文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 28 讲 与圆有关的计算
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 正多边形与圆
题型01 求正多边形中心角
题型02 求正多边的边数
题型03 正多边形与圆中求角度
题型04 正多边形与圆中求面积
题型05 正多边形与圆中求周长
题型06 正多边形与圆中求边心距、边长
题型07 正多边形与圆中求线段长
题型08 正多边形与圆中求最值
题型09 尺规作图-正多边形
题型10 正多边形与圆的规律问题
考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算
题型01 求弧长
题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径
题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角
题型04 求某点的弧形运动路径长度
题型05 求扇形面积
题型06 求图形旋转后扫过的面积
题型07 求圆锥侧面积
题型08 求圆锥侧面积
题型09 求圆锥底面半径
题型10求圆锥的高
题型11 求圆锥侧面积展开图的圆心角
题型12 圆锥的实际问题
题型13 圆锥侧面上的最短路径问题
考点三 不规则面积的有关计算
题型01 直接公式法
题型02 直接和差法
题型03 构造和差法
题型04 等面积法
题型05 旋转法
题型06 对称法
题型07 全等法
考点要求 新课标要求 命题预测
了解正多边形的概念及正多边形与 该板块内容以考查综合题为
正多边形与圆
圆的关系. 主，也是考查重点，除了填空题
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
弧长、扇形面积、 和选择题外，年年都会考查综合
会计算圆的弧长、扇形的面积.
圆锥的有关计算 题，对多数考生来说也是难点，
2024年各地中考肯定还是会考
不规则面积的有关
查.
计算
考点一 正多边形与圆
1. 正多边形的相关概念
正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
2. 正多边形的常用公式
边长 1800
a =2R ⋅sin （R n为正多边形外接圆的半径）
n n n
周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 360°
n
面积 1 对角线条数 n(n−3)
Sn= an⋅rn⋅n
2 2
边心距 1800 内角和 （ n-2 ）×180°.
rn=Rn⋅cos
n
内角度数 （n−2）×180° n边形的边数 （内角和÷180°）＋2
n
a 、Rn、rn的关系 a2
n R2=r2+ n （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个
n n 4
值可以借助勾股定理求解.）
【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成
2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，
故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．
3. 正多边形常见边心距与边长的比值
图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比
等边三角形 1: √3 : 2 1:2
O
A B
AOB=60°
正方形 1:1: √2 1: √2
O
A
B
AOB=45°
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
正六边形 O √3 : 1: 2 √3 : 2
B
A
AOB=30°
【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.
题型01 求正多边形中心角
【例1】（2021·辽宁沈阳·统考二模）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边
形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°,1 B．45°,√2 C．60°,√3 D．120°,2
【变式1-1】（2022·四川广安·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中
心角∠COD的度数是（ ）
A．72° B．60° C．48° D．36°
【变式1-2】（2020·上海金山·统考一模）正十边形的中心角等于 度．
题型02 求正多边的边数
【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边
形纸片的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-1】（2023·广东阳江·统考二模）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是
（ ）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式2-2】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边
形的中心．若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式2-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内
接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 ．
题型03 正多边形与圆中求角度
【例3】（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在A´B上，则
∠CME的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【变式3-1】（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两
点，则∠AOC的度数是（ ）
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．144° B．130° C．129° D．108°
【变式3-2】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，已知正五边形ABCDE内接于
⊙O，则∠OCD的度数为 °．
题型04 正多边形与圆中求面积
【例4】（2022·山西大同·校联考一模）如图，是一张边长为2的正六边形纸版，连接对角线，则阴影部分
的面积是（ ）
A．3√3 B．6√3 C．6 D．12
【变式4-1】（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，
AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式4-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提
出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O的半径为2，若用
⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 ．
【变式4-3】．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，已知正六边形ABCDEF，⊙O是此正六边
形的外接圆，若AB=2，则阴影部分的面积是 ．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型05 正多边形与圆中求周长
【例5】（2023·广西钦州·统考一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（
）
A．5 B．6 C．30 D．36
【变式5-1】（2023·吉林松原·统考二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为24，则图中阴影部分图形
的周长是 （结果保留π）．
【变式5-2】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距
OG等于3√3，则⊙O的周长等于 ．
【变式5-3】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，顺次连接AB、
BC、CD、DE、EF、FA的中点A 、B 、C 、D 、E 、F ，则六边形A B C D E F 的周长是
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型06 正多边形与圆中求边心距、边长
【例6】（2023·河北衡水·衡水桃城中学校考模拟预测）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正
五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．r=Rcos36° B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．a=rsin36°
【变式6-1】（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形
边心距为 ．
【变式6-2】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是√3，
则正六边形的边长为 ．
【变式6-3】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知圆的半径为R，那么它的内接正三角形的边长是
．
【变式6-4】（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）半径为4的正六边形的边心距为 ．
题型07 正多边形与圆中求线段长
【例7】（2023·安徽六安·统考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点O是其中心，点P是AB上
一点，且AP:BP=1:2，连接OP，则OP=（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．2 B．2√7 C．4 D．6
【变式7-1】（2023·河北石家庄·统考二模）如图，在边长为6√3的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF
，相交于点O，若点M，N分别为OB，OF的中点，则MN的长为（ ）
A．6 B．6√3 C．8 D．9
【变式7-2】（2023·浙江·统考二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至
少为（ ）
3 √3
A．2a B．√3a C． a D． a
2 2
【变式7-3】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于⊙O，则
AB
的值为（ ）
AE
√6 √3 √2 √6
A． B． C． D．
2 2 3 3
题型08 正多边形与圆中求最值
【例8】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将一个正n边形绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重合，
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则n的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【变式8-1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在边长为2的正六边形纸片ABCDEF上剪一个正方形
GHIJ，若GH∥AB，则得到的正方形边长最大为( )
A．√6 B．2√3 C．3−√3 D．6−2√3
【变式8-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，O为AD的中点，以
O为圆心，√3为半径作⊙O，M为⊙O上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d．
（1）OA= ．
（2）当△BCM面积最小时，点M到BC的距离为 ，d的最大值为 ．
【变式8-3】（2022·陕西西安·统考一模）如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP=4，点A为OP上
一动点，点B为⊙O上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则
矩形ABCD面积的最大值为 ．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型09 尺规作图-正多边形
【例9】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一
个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式9-1】（2019·江西南昌·校联考三模）已知正八边形ABCDEFGH，请仅用无刻度的直尺，分别按下
列要求作图．
（1）在图①中，作一个正方形；
（2）在图②中，作一个与原图形不相同的正八边形．
1
【变式9-2】（2022·江西九江·统考模拟预测）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，已知CF= BC，
3
请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边DE上求作点G，使DG=CF；
(2)在图2中的边DE上求作点H，使EH=CF．
题型10 正多边形与圆的规律问题
【例10】（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原
点O 重合，顶点A，E在y轴上，顶点G，C在x轴上，连接OB，过点A作OB 的垂线，垂足为P，将
△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，已知OA=3，则第82次旋转结束时，点P的坐标为（ ）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3 3) ( 3 3) ( 3) (3 )
A． ,− B． − , C． 0, D． ,0
2 2 2 2 2 2
【变式10-1】（2023·河南南阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x
轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，AB=2．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．(−3,−2√3) B．(−2,−2√3) C．(−3,−3) D．(−2,−3)
【变式10-2】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的
中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次
旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．(√3,−1) B．(−1,−√3) C．(−√3,−1) D．(1,√3)
【变式10-3】（2023·黑龙江绥化·统考一模）如图，正六边形A B C D E F 的边长为2，正六边形
1 1 1 1 1 1
A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边相切，正六边形A B C D E F 的外接圆
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3
与正六边形A B C D E F 的各边相切……按这样的规律进行下去，A B C D E F 的边长为
2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 10 10
．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
扇形弧长公式 nπR O
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n
180 R
n°
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
l
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥侧 n°
l
圆锥全面积公式 S 圆锥全 =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） h
r
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
1） 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长
nπR
公式l= 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
180
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，
nπR2 1
然后直接代入公式S扇形=
360
或 S扇形 =
2
l R中求解即可．
1
3）扇形面积公式S扇形=
2
l R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三
角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.
4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，
即
nπR
2πr= ，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也
180
根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题．
13
6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇
形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型01 求弧长
【例1】（2023·河北沧州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，
CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
4 5
A．π B． π C． π D．2π
3 3
【变式1-1】（2023·广东汕头·校考模拟预测）如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在⊙O上，若
∠B=30°．则A´C的长为 （结果用含有π的式子表示）
【变式1-2】（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则A´B的长是
（结果保留π）
【变式1-3】（2023·湖南长沙·长沙市第十一中学校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一
点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD=35°，连接BC．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求∠B的度数；
（2）若AB=2，求E´C的长．
【变式1-4】（2023·湖北孝感·统考二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个
圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（ ）
1
A．3π B．2π C．π D． π
2
题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长
12π，则扇形半径是 ．
π
【变式2-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）一个扇形的圆心角为36°，面积为 cm2，则该扇形的半径
10
为 cm．
【变式2-2】（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为
45°．若A´B，A´C，C´D的长分别为π，π和3π，则⊙O的半径是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【变式2-3】（2020·甘肃酒泉·统考二模）已知一个扇形的弧长为2π，扇形的面积是4π，则它的半径为
．
题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角
【例3】（2021·山东德州·统考二模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
A．120° B．60° C．180° D．450°
【变式3-1】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对
的圆心角为 ．
【变式3-2】（2021·浙江金华·统考一模）一个圆被三条半径分成面积比为2：3：4的三个扇形，则最小扇
形的圆心角为 ．
题型04 求某点的弧形运动路径长度
【例4】（2022·河北·校联考一模）如图，已知A´B的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中点，
将A´B绕点A逆时针旋转90°后得到A´B'，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
√5
A． π B．√5π C．2√5π D．2π
2
【变式4-1】（2021·贵州遵义·校考二模）如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它在水平直线上
向右无滑动滚动到O' A'B'的位置时，则点O到点O'所经过的路径长为 ．
【变式4-2】（2023·陕西·模拟预测）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到 AB′C′，使点C′落在AB边上，以
此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）
△
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式4-3】（2022·四川泸州·四川省泸县第一中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个
顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A B C ，求点A到A 所经过的路径长．
2 2 2 2
题型05 求扇形面积
【例5】（2022·安徽合肥·统考一模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径
画弧，得E´C，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
√3 2√3
A．2π B．4π C． π D． π
3 3
【变式5-1】（2023·广东梅州·校考模拟预测）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保
留π）为 ．
【变式5-2】（2023·广西百色·模拟预测）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆
心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 ．
题型06 求图形旋转后扫过的面积
【例6】（2023·湖南株洲·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将
Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【变式6-1】（2020·四川成都·统考一模）如图，在ΔAOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点
O顺时针旋转90∘后得到ΔBOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
π 17 19
A． B．2π C． π D． π
2 8 8
【变式6-2】（2023·山东东营·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按
逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 ．
【变式6-3】（2021·山东淄博·统考一模）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所
示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-4】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(3,1)，C(1,3)；
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A B C ，画图并写出C 的坐标____________；
1 1 1 1
(2)以A 点为旋转中心，将△A B C 逆时针方向旋转90°得△A B C ，画图并写出C 的坐标_____；
1 1 1 1 1 2 2 2
(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为___________．
题型07 求圆锥侧面积
【例7】（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，
过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
2 √3 2 4 4
A． π− B． π−√3 C． π−2√3 D． π−√3
3 2 3 3 3
【变式7-1】（2022·四川德阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，
AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4√3，∠CDF=15°， 则阴影部分的面
积为（ ）
A．16π−12√3 B．16π−24√3
C．20π−12√3 D．20π−24√3
【变式7-2】（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=6，
则阴影部分的面积是 ．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式7-3】（2023·山东德州·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点
D，BC平分∠ABD．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【变式7-4】（2021·山东临沂·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重
合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
1
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝ ，求图中阴影部分的面积．
2
题型08 求圆锥侧面积
【例8】（2023·安徽合肥·模拟预测）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为
（ ）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
【变式8-1】（2023·浙江金华·校考一模）在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，
把 ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
△
A．12π B．15π C．20π D．24π
△
【变式8-2】（2021·山东临沂·统考一模）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几
何体的侧面积为（ ）
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2
a+b a2−b2
【变式8-3】（2023·广东广州·统考一模）已知：M= ÷
2a2b−2ab2 a2−2ab+b2
(1)化简M；
(2)如图，a、b分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为24π，求M的值．
题型09 求圆锥底面半径
【例9】（2021·福建福州·福州三牧中学校考二模）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD
为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面
展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
√2 1
A．√2 B．1 C． D．
2 2
【变式9-1】（2020·河北石家庄·统考模拟预测）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁
皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥
的底面半径为（ ）
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm
【变式9-2】（2023·江苏苏州·校联考一模）一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°，
则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．3√2cm
【变式9-3】（2021·浙江宁波·统考二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一
个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（ ）
A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5
题型10求圆锥的高
【例10】（2022·广东珠海·校考一模）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（
）
A．2 B．3 C．√2 D．√3
【变式10-1】（2022·云南昆明·统考三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，
∠ABO=∠ACO=22.5°,BC=8，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆
锥的高为（ ）
A．√6 B．2√6 C．√15 D．√30
【变式10-2】（2021·云南曲靖·统考一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角
∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是（ ）
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．2 B．2√10 C．4√2 D．4√3
题型11 求圆锥侧面积展开图的圆心角
【例11】（2023·湖北黄冈·校考一模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积
为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【变式11-1】（2022·福建福州·福州华伦中学校考一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
【变式11-2】（2019·内蒙古呼和浩特·校联考一模）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展
开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
题型12 圆锥的实际问题
【例12】（2023·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点
单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．
“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径
是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
中液体的高度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式12-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若
用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．(30+5√29)π米2 B．40π米2
C．(30+5√21)π米2 D．55π米2
【变式12-2】（2020·浙江·一模）某班设计小组想制作如图纸帽，使纸帽的高为24cm，底面半径为10cm，
若小李用漂亮的彩纸做一顶这样的纸帽，则纸帽的外部面积为 ．
【变式12-3】（2021·山东德州·统考二模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方
形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧
面，则圆锥的表面积为（ ）
A．4πcm2 B．5πcm2 C．6πcm2 D．8πcm2
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型13 圆锥侧面上的最短路径问题
【例13】（2020·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考模拟预测）如图所示是一个几何体的三视图，如
果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为 ．
【变式13-1】（2023·黑龙江·模拟预测）如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C
为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为
．
【变式13-2】（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的
对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即
∠A的对边(底边) BC
T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC
(1)T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66）
考点三 不规则面积的有关计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为
规则图形的面积．常用的方法有：
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1）直接用公式求解．
图形 公式
S = S
阴影 扇形ABC
A C
B
S = S
阴影 △ABC
A C
B
S = S = ab
阴影 四边形ABCD
D
A
b
a
B C
2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．
①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S =S ±S ）
阴影 常见图形 常见图形
图形 面积计算方法 图形 面积计算方法
S =S −S S =S +S
阴影 △ACB 扇形 阴影 扇形BAB′ 半
−S
CAD 圆AB′ 半圆AB
S =S −S S 阴影=S +S
阴影 △AOB 扇形 半圆AC
−S
COD 半圆BC △ACB
S =S −S S = S −S
阴影 半圆AB △AOB 阴影 扇形BAD
半圆AB
S =S −S S =S =
阴影 扇形EAF △ADE A 阴影 扇形之和
nπR2 πR2
=
360 2
B C
②构造和差法
图形 公式
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
S =S +S
阴影 扇形AOC △BOC
S =S -S
阴影 △ODC 扇形DOE
S =S -S
阴影 扇形AOB △AOB
S =S +S -S
阴影 扇形BOE △OCE 扇形COD
3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利
用公式法或和差法创造条件，从而求解．
①全等法
图形 公式
S = S
阴影 △AOB
S = S
阴影 扇形BOC
S =S
阴影 矩形ACDF
S = S
阴影 正方形PCQE
②等面积法
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
图形 公式
S = S
阴影 扇形COD
③平移法
图形 公式
D F C D F C S =S
阴影 正方形BCFE
A E B A E B
S =S
阴影 矩形ABHG
④旋转法
图形 公式
S =S
阴影 扇形BOE
S = S
阴影 扇形BOD
S = S -S
阴影 扇形ABE 扇形MBN
⑤对称法
图形 公式
S =S
阴影 △ACD
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
S = S
阴影 扇形CDE
1
S = S = S
阴影 △OBC 4 正方形ABCD
S = S - S
阴影 扇形ACB △ACD
题型01 直接公式法
【例1】（2021·河北石家庄·校考一模）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S ）变
1
形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S ），则S 与S 的关系为（ ）
2 1 2
π
A．S >S B．S =S C．S
