG ＝ ，
最小
∴DG ＝CD﹣CG ＝3﹣ ，
最大 最小
∴S ＝ EF•G ＝ × ×（3﹣ ）＝ ﹣3．
DEF最大 最大
△
1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接
AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
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【答案】A
【详解】解：连接AM，
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵AC＝ ，AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
2．如图，正方形 的边长是4，点 是 边上一动点，连接 ，过点 作 于点 ，点
是 边上另一动点，则 的最小值为
A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【详解】解：如图：
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取点 关于直线 的对称点 ．以 中点 为圆心， 为半径画半圆．
连接 交 于点 ，交半圆 于点 ，连 ．连 并延长交 于点 ．
由以上作图可知， 于 ．
由两点之间线段最短可知，此时 最小．
，
，
，
的最小值为 ，
故选：B．
3．如图，在Rt 和Rt 中， ， ，AB=AE=5．连接BD，CE，将
△ 绕点A旋转一周，在旋转的过程中当 最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
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过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt ABD中，由勾股定理得：BD= ，
△
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，即 ，
解得：CF= ，
∴此时三角形ACE的面积= =6，故选：A．
4．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一
点E，使∠DAC△＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（ ）
A．2 ﹣3 B． C． ﹣2 D．
【答案】C
【解答】解：∵Rt ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝4， △
如图，取AC的中点O，连接OE，OB，
∵∠DAC＝∠DCE，∠DCE+∠ACE＝90°，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，
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∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AD，
可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，
可得此时OE＝OC＝OA＝2，
在Rt OCB中，OB＝ ，
△
故BE的最小值为：OB﹣OE＝ ﹣2，
故选：C．
5．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是
（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【详解】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆弧上，
如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，
连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，
∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，
∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，
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∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt CBH中，CH＝ ＝2，BH＝ ，
△
∴BD＝ ，
在Rt OBD中，OD＝ ＝ ，
△
∴PD的最小值为OD﹣OP＝ ．
故选：B．
6．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝
∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 ．
【答案】7
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ADP＝∠PAB，
∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°，
∴点P的运动路线为以AD为直径的圆，
作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP，
则OP＝OP′＝3，M′N＝MN，
∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3，
∴PN+MN的最小值为OM′﹣3；
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连接OM，
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点，
∴OD＝ AD＝ BC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°，
∴四边形OMCD是矩形，
∴OM＝DC＝AB＝8，
∵点M关于直线DC的对称点M′，
∴M′M＝2MC＝6，
在Rt M′OM中，
△
由勾股定理，得OM′＝ ，
∴PN+MN的最小值为OM′﹣3＝10﹣3＝7，
故答案为：7．
7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点
F，连接CF，则∠AFB＝ ，CF的最小值是 ．
【答案】120°，2 ．
【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
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∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2 ），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4 ﹣2 ＝2 ．
故答案为：120°，2 ．
8．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一
点，连接EF，将△△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 ．
【答案】4+
【详解】解：在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4， △
∴AC＝ ＝ ＝ ，
如图，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，
此时BD的长度最小，
∵将△AEF沿EF对折得到△DEF，且点E是AC的中点，
∴AF＝D′F，AE＝A′E＝ ，
∵C ＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′，
BD′F
∴此△时△BDF的周长最小，
过E作EM⊥AB于点M，
∴EM＝ ＝ ，
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由勾股定理可得AM＝ ＝ ＝ ，
∴BM＝AB﹣AM＝ ，
由勾股定理可得BE＝ ＝ ＝ ，
∴BD′＝BE﹣ED′＝ ，
∴△BDF周长的最小值是4+ ．
故答案为：4+ ．
9．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝ AD，N是AB边上的
一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是 ．
【答案】 ﹣1
【详解】解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，
∵AM＝ AD，AD＝CD＝3
∴AM＝1，MD＝2
∵CD∥AB，
∴∠HDM＝∠A＝60°
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∴HD＝ MD＝1，HM＝ HD＝
∴CH＝4
∴MC＝ ＝
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，
∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值
∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝ ﹣1
故答案为： ﹣1
10.如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连接
，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为
．
【答案】 /
【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
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即 （定长），
点 是定点， 是定长，
点 在半径为1的 上，
，
的最大值为 ，故答案为： ．
11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动
的路径长为 ．
【答案】
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是 ，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CD AC＝1，
∵ 所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
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∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OD AD ，OA＝2OD ，
∴ 的长为 π；
故答案为： π．
12．如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满足
，连接 ，则线段 长的最小值为 ．
【答案】4
【详解】解： ，
，
，
，
，
点 在以 为直径的 上，连接 交 于点 ，此时 最小，
在 中， ， ， ，
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，
．
最小值为4．故答案为：4．
13．（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可
以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在 中， ， ， 是 外一点，且 ，求 的度
数，若以点 为圆心， 为半径作辅助圆 ，则点 、 必在 上， 是 的圆心角，而
是圆周角，从而可容易得到 ．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形 中， ， ，求 的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的： 的外接圆就是以
的中点为圆心， 长为半径的圆； 的外接圆也是以 的中点为圆心， 长为半径的圆．这
样 、 、 、 四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出 的度数，请运用小刚的思
路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在 中， ， 是 边上的高，且 ， ，求 的长．
【答案】（1）45；（2）25°；（3）
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【详解】解：（1）如图1， ， ，
以点 为圆心，点 、 、 必在 上，
是 的圆心角，而 是圆周角，
，
故答案是：45；
（2）如图2，取 的中点 ，连接 、 ．
，
点 、 、 、 共圆，
，
，
，
（3）如图3，作 的外接圆，过圆心 作 于点 ，作 于点 ，连接 、 、
．
，
．
在 中， ，
．
， 为圆心，
，
．
在 中， ， ，
．
在 中， ， ，
，
．
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