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专题 18 立体几何空间距离与截面 100 题
任务一:空间中的距离问题1-60题
一、单选题
1．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑
居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧
棱与底面垂直的四棱锥．在阳马 中，侧棱 底面 ，且 ， ，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线 过定点 ，且方向向量为 ，则点 到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ，若 平面 ， ，则点 到 的距离是（ ）
A． B．5 C． D．
4．在四面体 中，PA，PB，PC两两垂直，设 ，则点P到平面ABC的距离为（
）
A． B． C． D．
5．已知直线l的方向向量为 ，点 在l上，则点 到l的距离为（ ）
A． B．1 C．3 D．26．已知棱长为2的正方体 ，E，F分别为 和 的中点，则点B到EF的距离为（
）
A． B． C． D．
7．若平面 的一个法向量为 ，点 ， ， ， ， 到平面 的距离为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知 ，则点A到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在棱长为2的正方体ABCDA B C D 中，E为BC的中点，点P在线段D E上，点P到直线CC 的距
1 1 1 1 1 1
离的最小值为（ ）A． B．
C． D．
10．如图所示的三棱锥 ， 平面 ， ，若 ， ， ，
，当 取最大值时，点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．5
11．已知正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为2，E为AB 的中点，下列说法中正确的是（ ）
1 1 1 1 1 1
A．ED 与BC所成的角大于60°
1 1
B．点E到平面ABCD 的距离为1
1 1
C．三棱锥E﹣ABC 的外接球的表面积为
1
D．直线CE与平面ADB 所成的角为
1
12．如图，正方体 的棱长为2，M为棱 的中点，N为棱 上的点，且
，现有下列结论：
①当 时， 平面 ；②存在 ，使得 平面 ；
③当 时，点C到平面 的距离为 ；
④对任意 ，直线 与 都是异面直线．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
13．重心是几何体的一个重要性质，我国的国宝级文物东汉铜奔马（又名：马踏飞燕）就是巧妙利用了重
心位于支点正上方这一性质而闻名于世.已知正三棱锥的重心是其每个顶点与其所对的面的三角形重心连线
的交点.若正三棱锥 的底面边长为2，侧棱长为 ，则其重心G到底面的距离为（ ）
A． B． C． D．
14．三棱锥 中， 底面ABC， ， ，D为AB的中点， ，则点D到面
的距离等于（ ）
A． B． C． D．
15．在棱长为 的正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则点 到平面
的距离为（ ）．A． B． C． D．
16．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平
面GEF的距离为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在长方体 中， ， ， ， 是 的中点，求 到面 的
距离为（ ）
A． B．
C． D．
A B C D
18．如图，在长方体 中， ， ，E，F分别是平面 1 1 1 1与平面
的对角线交点，则点E到直线AF距离为（ ）A． B． C． D．
19．已知 平面 ，垂足为点 ，且 与 相交于点 ， ，射线 在 内，且
， ，则点 到直线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
20．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为
1的正方体 中，直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，在正方体 中， 、 、 、 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是
（ ）
A．点 、 到平面 的距离相等B． 与 为异面直线
C．
D．平面 截该正方体的截面为正六边形
22．正方体 的棱长为2，G为 的中点，则直线BD与平面 的距离为( )
A． B． C． D．
23．如图，在棱长为1的正方体 中，P为 的中点，Q为 上任意一点，E，F为CD
上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（ ）A．等于 B．和EF的长度有关
C．等于 D．和点Q的位置有关
24．如图所示，在棱长为2的正方体 中，M，N分别为 ， 的中点，其中正确的结
论是（ ）
A．直线MN与AC所成的角为45° B．直线AM与BN是平行直线
C．二面角 的平面角的正切值为 D．点C与平面MAB的距离为
25．在三棱锥 中， ， ， ，点 是 的中点， 底面 ，
则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，已知在长方体 中， ，点 在棱 上，且 ，在侧
面 内作边长为2的正方形 是侧面 内一动点，且点 到平面 的距离等于线段的长，则当点 在侧面 上运动时， 的最小值是（ ）
A．12 B．24 C．48 D．64
27．如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足
，则P点到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
28．若正四棱柱 的底边长为2， ，E是 的中点，则 到平面EAC的距离
为（ ）A． B． C． D．
29．已知正方体 的棱长为 ，点 为线段 上一点， ，则点 到平面 的距
离为（ ）
A． B． C．3 D．4
30．已知△ABC在平面 内，不重合的两点P，Q在平面 同侧，在点M从P运动到Q的过程中，记四面
体M-ABC的体积为V，点A到平面MBC的距离为d，则可能的情况是（ ）
A．V保持不变，d先变大后变小 B．V保持不变，d先变小后变大
C．V先变大后变小，d不断变大 D．V先变小后变大，d不断变小
二、多选题
31．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上， 为等边三角形，M为AC的中点，
， ，且 ，则（ ）
A． 平面ACD B． 平面ABC
C．O到AC的距离为 D．二面角 的正切值为32．如图，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ， ，
， 底面 ，则（ ）
A． 平面
B．直线 与底面 所成的角为
C．平面 与平面 夹角的余弦值为
D．点C到平面 的距离为
33．如图，在正方体 中，点O在线段AC上移动，点M为棱 的中点，则下列结论中正
确的有（ ）A． 平面
B． 的大小可以为90°
C．异面直线 与 的距离为定值
D．存在实数 ，使得 成立
34．在直三棱柱中， ， ，D是AC的中点，下列判断正确的是（ ）
A． ∥平面
B．面 ⊥面
C．直线 到平面 的距离是
D．点 到直线 的距离是
35．关于棱长为 的正方体 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．点 到平面 的距离为
C．异面直线 与 所成的角是 D．二面角 的余弦值为36．如图，四棱柱 的底面 是正方形， 为底面中心， 平面 ，
．则下列说法正确的是（ ）
A． 坐标是 B．平面 的法向量
C． 平面 D．点 到平面 的距离为
37．正方体 的棱长为2，E，F，G分别为 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行C．平面 截正方体所得的截面面积为 D．点C到平面 的距离为
38．如图所示，在四棱锥 中，平面 平面ABCD，侧面PAD是边长为 的正三角形，底
面ABCD为矩形，且 ，点Q是PD的中点，则下列结论描述正确的是（ ）
A． 平面PAD
B．B，Q两点间的距离等于
C．DC与平面AQC所成的角为60°
D．三棱锥 的体积为12
39．如图，在菱形ABCD中， ， ，沿对角线BD将 折起，使点A，C之间的距
离为 ，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．当 ， 时，点D到直线PQ的距离为
B．线段PQ的最小值为
C．平面 平面BCD
D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为
40．已知四面体 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角为 B．点A到平面 的距离为
C． D．四面体 的外接球体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题
41．已知正方体 的棱长为1，异面直线 与 的距离为____________.
42．已知直线 过点 ，点 ，则点 到直线 的距离是_________．
43．如图，正三角形ABC的边长为2，P是三角形ABC所在平面外一点， 平面ABC，且 ，则P
到BC的距离为___________.44．平面 的法向量是 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为______．
45．在直三棱柱 中， ， ， ，则点C到平面 的距离为
____________.
46．如图，已知 ，D是 中点，则点B到平面
的距离是___________.
47．在正方体 中， ，则异面直线AB和 的距离为___________.
48．如图所示，正方形 和正方形 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，若点 在线段上运动，记 ，则当 ___________时，点 到直线 的距离有最小值.
49．如图，已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，点 到平面 的
距离为_____________．
50．已知正方体 的棱长为 ，点 为 中点，点 ､ 在四边形 内（包括边界），
点 到平面 的距离等于它到点 的距离，直线 平面 ，则 的最小值为___________.
四、解答题
51．如图，已知三棱柱 ，平面 平面 ， ， ， 是边
长为2的等边三角形.（1）求二面角 的大小的正切值；
（2）求直线 到平面 的距离.
52．如图，在四棱锥 中，底面为菱形，已知 ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
53．在长方体 中， ， 是面对角线 上一点，且 .（1）求证： ；
（2）设异面直线 与 所成角的大小为 ，求 的值.
（3）求点 到平面 的距离.
54．如图，在三棱锥 中， ， ， 、 分别是线段 、 的中点， ，
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求点B到平面MNC的距离.55．如图，三棱柱 的所有棱长都是2， 平面 ， 为 的中点，点 为 的中点.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求直线 到平面 的距离.
56．如图，四边形 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ， 与平面
所成角为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.57．如图所示的四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形， ， ，
，点 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若四棱锥 的体积为2，求点 到平面 的距离.
58．如图所示，边长为2的正方形 和高为2的直角梯形 所在的平面互相垂直且 ，
且 ．（1）求 和面 所成的角的正弦；
（2）求点C到直线 的距离；
（3）线段 上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线 垂直，若存在，求 与 的比值：若
不存在，说明理由．
59．如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD为菱形， ， .点
E，F分别在棱PA，PB，且 .
（1）求证： ；（2）若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为 .
（i）求点P与到平面CEF的距离；
（ii）试确定点E的位置.
60．如图，已知在四棱锥 中， 平面 ，点 在棱 上，且 ，底面为直
角梯形， ， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．任务二:几何体截面问题1-40题
一、单选题
1．已知正方体 的棱长为 ， 是空间中任意一点，有下列结论：
①若 为棱 中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 ；
②若 在线段 上运动，则 的最小值为 ；
③若 在以 为直径的球面上运动，当三棱锥 体积最大时，三棱锥 外接球的表面积为
；
④若过点 的平面 与正方体每条棱所成角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 .
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正方体 ，平面 和线段 ， ， ， 分别交于点E，F，G，H，则截面
EFGH的形状不可能是（ ）
A．梯形 B．正方形 C．长方形 D．菱形
3．如图正方体 ，棱长为1，P为 中点，Q为线段 上的动点，过A､P､Q的平面截该
正方体所得的截面记为 .若 ，则下列结论错误的是（ ）A．当 时， 为四边形 B．当 时， 为等腰梯形
C．当 时， 为六边形 D．当 时， 的面积为
4．如图，在正方体 中，M、N、P分别是棱 、 、BC的中点，则经过M、N、P的
平面与正方体 相交形成的截面是一个（ ）
A．三角形 B．平面四边形C．平面五边形 D．平面六边形
5．如图，在正方体 中，E是棱 的中点，则过三点A、D、E的截面过（ ）
1
A．AB中点 B．BC中点
C．CD中点 D．BB 中点
1
6．正方体 的棱长为2，E是棱 的中点，则平面 截该正方体所得的截面面积为（
）
A．5 B． C． D．
7．正三棱柱ABC﹣ABC 中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB，AC 的中点，若过点A，E，F作
1 1 1 1 1 1
一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．8．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面 以任意角度截正方体，所
截得的截面图形不可能为（ ）
A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形
C．正五边形 D．正六边形
9．如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 ， ，
的平面截该正方体所得的截面记为 ．
①当 时， 为四边形；
②当 时， 与 的交点 满足 ；
③当 时， 为六边形；
④当 时， 的面积为 ．
则下列选项正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，正方体 的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段 上的动点，过点A，P，Q
的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（ ）①当 时，S为四边形；
②当 时，S为等腰梯形；
③当 时，S与 的交点 满足 ；
④当 时，S为六边形；
A．1 B．2 C．3 D．4
11．正方体 的棱长为 ， 、 ， 分别为 ， ， 的中点，有下述四个结论，其
中正确的结论是（ ）①直线 与平面 平行；
②平面 截正方体所得的截面面积为 ；
③直线 与直线 所成的角的余弦值为 ；
④点 与点 到平面 的距离相等.
A．①④ B．①② C．①②④ D．①②③④
12．如图，正方体 中，点 ， ，分别是 ， 的中点，过点 ， ， 的截面将正
方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．如图，在正方体 中，点P为线段 上的动点（点 与 ， 不重合），则下列说
法不正确的是（ ）A．
B．三棱锥 的体积为定值
C．过 ， ， 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D．DP与平面A B C D 所成角的正弦值最大为
1 1 1 1
14．正方体 的棱长为4， ， ，用经过 ， ， 三点的平面截该正方
体，则所截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
15．如图， 为正方体，任作平面 与对角线 垂直，使得 与正方体的每个面都有公
共点，记这样得到的截面多边形的面积为 ，周长为 ，则（ ）
A． 为定值， 不为定值B． 不为定值， 为定值
C． 与 均为定值
D． 与 均不为定值
16．如图，在正方体 中，AB=2，E为棱BC的中点，F为棱 上的一动点，过点A，
E，F作该正方体的截面，则该截面不可能是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．五边形 D．六边形
17．如图，在棱长为2的正方休 中， ， ， 分别为 ， ， ，的中点，过 ，
， 三点的平而截正方休 所得的截面面积为（ ）
A．4 B． C． D．
18．正方体 的棱长为 ， 分别为 的中点.则下列说法错误的是（ ）A．直线AG与平面AEF平行
1
B．直线DD 与直线AF垂直
1
C．异面直线AG与EF所成角的余弦值为
1
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
19．如图所示，在正方体 中， ， ､ 分别为棱 ､ 的中点，令过点 且平
行于平面 的平面 被正方体的截面图形为 ，若在 内随机选择一点 ，则点 在正方体
内切球内的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．已知正方体 内切球的表面积为 ， 是空间中任意一点：
①若点 在线段 上运动，则始终有 ；②若 是棱 中点，则直线 与 是相交直线；
③若点 在线段 上运动，三棱锥 体积为定值；
④ 为 中点，过点 ，且与平面 平行的正方体的截面面积为 ;
以上命题为真命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
21．已知正方体 的棱长为 ，下列结论正确的有（ ）
A．异面直线 与 所成角的大小为
B．若 是直线 上的动点，则 平面
C．与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是
D．若此正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截正方体所得截面面积的最大值是
22．如图，棱长为1的正方体 中 为线段 上的动点（不含端点）则下列结论正确的是
（ ）A．直线 与 所成的角可能是
B．平面 平面
C．三棱雉 的体积为定值
D．平面 截正方体所得的截面可能是直角三角形
23．如图，在正方体 中，点E，F分别为 ，BC的中点，设过点E，F， 的平面为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 为等边三角形；
B．平面 交正方体 的截面为五边形；
C．在正方体 中，存在棱与平面 平行；D．在正方体 中，不存在棱与平面 垂直；
24．（多选）已知正方体 ，若 平面 ，则关于平面 截此正方体所得截面的判断正
确的是（ ）
A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形 D．截面形状可能为五边形
25．如图，在棱长为1的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 上的动点（点
不与点 ， 重合），若 ，则下列说法正确的是
A．存在点 ，使得点 到平面 的距离为
B．用过 ， ， 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
C． 平面
D．用平行于平面 的平面 去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为
26．如图所示，在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与 是平行直线
B．直线 与 所成的角为60°
C．直线 与平面 所成的角为45°
D．平面 截正方体所得的截面面积为
27．如图，在正方体 中，点P为线段 上的动点（点P与 ， 不重合），则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥 的体积为定值
C．过P，C， 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D．DP与平面A B C D 所成角的正弦值最大为
1 1 1 1
28．如图所示，在棱长为1的正方体 中，M，N分别为棱 ， 的中点，则以下四个
结论正确的是（ ）A．
B．若 为直线 上的动点，则 为定值
C．点A到平面 的距离为
D．过 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
29．如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的中点，则以下说法正确的是（
）
A．平面 截正方体所得截面周长为
B． 上存在点P，使得 平面
C．三棱锥 和 体积相等D． 上存在点P，使得 平面
30．如图，正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为 D．点 到平面 的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知正四棱柱 中， ， ，则该四棱柱被过点 ，C，E的平面
截得的截面面积为______.
32．正三棱锥 中， ，点 在棱 上，且 ，已知点 都在球
的表面上，过点 作球 的截面 ，则 截球 所得截面面积的最小值为___________.
33．已知在棱长为6的正方体ABCDABC D 中，点E，F分别是棱C D，BC 的中点，过A，E，F三点
1 1 1 1 1 1 1 1
作该正方体的截面，则截面的周长为________．
34．正方体 的棱长为1， 分别为 的中点，下列四个选项
①直线 与直线 垂直②直线 与平面 平行
③平面 截正方体所得的截面面积为
④点 和点 到平面 的距离相等;
其中正确的是____________
35．如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点A， ，
的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．
①当 时，S为四边形；
②当 时，S为等腰梯形；
③当 时，S与 的交点 满足 ；
④当 时，S为六边形
四、解答题
36．如图，在正方体 中， 分别为 和 的中点.（1）画出由A，E，F确定的平面 截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异
面直线 和 所成角的大小.
37．已知正三棱柱的所有棱长都是1
（1）画经过ABC三点的截面
（2）过棱BC作和底面成 二面角的截面，求此截面面积.
38．如图，在正方体 中， 是 的中点， ， ， 分别是 ， ， 的中点．求证：
（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 ；
（3）若正方体棱长为1，过 ， ， 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面
积．
39．（1）如图，棱长为2的正方体 中， ， 是棱 ， 的中点，在图中画出过底
面 中的心 且与平面 平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；
（2）作出平面 与四棱锥 的截面，截面多边形的边数为______．40．如图①，正方体 的棱长为 ， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，过点 、
、 的平面截该正方体所得的截面记为 .
（1）若 ，请在图①中作出截面 （保留尺规作图痕迹）；
（2）若 （如图②），试求截面 将正方体分割所成的上半部分的体积 与下半部分的体积 之比.
