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专题 06 圆中的相关证明及计算
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 圆的基本性质证明与计算
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 圆中的角度和线段计算问题
题型02 垂径定理的实际应用
题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算
题型04 求弓形面积或不规则图形面积
题型05 正多边形与圆的相关计算
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
考点二 与圆有关的位置关系
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 与圆有关的位置关系
题型02 切线的判定
题型03 三角形内切圆、外接圆的相关计算
题型04 四点共圆
题型05 相交弦定理
题型06 切割线定理
题型07 割线定理
题型08 圆与相似综合
题型09 圆与三角函数综合
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度
圆的基本性质证明与
从基础到综合都有通常选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周
计算
角等的关系,基本都是基础应用，难度不大,个别会出选择题的压轴题，难度稍大.简
答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，这是一
与圆有关的位置关系
般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考
察,此时一般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多.
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考点一 圆的基本性质证明与计算
题型01 圆中的角度和线段计算问题
圆的基础定理: 垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的
特征，综合应用起来解决相关问题.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
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推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角= 圆心 角）
2
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
垂径定理模型（知二得三）
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ AC=AD ⑤ BC=BD
C
A O E B
D
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的
弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其
中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
【利用圆周角定理解题思路】
1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以
利用圆周角定理进行角的转化.
2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．
4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧
的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
1．（2023·广东广州·中考真题）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，若
的半径为r， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
2．（2023·湖南·中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的 上， ， ，垂足为E，
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交 于点D，连接 ，则 的长度为 ．
3．（2023·江苏·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的内接三角形．若 ，
，则 的直径 ．
4．（2023·湖北·中考真题）如图，在 中， 的内切圆 与 分别相切于
点 ， ，连接 的延长线交 于点 ，则 ．
题型02垂径定理的实际应用
1．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记
载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问
径几何？”用几何语言表达为：如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸， 寸，则
直径 长为 寸．
2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径
BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
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3．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科
学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒
车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的 ．如图②， 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当
时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时 ，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数
据， ）
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时， 的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到 米）
题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则 O
R
扇形弧长公式 nπR n°
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n
180 l
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥侧 n°
l
圆锥全面积公式 S 圆锥全 =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） h
r
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
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1） 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式
nπR
l= 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
180
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，
nπR2 1
然后直接代入公式S扇形=
360
或 S扇形 =
2
l R中求解即可．
1
3）扇形面积公式S扇形=
2
l R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角
形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.
4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，
nπR
即2πr= ，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根
180
据圆锥的侧面积计算公式来解决问题．
6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形
的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展
开后的扇形半径两个概念．
1．（2023·江苏·中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·湖南·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，扇形 的半径为2，分别以点 为圆心，大于 的长为半
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径画弧，两弧相交于点P， ，则 的长 ．（结果保留 ）
4．（2023·山东济南·中考真题）如图，正五边形 的边长为 ，以 为圆心，以 为半径作弧 ，
则阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
题型04 求弓形面积或不规则图形面积
【阴影部分面积求解问题简介】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图
形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，边长为 的正方形 内接于 ， ， 分别与 相切
于点 和点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
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2．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该
场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆 的距离是
5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同
时观看演出．（ 取3.14， 取1.73）
3．（2023·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作
圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ）.
4．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形 的顶角 ， 和底边 相切于点 ，
并与两腰 ， 分别相交于 ， 两点，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
5．（2023·四川广安·中考真题）如图，在等腰直角 中， ，以点 为圆心，
为半径画弧，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，则图中阴影部分的面积
是（ ）
A． B． C． D．
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题型05 正多边形与圆的相关计算
正多边形的常用公式
边长 1800
a =2R ⋅sin （R n为正多边形外接圆的半径）
n n n
周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 360°
n
面积 1 对角线条数 n(n−3)
Sn= an⋅rn⋅n
2 2
边心距 1800 内角和 （ n-2 ）×180°.
rn=Rn⋅cos
n
内角度数 （n−2）×180° n边形的边数 （内角和÷180°）＋2
n
a 、Rn、rn的 关系 a2
n R2=r2+ n （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个
n n 4
值可以借助勾股定理求解.）
【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成
2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，
故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．
1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．
如图，这个图案绕着它的中心旋转角 后能够与它本身重合，则角 可以为 度．
（写出一个即可）
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3．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为 ．
圆的对称性
内容 补充
圆的轴对 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图
称性 分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的 形所没有的性质.
直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
②圆的对称轴不是直径，而是直径所
在的直线.
圆的中心 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图
对称性 形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与 ③圆是一个特殊的对称图形，它的许
自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 多性质都可以由它的对称性推出.
弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等.
【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也
都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化．
1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转
化.
2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧
所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
圆内接四边形
性质：1）圆内接四边形对角互补.
2) 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
正多边形常见边心距与边长的比值
图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比
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等边三角形 1: √3 : 2 1:2
O
A B
AOB=60°
正方形 1:1: √2 1: √2
O
A
B
AOB=45°
正六边形 O √3 : 1: 2 √3 : 2
B
A
AOB=30°
【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.
一、单选题
1．（2023·辽宁大连·一模）如图，四边形 内接于 ，连接 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·青海西宁·二模）一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为
（ ）
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A． B． C． D．
3．（2023·湖北武汉·一模）如图， 为四边形 的内切圆， ， ， ，则
的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形 中， ，以 为直径的 恰好经过点 ，
交 于点 ，当点 为 的中点时，下列结论错误的是（ ）
A． 平分 B．
C． D． 的长为
5．（2023·江苏苏州·一模）已知正六边形的内切圆半径为 ，则它的周长为 ．
6．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，延长正五边形 各边，使得 ，若
，则 的度数为 ．
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7．（2023·浙江杭州·三模）如图， 与 分别相切于点A，B， ， ，则 ．
8．（2023·北京西城·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的
一个圆弧形门洞的高为 ，地面入口宽为 ，求该门洞的半径
9．（2023·浙江舟山·二模）如图， 和 是两个完全重合的直角三角板， ，斜边长为
三角板 绕直角顶点 顺时针旋转，当点 落在 边上时，则点 所转过的路径长为
．
10．（2023·河南周口·二模）如图 所示的是以 为直径的半圆形纸片， ，沿着垂直于 的半径
剪开，将扇形 沿 向右平移至扇形 ，如图 ，其中点 与点 重合，点 与点 重合，则
图中阴影部分的面积为 ．
11．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．
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（1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．
①机器人从点 走到点 的路程为 ；
②机器人从点 到点 走了两条不同的路线．路线1： ；路线2： ，路线
1的长记为 ，路线2的长记为 ，则 ；（填“>”“<”或“=”）
（2）如图2，机器人从 出发，沿与半径 夹角为 的方向行走，走到场地边缘 后，再沿与 夹角
为 的方向折向行走至 ，…按照这样的方式，机器人走到 时第一次超过 ，且 ，则
．
12．（2023·山东菏泽·二模）如图1， 为 的圆心， 、 为 上的两点，且 ，连接 并
延长，与 的延长线相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 、 、 ，与 、 分别交于点 、 ．若 的直径为10， ，请求出
的值．
13．（2023·河北·模拟预测）已知在 中， ，点 是 内心，连接 ，
且 ，现将 以B为圆心顺时针旋转到 边与 边所在直线重合，点 落在点
处，将 以 为圆心逆时针旋转到 边与 边所在直线重合，点 落在点 处．
(1)求证： 和 所在的直线 ；
(2)求线段 的长度；
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(3)在⊙ 中，求以 为圆心角的扇形与以 为圆心角的扇形和以 为圆心角的扇形面积之
比是多少？
14．（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和
六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在
大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如 ）始终垂直于水平线l．
(1) ________°
(2)若 ， 的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于 时，求 的长；
③求证：在旋转过程中， 的长为定值，并求出这个定值．
15．（2023·辽宁·模拟预测）【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下
向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最
底层）杯子的个数变化而变化．
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
第一层杯子的个数
杯子的总数
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然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情
况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总
数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，
进而求出 与 的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出 与 的关系式；
（2）现有 个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
（3）杯子的侧面展开图如图4所示， ， 分别为上、下底面圆的半径， 所对的圆心角
， ．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面
长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过 ，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提
示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等）
考点二 与圆有关的位置关系
题型01 与圆有关的位置关系
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系 图形 定义 性质及判定
P
r
d
点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外
P
r
d
点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上
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r P
点在圆内 d 点在圆的内部 d < r 点P在圆内
【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半
径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
2. 直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
r
相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离
d
r
相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切
d
r
相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交
d
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
3. 圆和圆之间的位置关系
设⊙O、⊙O 的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
1 2
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
R
r
外离 无 d>R+r⇔两圆外离
O 1 d O 2
R
外切 r 1个切点 d=R+r⇔两圆外切
O 1 d O 2
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r R
相交 两个交点 R−r<d<R+r⇔两圆相交
O d O
1 2
R
r
d
内切 1个切点 d=R−r⇔两圆内切
O O
1 2
R
r d
内含 无 0≤d<R−r⇔两圆内含
O O
1 2
两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两
圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并
进行分类讨论，否则比较容易漏解．
2. 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点
连线的垂直平分线上.
3. 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d与半
径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的.
4. 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或内
含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧．
1．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与圆B内
切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有 和点 ， ，若 半径为 ，线段 ，
，则直线 与 的位置关系为（ ）
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A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，等圆 和 相交于A，B两点， 经过 的圆心 ，若
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川德阳·中考真题）已知 的半径为 ， 的半径为 ，圆心距 ，如果在 上存
在一点 ，使得 ，则 的取值范围是 ．
5．（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（ ）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B
不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离 可用公式 来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝
－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：
．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线 的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线 的位置关系，若相交，设其弦长
为n，求n的值；若不相交，说明理由．
题型02切线的判定
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆
心的直线．）
性质
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中
作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计
算或证明．
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1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判定
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”；
3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半
径，简称“作垂直，证半径”．
1．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图， 是 的直径， 与 交于点F，弦 平分 ，
点E在 上，连接 、 ，________．求证：________．
从① 与 相切；② 中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填
写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若 ， ，求阴影部分的面积．
2．（2023·湖北恩施·中考真题）如图， 是等腰直角三角形， ，点O为 的中点，连接
交 于点E， 与 相切于点D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图1，点 为等边 的重心，点 为 边的中点，连接 并延长
至点 ，使得 ，连接 ， ， ，
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(1)求证：四边形 为菱形．
(2)如图2，以 点为圆心， 为半径作
①判断直线 与 的位置关系，并予以证明．
②点 为劣弧 上一动点（与点 、点 不重合），连接 并延长交 于点 ，连接 并延长交
于点 ，求证： 为定值．
题型03 三角形内切圆、外接圆的相关计算
常见结论
2S
1）三角形内切圆半径公式：r= ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
C
a+b−c ab
2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r= 或r= ，其中a，b为直角三角形的直角边长，
2 a+b+c
c为斜边长.
【解题思路】解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造
直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解．
1．（2023·内蒙古·中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆， ，垂
足分别为 ，连接 ．若 的周长为21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，点O是 外接圆的圆心，点I是 的内心，连接 ， ．
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若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作
IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在 网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均
在格点上，点O是 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除 外把你认为外心也是O的三角
形都写出来 ．
5．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点 是 的内心， 的延长线与边 相交于点 ，与
的外接圆相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)求证： ；
(4)猜想：线段 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
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题型04 四点共圆
判定方法 图形 证明过程
若四个点到一个定点的距离相 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
D （圆的定义）
等，则这四个点共圆（圆的定 A
义）.
O
C
适用范围：题目出现共端点，等 B
线段时，可利用圆的定义构造辅
助圆.
若一个四边形的一组对角互补， D 反证法
A
则这个四边形的四个点共圆.
O
B
C
若一个四边形的外角等于它的内 D 反证法
A
对角，则这个四边形的四个点共
圆.
O
B
C E
同侧共边三角形且公共边所对角 A D 反证法
相等的四个顶点共圆.
O
B
C
共斜边的两个直角三角形的四个 A D
连接AO、OD
A
顶点共圆. 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
B
适用范围：双直角三角形共斜边 O C B O C 可得AO=BO=CO=DO
∴点A、B、C、D四点共圆
模型.
D
在⊙O中，若弦AB、CD相交于点
在△APB和△CPD中
C
P,且AP•DP=BP•CP，则A,B,C,D A AP•DP=BP•CP
2
13 4
四点共圆（相交弦定理的逆定 P ∠3=∠4
B
理） O D ∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2
则A、B、C、D四点共圆
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在⊙O中，若AB、CD两线段延长 P
在△APC和△DPB中
A
后 相 交 于 点 P, 且 3 AP•BP=CP•DP
2 C
AP•BP=DP•CP，则A,B,C,D四点 B 1 O ∠P=∠P ∴△APC∽△DPB
共圆（割线定理） ∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180°
D ∴∠1+∠2=180°
则A、B、C、D四点共圆
若四边形两组对边乘积的和等于 C
对角线的乘积，则四边形的四个 D
顶点共圆(托勒密定理的逆定
O
理).
B
A
1．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于
点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD=45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
2．（2021·四川眉山·中考真题）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， ，
，点 在线段 上从点 至点 运动，连接 ，以 为边作等边三角形 ，点 和点
分别位于 两侧，下列结论：① ；② ；③ ；④点 运动的路
程是 ，其中正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
3．（2023·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知抛物线
与 轴交于点 ，抛物线的对称轴与 轴交于点 ．
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(1)如图，若 ，抛物线的对称轴为 ．求抛物线的解析式，并直接写出 时 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若 为 轴上的点， 为 轴上方抛物线上的点，当 为等边三角形时，求点 ，
的坐标；
(3)若抛物线 经过点 ， ， ，且 ，求正整数m，n的值．
4．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在
平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1， 中， （ ）．点D是 边上的一动点（点D不与B，C
重合），将线段 绕点A顺时针旋转 到线段 ，连接 ．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当 时， 是四边形 的外接圆，求证： 是 的切线；
(3)已知 ，点M是边 的中点，此时 是四边形 的外接圆，直接写出圆心P与点
M距离的最小值．
5．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继
续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ，如果 ，那么 ， ， ，
四点在同一个圆上．
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探究展示：
如图2，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），
连接 ， 则 （依据1）
点 ， ， ， 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点 ， 在点 ， ， 所确定的 上（依据2）
点 ， ， ， 四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形 中， ， ，则 的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知 是等腰三角形， ，点 在 上（不与 的中点重合），连接
．作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ， ．
①求证： ， ， ， 四点共圆；
②若 ， 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
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题型05 相交弦定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
已知 图形 结论 证明过程
C 在△APB和△CPD中
【基础】在⊙O A AP•DP=BP•CP
2 ∠1=∠2（同弧所对圆周角相
中，弦AB、CD相
13 4
交于点P B P 等）
O D
∠3=∠4 ∴△APB∽△CPD
AP BP
∴ = 则AP•DP=BP•CP
CP DP
【进阶】在⊙O M C BP•CP=MP•NP 同上
中，OP 所在直线
=(r-OP)( r+OP)
与⊙O 交于 M、N
两点，r为⊙O的 B P O = r2−OP2
半径
N
1．（2017·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与
CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：AE•EB=CE•ED；
（2）若⊙O的半径为3，OE=2BE， ，求tan∠OBC的值及DP的长．
2．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形 内接于 ，对角线 ， 相交于点E，点F在边
上，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，则 ___________； ___________；
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___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形 ， 的面积依次为 ，若满足 ，试判断，
的形状，并说明理由．
②当 ， 时，试用含m，n，p的式子表示 ．
题型06 切割线定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
已知 图形 结论 证明过程
如图，线段 ADC是 B AB2=AD•AC ∵∠1=∠2（弦切角定理模型），
⊙O 的一条割线， 1 ∠A=∠A
AB是⊙O的一条切 2 O ∴△ABD∽△ACB
线， C D A
AB AD
∴ = 则AB2=AD•AC
切点为点B AC AB
1．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点
D，过点C作 的切线，交 的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
2．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图， 为 的直径，D，E是 上的两点，延长 至点C，连
接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
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(3)若 ，求 的半径．
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图1，已知 是 的直径， 是 的切线， 交 于点 ，
．
(1)填空： 的度数是_________， 的长为_________；
(2)求 的面积；
(3)如图2， ，垂足为 ． 是 上一点， ．延长 ，与 ， 的延长线分别交
于点 ，求 的值．
题型07割线定理
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.
已知 图形 结论 证明过程
【基础】在⊙O AP•BP 连接AC、BD
中，弦AB、CD相 =CP•DP
通过已知条件证明
交于点P，且点P
在圆外 △APC∽△DPB
AP CP
∴ = 则
DP BP
AP•BP=CP•DP
（请尝试连接 AD，BC 自行
证明）
【进阶】若从圆外 P AP•BP 同上
A
一点P引圆的两条
M =MP•NP
割线PAB和PMN，
且割线PMN经过圆 B =(OP-r)( OP+r)
心，r 为⊙O 的半 O = OP2-r2
径
N
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1．（2022·湖南·中考真题）如图，四边形 内接于圆 ， 是直径，点 是 的中点，延长 交
的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
题型08 圆与相似综合
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
1．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图
1， 的直径 垂直弦AB于点E，且 ， ．
(1)复习回顾：求 的长．
(2)探究拓展：如图2，连接 ，点G是 上一动点，连接 ，延长 交 的延长线于点F．
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①当点G是 的中点时，求证： ；
②设 ， ，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接 ，当 为等腰三角形时，请计算 的长．
2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图， 是 的直径，点 是圆上的一点， 于点 ，
交 于点 ，连接 ，若 平分 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，延长 ，
交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的值．
3．（2023·山东·中考真题）如图， 为 的直径，C是圆上一点，D是 的中点，弦 ，垂足
为点F．
(1)求证： ；
(2)P是 上一点， ，求 ；
(3)在（2）的条件下，当 是 的平分线时，求 的长．
4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点
．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
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(1)求直线 及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 的坐
标；若不存在，请说明理由；
(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值．
题型09 圆与三角函数综合
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
A
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
c
b
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
sin A= = ，sin B= =
斜边 c 斜边 c a
C B
∠A所邻的边 b ∠B所邻的边 a
cos A= = ，cosB= =
斜边 c 斜边 c
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
tan A= = ，tanB= =
邻边 b 邻边 a
1．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在 中， ， ， ．若 的半径
为4，点 在 上，点 在 上，连接 ，求线段 的最小值；
（2）如图②所示，五边形 是某市工业新区的外环路，新区管委会在点 处，点 处是该市的一个
交通枢纽．已知： ， ， ．根据新区的自然
环境及实际需求，现要在矩形 区域内（含边界）修一个半径为 的圆型环道 ；过圆心 ，作
，垂足为 ，与 交于点 ．连接 ，点 在 上，连接 ．其中，线段 、 及
是要修的三条道路，要在所修道路 、 之和最短的情况下，使所修道路 最短，试求此时环道
的圆心 到 的距离 的长．
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2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图， 为⊙O的直径，且 ， 与 为圆内的一组平行
⏜ ⏜
弦，弦 交 于点H．点A在 上，点B在 上， ．
MC NC
(1)求证： ．
(2)求证： ．
(3)在⊙O中，沿弦 所在的直线作劣弧 的轴对称图形，使其交直径 于点G．若 ，
求 的长．
3．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直
线上点的位置刻画圆上点的位置，如图， 是 的直径，直线 是 的切线， 为切点． ， 是圆
上两点（不与点 重合，且在直径 的同侧），分别作射线 ， 交直线 于点 ，点 ．
(1)如图1，当 ， 的长为 时，求 的长．
(2)如图2，当 ， 时，求 的值．
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(3)如图3，当 ， 时，连接BP，PQ，直接写出 的值．
4．（2023·浙江·中考真题）如图，在 中， 是一条不过圆心 的弦，点 是 的三等分点，直
径 交 于点 ，连结 交 于点 ，连结 ，过点 的切线交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的值；
(3)连结 交 于点 ，若 的半径为5
①若 ，求 的长；
②若 ，求 的周长；
③若 ，求 的面积．
1．（2024·陕西西安·二模）如图， 是 的切线，点B是切点，连接 交 于点D，延长 交
于点A，连接 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川凉山·模拟预测）在 中， ， ， ，D为 的中点．以A为
圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在 内，则 的半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建宁德·模拟预测）如图， 内接于 ， 是 的切线，点D在 的延长线上，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方
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形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为 ，则大
正方形的内切圆半径为（ ）
A． B． C．15 D．
5．（2022·湖北武汉·模拟预测）在 中， ，则 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料 中， ， ， ，
， ．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广西防城港·二模）如图所示，在直角坐标系中， 点坐标为 ， 的半径为 ， 为
轴上一动点， 切 于点 ，则 最小值是 ．
8．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知 是 的直径， 与 相切于点 ．若 ，则
．
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9．（2022·安徽·模拟预测）如图，在 中， ， ，以 的长为半径的 经过 ，
两点，点 ， 分别在 ， 上， ，且与过 ， 两点的 相切，则图中阴影部分的面
积是 ．
10．（2023·四川南充·三模）已知：如图， ，以 为直径的 交OC于点D，AD
的延长线交 于点E，过D作 的切线交 于点F． ① ；② ；③
；④ ，其中结论正确的是
11．（2024·河南洛阳·一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮
马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了
如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架 的一端A落在地面上时， 与 的另一个交点为
点D，水平地面 切 于点B．
(1)求证： ；
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(2)若 ，求 的直径．
12．（2023·辽宁盘锦·一模）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ， 是边
上的点，经过点 ， 的 交 于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ．
①求 的长；
②求阴影部分的面积．
13．（2023·浙江杭州·二模）如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 、 上的点为
D、E，连接 、 ，线段 与线段 交于点Q．
(1)①求证： ；
②如果 ，求 的正切值：
(2)如果 ， ，求 的面积．
14．（2023·广西河池·二模）如图， 的半径为 ，直线 交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)若 ．
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①直接写出k的值；
②当 时，P为直线 上一点，过点P作 的两条切线，切点分别为C，D两点，若 ，
求点P的坐标．
(2)若 ，且直线 分 的圆周为 两部分，求b的值．
40
