文档内容
专题 16 数列的基本概念、等差与等比数列
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
数列近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
1、求等比数列的通项公式，等差中项的应用
2021年全国乙（文科），第19题,12分
2、错位相减求前n项和
1、证明等差数列
2021年全国乙（理科），第19题,12分
2、求通项公式
2021年全国甲（文科），第17题,12分 证明等差数列
2021年全国甲（文科），第9题,5分 等比数列通项公式基本量计算，求前n项和
证明等差数列，等差数列的应用
2021年全国甲（理科），第18题,12分
求前n项和，由前n项和求通项
判断充分性与
2021年全国甲（理科），第7题,5分 判断数列的增减性
必要性
2022年全国乙（理科），第8题,5分
等比数列通项公式基本量计算，求数列的项
2022年全国乙（文科），第10题,5分
2022年全国甲（理科），第17题,12分 1、递推公式证明等差数列
2022年全国甲（文科），第17题,12分 2、等比中项的应用，求前n项和
1、利用定义求等差数列通项公式，等差数列
2023年全国乙（文科），第18题,12分 基本量的计算
2、含绝对值的等差数列求前n项和
2023年全国乙（理科），第15题,5分 等比数列通项公式基本量计算
余弦函数，集
2023年全国乙（理科），第10题,5分 等差数列求通项公式，数列周期性
合元素互异性
2023年全国甲（文科），第5题,5分 等差数列性质计算，求前n项和
2023年全国甲（理科），第5题,5分 等比数列前n项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节为高考必考内容，各种题型均有出现；
2.考查数列的增减性、周期性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
4.考查由递推公式证明等差、等比数列；
5.考查求等差、等比数列的通项公式与前n项和；
【备考策略】1.了解数列的概念和表示方法(列表、通项公式、递推公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
3.理解等差数列的概念和通项公式的意义.
4.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
5.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
6.体会等差数列的通项公式与一元一次函数的关系.
7.理解等比数列的概念和通项公式的意义.
8.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
9.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
10.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.
【命题预测】1.考查数列的增减性、周期性；
2.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
3.考查由递推公式证明等差、等比数列；
4.考查求等差、等比数列的通项公式与前n项和；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2知识讲解
一、数列的有关概念
数列 按照 的一列数
数列的项 数列中的
数列的通项 数列 {a n } 的第n项 a n
通项公式 数列 {a n } 的第n项 a n与n之间的关系能用公式 表达
前n项和 S =a +a +…+a
n 1 2 n
数列的函 a =f (n)
数特征 数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数 n
(1)并不是所有的数列都有通项公式;
(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一;
(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.
二、数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数 有穷数列 项数有限
分类 无穷数列 项数无限
按项与项 递增数列
a
n+1
>a
n 其中
n∈N¿
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3递减数列 a 0⇔ {a } a −a <0⇔ {a }
(1)作差比较法: n+1 n 数列 n 是递增数列; n+1 n 数列 n 是递减数列;
a −a =0⇔ {a }
n+1 n 数列 n 是常数列.
a a
n+1 >1⇔ n+1 <1⇔
a {a } a {a }
(2)作商比较法:①当 a>0 时, n 数列 n 是递增数列; n 数列 n 是递减数列;
n
a
n+1 =1⇔
a {a }
n 数列 n 是常数列.
a a a
n+1 >1⇔ n+1 <1⇔ n+1 =1⇔
a {a } a {a } a {a }
②当a<0时, n 数列 n 是递减数列; n 数列 n 是递增数列; n 数列 n
n
是常数列.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
求数列中最大(小)项的常用方法
(1)函数法,利用函数求最值.
{a ≥a , {a ≤a ,
n n−1 (n≥2) n n−1 (n≥2)
a a ≥a a ≤a
(2)通过通项公式 n研究数列的单调性,利用 n n+1 确定最大项,利用 n n+1 确定
最小项.
a
（或当a >0时， n+1 >1）
a −a =f(n+1)−f(n)>0 n a a >a {a }
(3)比较法:①若 n+1 n n ,则 n+1 n,即数列 n 是递增
a
（或当a >0时， n+1 <1）
{a } a =f(1) a −a =f(n+1)−f(n)<0 n a
数列,所以数列 n 的最小项为 1 ;②若 n+1 n n ,则
a 0⇔{a } S d<0⇔{a } S d=0⇔{a }
(1) n 是递增数列, n有最小值; n 是递减数列, n有最大值; n 是常数列.
{λa +b}
(2)数列 n 仍为等差数列,公差为 .
{a } {b } {a ±b }
(3)若 n , n 都是等差数列,则 n n 仍为等差数列.
(1)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
S a
奇 n
=
S −S =nd S a
2n
①若项数为 ,则 偶 奇 , 偶 n+1.
S n
奇
=
②若项数为
2n−1
,则
S
偶
=（n−1）a
n,
S
奇
=na
n,
S
奇
−S
偶
=a
n,
S
偶
n−1
.
a S
n 2n−1
=
{a } {b } S T b T
(2)若两个等差数列 n , n 的前n项和分别为 n, n,则 n 2n−1.
a
等差数列的基本量为首项 1和公差 d ,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等
a a S
差数列中包含 1, d ,n, n, n五个量,可“知三求二”.
a
d
涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项 1和公差 的等量关系.若运用等差数列性质可以化繁为
简、优化解题过程.
{a }
判定数列 n 是等差数列的常用方法
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6a −a
(1)定义法:证明对任意正整数n都有 n+1 n等于同一个常数.
2a =a +a
(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有 n+1 n n+2.
a =pn+q {a }
(3)通项公式法:得出 n 后,再根据定义判定数列 n 为等差数列.
S =An2 +Bn {a }
(4)前n项和公式法:得出 n 后,再使用定义法证明数列 n 为等差数列.
若 {a n } 为等差数列, m+n=p+q ,则 a m +a n =a p +a q (m,n,p,q∈N¿ ) .因此,若出现 a m−n, a m, a m+n等
1
a = （a +a ）
a a m 2 m−n m+n
项,可以利用此性质将已知条件转化为与 m(或其他项)有关的条件;若求 m项,可由 转
a a a +a
化为求 m−n, m+n或 m+n m−n的值.要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用.
S −S =nd
等差数列前n项和的性质常结合等差数列项的性质求解,此外,当项数为偶数 2n 时, 偶 奇 ;当项
S −S =a S S =n
数为奇数
2n−1
时, 奇 偶 n, 奇∶ 偶
∶（n−1）
.
S
求等差数列前n项和 n最值的方法
S =an2 +bn
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式 n ,
通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
{a ≥0,
m
a >0,d<0 a ≤0 S S
当 1 时,满足 m+1 的项数m使得 n取得最大值为 m;
{a ≤0,
m
a <0,d>0 a ≥0 S S
当 1 时,满足 m+1 的项数m使得 n取得最小值为 m.
遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解决时要注意以下两点:
(1)抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型;
a S
(2)深入分析题意,确定是求通项公式 n,或是求前n项和 n,还是求项数n.
八、等比数列的有关概念
1.等比数列
一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 (不为零),那么这个数列就叫作等
a
n+1 =q(q≠0)
q(q≠0) a
比数列.这个常数叫作等比数列的 ,通常用字母 表示,定义的表达式为 n .
2.等比中项
如果 a,G,b 成等比数列,那么 叫作a与 b 的等比中项.即 G 是a与 b 的等比中项 ⇔a,G,b 成等比数
列⇔ .
a =qa ,q≠0 {a } a ≠0
由 n+1 n 并不能立即断言 n 为等比数列，还要验证 1 .
九、等比数列的有关公式
a =a qn−1
1.通项公式: n 1 .
2.前n项和公式:
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7{
na,q=1，
1 a −a q
S = a (1−qn ) = 1 n （q≠1）
n 1 1−q
1−q
.
q=1 q≠1 q=1
在运用等比数列的前n项和公式时,要注意对 与 分类讨论,防止因忽略 这一特殊情形而
导致解题出错.
十、等比数列的常用性质
a =a ⋅qn−m (n,m∈N¿)
1.通项公式的推广: n m .
m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N¿ ) a ⋅a =a ⋅a =a2
2.若 ,则 m n p q k.
{1 } {a }
n
{a } {b } {λa }(λ≠0) a {a2} {a ⋅b } b
3.若数列 n , n (项数相同)是等比数列,则 n , n , n , n n , n 依然是等比数列.
{a } a a a a
4.在等比数列 n 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 n, n+k, n+2k, n+3k,…为等比数列,公比为
qk
.
{a } S S S −S S −S qn
5.若公比不为-1的等比数列 n 的前n项和为 n,则 n, 2n n, 3n 2n仍成等比数列,其公比为 .
{a >0, {a <0, {a >0, {a <0,
1 或 1 1 或 1
{a } q>1 01
6.(单调性)等比数列 n 满足 时, n 是 数列;满足 时,
{a }
n 是 数列.
等比数列基本量运算的解题策略
a a S
(1)等比数列基本量的运算是等比数列知识中的一类基本问题,等比数列中有五个量 1,n, q , n, n,一般
可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比 q 的分类讨论:当 q=1 时, {a n } 的前n项和 S n =na 1;当 q≠1 时,
a (1−qn ) a −a q
1 1 n
S = =
{a n } 的前n项和 n 1−q 1−q .
等比数列的判定方法
a a
定义法
若
a
n+
n
1 =q(
q
为非零常数,
n∈N¿
)或
a n−
n
1
=q(
q
为非零常数且 n≥2,n∈N¿),则
{a n }
是等
比数列
公 中 式 项 法 若数列 {a n } 中, a n ≠0 且 a2 n+1 =a n ⋅a n+2 (n∈N¿),则 {a n } 是等比数列
公
通
式
项
法
若数列{a
n
}的通项公式可写成a
n
=c⋅qn−1 (c,q均为非零常数,n∈N¿),则{a
n
}是等比数列
前
公
n
式
项
法
和 若数列{a
n
}的前n项和S
n
=k⋅qn −k(k为非零常数,q≠0且q≠1),则{a
n
}是等比数列
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8m+n=p+q
1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是“若 ,则
a ⋅a =a ⋅a
m n p q”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不
求思想的运用.
{a } S S
1.在等比数列 n 中,设公比为 q ,所有奇数项的和 奇与所有偶数项的和 偶具有如下的性质:
S
偶 =q
S
2n
(1)若共有 项,则 奇 ;
S
−a1
奇 =q
2n+1 S
(2)若共有 项, 偶 .
{a } S k q≠−1 S S −S S −S
2.在等比数列 n 中, k表示它的前 项和.当 时,有 k, 2k k, 3k 2k,…也成等比数列,公比为
qk
.
S S
本题要讨论n分别为奇数和偶数时, n的最值情况,即可求出 n的最大值,从而确定m的最小值.
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题,准确理解题意,理清思路:
①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题
a S
还是等比数列问题;是求 n,还是求 n;是否为含有递推关系的数列问题.特别要注意项数是多少.
②弄清题目中主要的已知事项.
(2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系
用数学式子表达.
(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.
考点一、找规律求数列的项或通项
1．数列 ， ， ， ，……的通项公式可能是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023年江西省模拟数学试题）已知数列1， ，2， ，4，…，根据该数列的规律，16是该数列
的（ ）
A．第7项 B．第8项
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9C．第9项 D．第10项
3．数列 的通项公式不能是（ ）
A． B．
C． D．
4．根据下列数列的前几项，写出它的一个通项公式：
(1) ；
(2) ．
5．如图所示，第 个图形是由正 边形“扩展”而来 ，其中第1个图形中共有12个顶点，
第2个图形中共有20个顶点，则第 个图形中共有 个顶点．
1．数列 的一个通项公式为 .
2．数列 的第11项是（ ）
A． B． C． D．
3．根据下面各数列的前几项，写出该数列的一个通项公式：①
.②1，3，6，10，15，…， .③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…， .
4．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)9，99，999，9999.
5．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有 个点.
考点二、由递推公式求数列的项或通项
1．（2023年江西省质量检测数学（文）试题）已知数列 满足 ， ，则 =
（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
1
2．（2023年广东茂名模拟）设数列 {a } 满足 a 1 = 4 ,且2a +1a +a =3a (n∈N¿ ) ,则 a = （ ）.
n n n n n+1 4
1 1 1 1
A． B． C． D．
22 32 82 128
{a +3,n为奇数，
a = n
3．（2023年安徽蚌埠三模）若数列 {a } 满足 a =1 ,且 n+1 2a −1,n为偶数， 则 a = （ ）.
n 1 n 7
A．19 B．22 C．43 D．46
周期性
4．（2023年甘肃省模拟考试数学试题）已知数列 满足 ，则 =（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11A．3 B． C． D．
1
{ 2a ,0≤a ≤ ,
n n 2
1．（2023年沈阳模拟试题）设数列 的前 项和为 ,已知 ,a = 则
4 n+1 1
a = 2a −1, 1”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022年北京市高考数学试题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．
给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2023年贵州省模拟数学试题）已知等比数列 的前n项和为 ．若 ，则 （ ）
A．13 B．16 C．9 D．12
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 221．（2023年北京市模拟数学试题）已知 是等比数列，则“ ， ”是“ 为递增数列”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知等比数列 的公比为q，则“ ”是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023年上海市模拟数学试题）已知数列 满足： ，若对任意的 ，都有
恒成立，则实数 的取值范围为 .
4．（2023年河南省模拟数学试题）记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
考点十二、等比数列的实际应用
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））“十二平均律” 是通用的音律体系，
明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度
音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的
比都等于 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））几位大学生响应国家的创业号召，
开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款
软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，
其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最
小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440 B．330
C．220 D．110
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 233．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））我国古代数学名著《算法统宗》
中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一
座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4．（2023年西藏质量检测数学（理）试题）分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累
加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨
类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的
两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第3个正方形的边长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
1．（2023年广西教学质量监测数学试题）小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，
每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款.已知月利率
为 ，按复利计算，则小华每期付款金额约为（ ）（参考数据： ， ，
）
A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元
2．（2023年四川省模拟理科数学试题）已知函数 ， ，若方程 有三个不同
的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年重庆市模拟数学试题）斐波那切是意大利13世纪的数学家，其传世名作为《算盘书》，书中
有一个著名的问题：一个人经过七道门进人果园，摘了若干苹果．他离开果园时，给第一个守门人一半加
1个；给第二个守门人，是余下的一半加1个；对其他五个守门人，也如此这般，最后他带着1个苹果离
开果园．请问：当初他一共摘了（ ）
A．1522 B．762 C．382 D．192
4．（2023年辽宁省模拟数学试题）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次
日减半疾.七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢.每天行走的里程是前一天的一半，七
天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24A．5.51 B．11.02 C．22.05 D．44.09
5．（2023年辽宁省模拟数学试题）康托（Cantor）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的
集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其
操作过程如下：将闭区间［0，1］均分为三段，去掉中间的区间段 ，当记为第一次操作；再将剩下
的两个区间 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，
每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程
不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各区间长度之
和小于 ，则需要操作的次数n的最小值为（ ）（参考数据： ）
A．6 B．8 C．10 D．12
考点十三、斐波那契数列
1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，
8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样
的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”，数列 的前 项和为 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023年贵州省模拟数学试题）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多－斐波那契发现，
因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．已知数列 为“斐波那契数
列”且满足： ， ， ，则 （ ）
A．12 B．16 C．24 D．39
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 253．（2024届浙江省名校适应性考试数学试题）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Leonardo
Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的
特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称
为“斐波那契数列”．同时，随着 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割
，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023年河南省模拟数学试题）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满
足递推关系： ， ．已知数列 为“斐波那契”数列， 为数列
前 项的和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023年辽宁省模拟数学试题）若数列 满足 ， ， ，则称数
列 为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直
接的应用.则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 263．“斐波那契数列”由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，约 - ）在《算盘全
书》中提出，它在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用．已知斐波那契数列
满足： ， ， ，则下列结论不正确的是（ ）
A．
a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+…+a
2021
=a
2022 B．
a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+…+a
2022
=a
2023
C．
a
2022
=a
9
a
2012
+a
10
a
2013 D．
考点十四、数列在实际情景中的应用
1．（2023年上海模拟数学试题）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图
（1）.它的画法是这样的：正方形 的边长为4，取正方形 各边的四等分点 作第二个
正方形，然后再取正方形 各边的四等分点 作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就
可得到阴影部分图案，设正方形 边长为 ，后续各正方形边长依次为 ；如图（2）阴
影部分，设直角三角形 面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ， .则下列判断中不正
确的是（ ）
A．数列 是以4为首项， 为公比的等比数列
B．从正方形 开始，连续3个正方形的面积之和为32
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27C．使得不等式 成立的 的最大值为
D．数列 的前 项和
2．（2023年广东省模拟数学试题）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的
排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中
所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上
一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个
数为（ ）
（参考公式： ）
A．1450 B．1490 C．1540 D．1580
1．（2024届山西省学情调研数学试题）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的
一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律
可得知图2的一个树形图，记图2中第 行黑圈的个数为 ，白圈的个数为 ，若 ，则 （ ）
A．34 B．35 C．88 D．89
2．如图，作一个白色的正三角形，第一次操作为：挖去正三角形的“中心三角形”（即以原三角形各边
中点为顶点的三角形），这样就得到了三个更小的白色三角形；第二次操作为：挖去第一次操作后得到的
所有白色三角形的“中心三角形”；以此类推，第 次操作为：挖去第 次操作后得到的所有白色
三角形的“中心三角形”，得到一系列更小的白色三角形．这些白色三角形构成的图案在“分形几何学”
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28中被称为“谢宾斯基三角形”，记第 次操作后，“谢宾斯基三角形”所包含的白色小三角形的数目为 ，
“谢宾斯基三角形”的面积（所有白色小三角形的面积和）为 ，周长（所有白色小三角形的周长和）为
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若最初的白色正三角形的周长为1，求数列 和 的通项公式．
3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（a）~（d）为她们的刺绣中最简单的四个图案，这些图案都
由小正方形构成，小正方形数量越多，刺绣越漂亮．现按相同的规律刺绣（小正方形摆放的规律相同），
设第n个图形包含 个小正方形．则 ； 的表达式为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29【基础过关】
1．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））设 是等差数列 的前 项和,若
,则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设等差数列 的前n项和为 ，
若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ， 的前 项和为 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 305．已知数列 是等差数列， ， 是方程 的两根，则数列 的前20项和为（ ）
A． B． C．15 D．30
6．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 则 的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．设 为等差数列 的前n项和，且满足 ， .则当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（2023年安徽省模拟测试数学试题）设等差数列{ }的前n项和为 ，若 ，则当
取得最大值时， ＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、
不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、
不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等
差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）
A．10 B．14 C．23 D．26
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
11．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知等比数列 满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若
，则S= ．
5
13．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）等比数列 中， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
15．（2023年山东省模拟数学试题）意大利数学家斐波那契在1202年著的《计算之书》中记载了斐波那
契数列 ，此数列满足： ，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即
，则在该数列的前2023项中，奇数的个数为（ ）
A．672 B．675 C．1349 D．2022
【能力提升】
1．（2023年辽宁省模拟考试数学试题）在数列 中， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年辽宁省模拟考试数学试题）已知数列 满足 ， ．设 ，若对
于任意的 ， ．恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．设等差数列 的公差为d，若 ，则“ ”是“ （ ）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 324．设等差数列 的公差为d，其前n项和为 ，且 ， ，则使得 的正整数n的最
小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
5．（2023届湖南省部分市大联考数学试题）已知等比数列 的公比的平方不为 ，则“ 是
等比数列”是“ 是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前n项和为 ．现有下列4个命题
①若 ，则 ；
②若 ，则使 的最大的n为15；
③若 ， ，则 中 最大；
④若 ，则 ．
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023年陕西省一模理科数学试题）已知等差数列 满足 ，则下列命题：①
是递减数列；②使 成立的 的最大值是9；③当 时， 取得最大值；④ ，其中正确的
是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．①②③
8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为数列 的前n项和．若 ，求m．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 339．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知数列
{a }
和
{b }
满足
a =1
，
b =0
，
n n 1 1
4a =3a −b +4
，
4a =3b −a −4
.
n+1 n n n+1 n n
（1）证明：
{a +b }
是等比数列，
{a −b }
是等差数列；
n n n n
{a } {b }
（2）求 和 的通项公式.
n n
10．已知数列 中， ，且满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，若数列 为递增数列，求 的取值范围.
【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公
比为 ．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等比数列， ， ，则
.
3．（2023年北京高考数学真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码
的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，
该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数
列 所有项的和为 ．
6．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为
我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：
， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：
是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和
为 ，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35A． B． C． D．
9．（2022年浙江省高考数学试题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36
