文档内容
重难点突破 06 证明不等式问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................2
题型一：直接法....................................................................................................................................2
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）................................................3
题型三：分析法....................................................................................................................................5
题型四：凹凸反转、拆分函数............................................................................................................5
题型五：对数单身狗，指数找朋友....................................................................................................7
题型六：放缩法....................................................................................................................................8
题型七：虚设零点..............................................................................................................................10
题型八：同构法..................................................................................................................................11
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理..........................................................................................13
题型十：分段分析法、主元法、估算法..........................................................................................15
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值......................................16
题型十二：函数与数列不等式问题..................................................................................................17
题型十三：三角函数..........................................................................................................................18
03过关测试.........................................................................................................................................19利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．（参考数据： ）
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 有3个极值点，求a的取值范围；(2)若 ， ，证明： ．
【变式1-2】已知函数 ， ．
(1)求 的最小值 ；
(2)证明： ．
【变式1-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
【典例2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数 和 ，设 ，
若存在 使得 ，则称 和 互为“零点相邻函数”.设 ，
，且 和 互为“零点相邻函数”.
(1)求 的取值范围；
(2)令 （ 为 的导函数），分析 与 是否互为“零点相邻函数”；
(3)若 ，证明： .【典例2-2】（2024·湖北荆州·三模）已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：函数 的图象位于直线 的下方；
【变式2-1】已知函数 有且只有一个零点，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，有 成立，求实数 的最大值；
(3)设 ，对任意 ，证明：不等式 恒成立．
【变式2-2】设 ，当 时，求证： ．
【变式2-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间;
(2)若 ，证明: ．
题型三：分析法
【典例3-1】已知函数 ，当 时，证明： .【典例3-2】已知函数 ， ．
(1)若直线 是函数 的图象的切线，求实数 的值；
(2)当 时，证明：对于任意的 ，不等式 恒成立．
【变式3-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)求曲线 在点 处切线的倾斜角；
(2)若函数 的极小值小于0，求实数 的取值范围；
(3)证明： .
题型四：凹凸反转、拆分函数
【典例4-1】已知函数 ，证明：当 时， .
【典例4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明：当 时， ．【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若函数 的最小值与 的最小值之和为 ，求 的值．
(2)若 ， ，证明： ．
【变式4-2】已知 ， ， ，求证： ．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值及 的单调区间．
(2)若 的极大值为 ，求 的取值范围．
(3)当 时，求证： ．
【变式4-4】已知函数 ，求证： .
【变式4-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求证： .题型五：对数单身狗，指数找朋友
【典例5-1】（2024·陕西榆林·三模）已知函数 的导函数为 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： .
【典例5-2】（2024·青海·模拟预测）已知质数 ，且曲线 在点 处
的切线方程为 ．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切 ，都有 ．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且曲线 在点 处的切线
方程为 （其中 为自然对数的底数）．
(1)求实数 的值．
(2)当 时，证明：对 ，都有 ．
【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程
为 ．
(1)求 的值；(2)证明： ．
【变式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函数 ， 为 的极值点.
(1)求a；
(2)证明： .
题型六：放缩法
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最值．
(2)证明： （其中 为自然对数的底数）．
【典例6-2】已知函数 ， 为 的导函数．
(1)求函数 的零点个数；
(2)证明： ．
【变式6-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： .【变式6-2】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 ， 为 的导数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 是 的极大值点，求 的取值范围；
(3)若 ，证明： ．
【变式6-3】（2024·辽宁大连·模拟预测）定义：若曲线 或函数 的图象上的两个不同点
处的切线互相重合，则称该切线为曲线 或函数 的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C： ，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？
（给出结论即可，不必说明理由）
(2)证明：当 时，函数 不存在“自公切线”；
(3)证明：当 ， 时， .
【变式6-4】已知函数 ，证明：当 时， .题型七：虚设零点
【典例7-1】（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)若 ， ，求证： ．
【变式7-1】已知函数 .
(1)若 在定义域内不单调，求a的取值范围；
(2)证明：若 ，且 ，则 .
【变式7-2】（2024·高三·辽宁丹东·开学考试）已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)求证： .【变式7-3】（2024·河北张家口·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ．
【变式7-4】（2024·山东威海·二模）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)证明： ．
题型八：同构法
【典例8-1】已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 时，证明 ．
【典例8-2】已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．【变式8-1】（2024·甘肃定西·一模）设函数 ，
(1)证明： .
(2)当 时，证明： .
【变式8-2】（2024·甘肃白银·三模）设函数 ， ．
(1)讨论 的单调性．
(2)证明： ．
(3)当 时，证明： ．
【变式8-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 （ ）.
(1)求 在区间 上的最大值与最小值；
(2)当 时，求证： .
【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线 与直线 垂直，求 的方程；
(2)若 ，求证：当 时， ．题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
【典例9-1】证明不等式： ．
【典例9-2】已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时 ．若正实数 ， 满足 ， ， ， ，证
明： ．
【变式9-1】（2024·河南周口·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在区间 上的极值点的个数．
(2)“ ”是一个求和符号，例如 ， ，等等．英国数学家布鲁克·
泰勒发现，当 时， ，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当 时，对 ，都有 ；
（ii） ．
【变式9-2】英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处的 阶导数都存
在时， ．注： 表示 的2阶导数，即为 的导数， 表示 的 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算 的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得： ．当 时，试比较 与 的大小，并给出证明（不
使用泰勒公式）；
(3)设 ，证明： .
【变式9-3】阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）的
儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了 封不同的信及相应的 个不同的信封，他把这 封
信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～
1783）给出了解答：记都装错 封信的情况为 种，可以用全排列 减去有装正确的情况种数，结合容斥
原理可得公式： ，其中 ．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处 阶可导，则有：
，注 表示 的 阶导数，该公式也称
麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出 的值；
(2)估算 的大小（保留小数点后2位），并给出用 和 表示 的估计公式；
(3)求证： ，其中 ．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
【典例10-1】已知函数 ．
（1）讨论函数 的导函数的单调性；（2）若 ，求证：对 ， 恒成立．
【典例10-2】已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 ，且 时， ．
【变式10-1】若定义在 上的函数 满足 ， ，
．
（Ⅰ）求函数 解析式；
（Ⅱ）求函数 单调区间；
（Ⅲ）若 、 、 满足 ，则称 比 更接近 ．当 且 时，试比较 和 哪个
更接近 ，并说明理由．
【变式10-2】已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：对任意的 ， ， ．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
【典例11-1】（2024·河南·模拟预测）已知 ，函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(1)求a，b的值;
(2)若方程 （e为自然对数的底数）有两个实数根 ，且 ，证明：
【典例11-2】已知函数 .
(1)求函数 的单调性；
(2)若 有两个不相等的零点 ，且 .
①证明： 随 的增大而增大；
②证明： .
【变式11-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证： ；
(2)若 是 的两个相异零点，求证： ．
题型十二：函数与数列不等式问题
【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数 ．
(1)证明： 时， ；
(2)证明： ．【典例12-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
(1)若函数在 内点 处的切线斜率为 ，求点 的坐标；
(2) 当 时，求 在 上的最小值；
①
②证明： ．
【变式12-1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 ，且 在 上的最小值为
0.
(1)求实数 的取值范围；
(2)设函数 在区间 上的导函数为 ，若 对任意实数 恒成立，则称函数
在区间 上具有性质 .
（i）求证：函数 在 上具有性质 ；
（ii）记 ，其中 ，求证： .
【变式12-2】（2024·天津·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3)求证： ．
【变式12-3】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，首项 .(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若函数 ，正项数列 满足： .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
题型十三：三角函数
【典例13-1】（2024·全国·三模）已知函数 在 处的切线方程为 .
(1)求a的值；
(2)证明： .
【典例13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ，
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
【变式13-1】（2024·四川广安·二模）已知函数 .
(1)若 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明： .
【变式13-2】已知函数 ，（ 为自然对数的底数）．(1)求曲线 在 处的切线方程
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的最大值；
(3)证明： ．
【变式13-3】（2024·广东湛江·二模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ， ，且 ，证明： .
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，证明： 时， ；
(2)若函数 在其定义域内单调递增，求实数 的值；
(3)已知数列 的通项公式为 ，求证： ．
2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 ．
(1)判断并证明 的零点个数
(2)记 在 上的零点为 ，求证;（i） 是一个递减数列
（ii） ．
3．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，判断 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明： 时， ．
4．已知 ， .
(1)若 ，判断函数 在 的单调性；
(2)设 ，对 ， ，有 恒成立，求k的最小值；
(3)证明： . .
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实数 的值；
(2)求证： ．6．（2024·河北·三模）已知函数 ．
(1)若 在 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明： ．
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的值域；
(2)求证：当 时， ．
8．已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： .
9．已知 ，函数 ， ．
(1)若函数 的最小值是0，求实数m的值；
(2)已知曲线 在点 处切线的纵截距为正数．
（ⅰ）证明：函数 恰有两个零点；（ⅱ）证明： ．
10．（2024·河北邢台·二模）已知函数 ，
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明： .
11．（2024·广东广州·三模）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)已知 ，证明： ．
12．已知函数 ．
(1)证明： ．
(2)已知 ，证明： ．
13．已知函数 ．(1)求函数 的最大值．
(2)证明：当 且 时， ．
14．（2024·贵州黔东南·二模）已知函数 在 处的切线为 轴.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，证明： .
15．（2024·福建莆田·三模）已知函数 ，其中 .
(1)当 时， ，求 的取值范围.
(2)若 ，证明： 有三个零点 ， ， （ ），且 ， ， 成等比数列.
(3)证明： （ ）.
16．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 .
(1)当 时，证明： 是增函数.
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
(3)证明： （ ， ）.17．已知函数 .
(1)证明： ，总有 成立；
(2)设 ，证明： ．
18．求证： ．
19．（2024·河南·二模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： .
20．已知函数 （ ）， .
(1)求函数的极值；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)求证： 时， .
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．(1)若函数 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)若曲线 在点 处的切线与 轴垂直，求证： ．
