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专题 18 排列组合与二项式定理
目录一览
2023真题展现
考向一 排列组合
真题考查解读
近年真题对比
考向一 排列组合
考向二 二项式定理
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 排列组合
1．（2023•新高考Ⅱ•第3题）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法
作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200
名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A．C45 ⋅C15 种 B．C20 ⋅C40 种
400 200 400 200
C．C30 ⋅C30 种 D．C40 ⋅C20 种
400 200 400 200
2．（2023•新高考Ⅰ•第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课
中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【命题意图】
考查二项式定理、排列组合。考查二项式定理公式和应用排列组合计算
【考查要点】
二项展开基本定理，还会涉及到三项展开，考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到
赋值法的应用，排列组合 常以现实生活、社会热点为载体．多为小题．
【得分要点】
1．排列组合问题的一些解题技巧
（1）特殊元素优先安排．
（2）合理分类与准确分步．
（3）排列、组合混合问题先选后排．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（4）相邻问题捆绑处理．
（5）不相邻问题插空处理．
（6）定序问题除法处理．
（7）分排问题直排处理．
（8）“小集团”排列问题先整体后局部．
（9）构造模型．
（10）正难则反、等价转化．
2．排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法．
（2）排除法．
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑
它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”．
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解
决“元素不相邻问题”．
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从
位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”
的解题原则．
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法．
Cn Cn ⋯Cn
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有
kn (k-1)n n
．
Ak
k
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题．
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都
排在某r个指定位置则有ArAk-r．
r n-r
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C
后A策略，排列CrCk-rAk；组合CrCk-r．
r n-r k r n-r
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C
后A策略，排列Ck Ak；组合Ck ．
n-r k n-r
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某
r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列CsCk-sAk；组合CsCk-s．
r n-r k r n-r
3．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边
的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中
的Can－rbr叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用T 表示，即展开式的第r＋1项；T ＝Can－rbr．
r＋1 r＋1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向一 排列组合
3．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
考向二 二项式定理
4．（2022•新高考Ⅰ）（1﹣ ）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）．
二项展开基本定理考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用。排列组合
常以现实生活为载体．多为小题．
一．计数原理的应用（共4小题）
1．（多选）（2023•罗定市校级模拟）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许
有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）
A．C C C C B．C A
C．C C A D．18
2．（2023•汕头二模）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘
画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
A．2563 B．27 C．2553 D．6
3．（2023•盐都区校级三模）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同
的排法共有 种．
4．（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每
日坚果”袋．每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各
不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
二．排列及排列数公式（共3小题）
5．（2023•荔湾区校级模拟）设a N+，且a＜27，则（27﹣a）（28﹣a）（29﹣a）…（34﹣a）等于（
）
∈
A． B．
C． D．
6．（2023•安化县校级模拟）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若
7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
7．（2023•洪山区校级模拟）已知m，n，p均为正整数，则满足m!+n!＝5p的一组解为（m，n，p）＝
．
三．组合及组合数公式（共4小题）
8．（2023•沙河口区校级一模） 的值
是 ．
9．（2023•绍兴二模） 的值为 ．
10．（2023•辽宁模拟）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为1，
2，3，…，n+1的n+1个球的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n N），共有 种取法．在 种
∈
取法中，不取1号球有 种取法；取1号球有 种取法．所以 ．试运用此方法，写
出如下等式的结果： ＝ ．
11．（2023•常德二模）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各
1台，则不同的取法共有 种．
四．排列、组合及简单计数问题（共31小题）
12．（2023•贺兰县校级四模）从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求
入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．55
13．（2023•让胡路区校级模拟）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前
两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
14．（2023•商丘三模）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1
人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种．
A．16 B．20 C．96 D．120
15．（2023•沙坪坝区校级模拟）A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A与B不相邻，且C排在A后面，
则共有（ ）种排法．
A．36 B．54 C．72 D．96
16．（2023•南通三模）某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中
两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．480种
17．（2023•雁峰区校级模拟）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有3种不同的颜色
供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数
为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．18 B．24 C．30 D．42
18．（2023•屯昌县二模）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其
中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．34种 B．56种 C．96种 D．144种
19．（2023•连云港模拟）现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，
如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）
A．56种 B．64种 C．72种 D．96种
20．（2023•贺兰县校级模拟）某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠
送给4为学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．15种 B．20种 C．48种 D．60种
21．（2023•贵州模拟）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范围：3.1415926＜ ＜
3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某
π π
小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机
排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（ ）
A．240 B．360 C．600 D．720
22．（2023•日喀则市模拟）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出
3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且
国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150 B．90 C．48 D．36
23．（2023•平定县校级模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，
假设空间站要安排甲、乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实
验舱的种数有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
24．（2023•江西模拟）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天
实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分
的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中
国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员
开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
25．（2023•河北模拟）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京石开．会议期间，5男3
女共8位代表相约在人民大会堂前站成一排合影，若女代表中恰有2人相邻，且男代表甲不站在两端，
则不同的站位方法共有（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．7920种 B．9360种 C．15840种 D．18720种
26．（2023•香坊区校级三模）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人
文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传
承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，则甲、
乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．135种 B．720种 C．1080种 D．1800种
27．（2023•武威模拟）将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组
方法种数为 ．
28．（2023•武昌区校级模拟）已知有L，M，S三种尺寸的检测样品盒，其中每个L盒至多放置10支完全
相同的样品，且L盒至少比M盒多2支样品，M盒至少比S盒多2只样品，则不同的放置方法共有
种．（注：L，M，S不可为空盒）
29．（2023•沙坪坝区校级模拟）某班级计划安排学号为1～9的九名同学中的某5位，分别担任周一至周
五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有
种．（用数字作答）
30．（2023•泰安二模）用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位
数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）
31．（2023•鼓楼区校级模拟）某市文明办积极创建全国文明典范城市，号召志愿者深入开展交通督导、
旅游宣传、洁净家园、秩序维护4项志愿服务．现有6组志愿者服务队，若每组参与一项志愿服务，每
项志愿服务至少有1组参与，其中甲组志愿服务队不参与旅游宣传志愿服务，则不同的参与方式共有
种．
32．（2023•香洲区校级模拟）“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的
人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列
的校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目．
则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．360种 B．480种 C．720种 D．1080种
33．（2023•秦淮区一模）某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，
学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的 2位指导老师仍在原
来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（
）
A．135种 B．360种 C．90种 D．270种
34．（2023•山西模拟）如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为A，B，C，D的4
个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那
么不同的盖法总数为（ ）
1 2 3 4
5 6 7 8
A．224 B．336 C．448 D．576
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】35．（2023•抚松县校级模拟）琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅．为弘扬中国传统
文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节．若
“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方
法共 种．（用数字作答）
36．（2023•蕉城区校级模拟）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼，金渐层猫
3只（猫妈妈和2只小猫嶲）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫
笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（ ）
A．8种 B．30种 C．360种 D．1440种
37．（2023•唐县校级二模）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生
物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两
人中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有（ ）
A．56种 B．64种 C．72种 D．86种
38．（2023•四川模拟）某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的
顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法
总数为（ ）
A．168 B．192 C．240 D．336
39．（2023•桃城区校级三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体
中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人
预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）
A．76种 B．82种 C．86种 D．90种
40．（2023•四川模拟）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，
已知甲没有得到冠军，并且甲和乙都不是第5名，则这5个人名次排列的可能情况共有 种．
41．（2023•道里区校级四模）已知A、B、C、D、E为0﹣9中五个不重复的数字，且满足以下竖式加法：
则满足条件的四位数ABCD共有 个．
42．（2023•茂南区校级三模）由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排
列第88个数为（ ）
A．42031 B．42103 C．42130 D．42301
五．二项式定理（共18小题）
43．（2023•江西模拟） 的展开式中含x5项的系数是（ ）
A．﹣112 B．112 C．﹣28 D．28
44．（2023•合肥三模）若（mx﹣1）n（n N*）的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6
项的二项式系数最大，则有序实数对（m，n）共有（ ）组不同的解．
∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1 B．2 C．3 D．4
45．（2023•东风区校级模拟）二项式（ + ）8的展开式的常数项是 ．
46．（2023•湖北模拟）已知 的展开式的第7项为常数项，则正整数n的值为 ．
47．（2023•海淀区校级三模）已知（x﹣1）10＝a +a x+a x2+…+a x10，则a +a +…+a ＝（ ）
0 1 2 10 1 2 10
A．210 B．0 C．1 D．﹣1
48．（2023•巴林左旗校级模拟）在 的展开式中，x的系数为（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
49．（2023•昆明一模） 展开式中x4的系数为 （用数字作答）．
50．（2023•西城区校级模拟）若（2x﹣1）4＝a x4+a x3+a x2+a x+a ，则a +a +a +a +a ＝ ．
4 3 2 1 0 0 1 2 3 4
51．（2023•深圳模拟）若 展开式的各项系数之和为32，则展开式中的常数项为
．（用数字作答）
52．（2023•广州二模）已知n N*， 的展开式中存在常数项，写出n的一个值为 ．
53．（2023•威海一模）在（x+∈a）6的展开式中的x3系数为160，则a＝ ．
54．（2023•鲤城区校级模拟）已知 的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中
第5项是 ．
55．（2023•涪城区校级模拟）已知 ，则a ＝ ．
3
56．（2023•宿州模拟）设（1+2x）n＝a +a x+a x2+...+a xn，若a ＝a ，则n＝（ ）
0 1 2 n 7 8
A．8 B．9 C．10 D．11
57．（2023•武功县校级模拟）已知 的展开式中，含x2项的系数为﹣19，则实数a的值
为 ．
58．（2023•河南三模）已知 的展开式中的常数项是672，则a＝（ ）
A．39 B．29 C．2 D．1
59．（2023•德州三模）若（2x﹣3）12＝a +a （x﹣1）+a （x﹣1）2+⋯+a （x﹣1）11+a （x﹣1）12，则
0 1 2 11 12
（ ）
A．a ＝﹣1
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．
C．a
1
+a
2
+⋅⋅⋅+a
12
＝﹣2
D．
60．（2023•青山湖区校级三模）若 的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式
中系数最大的是（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
一、.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧
二、排列组合解题方法
1 ．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复
的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理
的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数
2 ．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .
3 ．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相
离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .
4 ．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的
元素。
5 ．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
6 ．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的
方法 .
7 ．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一
个元素，如此继续下去，依次即可完成 .
8 ．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
9 ．相同元素的分配问题隔板法：
1 0 ．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1 1 ．染色问题：涂色问题的常用方法有：（ 1 ）可根据共用了多少种颜色分类讨论 ;
（ 2 ）根据相对区域是否同色分类讨论 ;
（ 3 ）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
三、杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数
也可以直接用下表计算：
(a+b) 1
…………………1 1
(a+b) 2
………………1 2 1
(a+b) 3 ……………1 3 3 1
(a+b) 4 …………1 4 6 4 1
(a+b) 5 ………1 5 10 10 5 1
(a+b) 6 ……1 6 15 20 15 6 1
……
表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1，其余各数都等于它肩上两个数字的和。”类似这样
1261
的表，早在我国宋朝数学家杨辉 年所著出《详解九章算法》一书里就已出现，如图叫杨辉三角，由
“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项
的二项式系数。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
