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限时规范专题练(四) 带电粒子在电磁场中运动的综合
性问题
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共7小题，每小题9分，共63分。其中第1题为单选，2～7题
为多选)
1．(2020·安徽省皖南八校临门一卷)如图所示为质谱仪的原理示意图，带电粒
子经加速电场加速，经速度选择器沿直线运动刚好从P点垂直偏转磁场边界进入
磁场，经磁场偏转打在荧光屏A A 上，若加速电压减小为原来的0.9倍，通过调节
1 2
速度选择器两板间的电压，粒子仍能从P点射入偏转磁场，则( )
A．速度选择器两板间电压减小为原来的0.9倍
B．粒子在偏转磁场中运动的时间减小为原来的0.9倍
C．粒子在偏转磁场中做圆周运动的半径减小为原来的0.9倍
D．粒子打在荧光屏上的动能减小为原来的0.9倍
答案 D
解析 粒子在加速电场中，有U 1 q＝m v 2－0，在速度选择器中，有q＝q v B，则
2d2B2U q＝mU，若加速电压U 减小为原来的0.9倍，粒子仍能从P点射入偏转磁
1 1
场，则速度选择器两板间电压U 减小为原来的倍，故A错误；粒子在偏转磁场中
2
运动半个周期，而粒子的运动周期T＝，与速度无关，若加速电压U 减小为原来的
1
0.9倍，则粒子在偏转磁场中运动的时间不变，故B错误；粒子在偏转磁场中做圆
周运动的半径r＝＝ ，可知若加速电压U 减小为原来的0.9倍，则r减小为原来的
1
倍，故C错误；由E
k
＝m
v
2＝U
1
q可知，若加速电压U
1
减小为原来的0.9倍，则粒子
打在荧光屏上的动能减小为原来的0.9倍，故D正确。
2．(2020·福建省莆田市第二次质量检测)如图所示，在y轴的右方有一方向垂直纸面向外的匀强磁场，在x轴的下方有一方向平行x轴向左的匀强电场。现有一
个氕核和一个氘核分别以相同的动量从y轴上的P点垂直y轴进入第一象限，经x
轴后分别到达y轴上的某一点(图中未画出)。不考虑粒子受到的重力。则( )
A．两粒子在第一象限中运动的半径之比为1∶1
B．两粒子在第一象限中运动的半径之比为1∶2
C．氕核到达y轴时的速度较大
D．氘核到达y轴时的速度较大
答案 AC
解析 由洛伦兹力提供向心力，有Bq v＝m，可得r＝，根据题意p
D
＝p
H
＝m v，
q ＝q ，解得r ∶r ＝1∶1，故A正确，B错误。根据E ＝，m ＜m ，可知氕核的初
H D H D k H D
动能较大；由于两粒子在第一象限的运动半径相同，所以射出第一象限时经过 x
轴的横坐标x也相同，因此到达y轴时，静电力对氕核和氘核做的功相等，而洛伦
兹力不做功，则根据动能定理，氕核到达y轴时的动能较大；根据E k ＝m v 2，m H ＜
m ，可知氕核到达y轴时的速度较大，故C正确，D错误。
D
3．(2020·内蒙古鄂尔多斯市模拟)如图所示，在地球附近上方的空间，存在相
互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向水平且垂直于纸面
向里，一带电油滴P在竖直面内恰好做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是(
)
A．若撤去电场，油滴P可能做匀变速曲线运动，且机械能不断增加
B．若撤去磁场，油滴P可能做匀速直线运动，且机械能不变
C．若改变油滴P的初速度，P也可能做匀速直线运动，且机械能保持不变D．油滴P带负电，且做匀速圆周运动时，在最高点电势能最大
答案 BC
解析 带电油滴P在竖直面内恰好做匀速圆周运动，则油滴所受静电力竖直
向上且与重力大小相等，因此油滴P带负电，在圆周运动最高点时，电势能最小，
故D错误；由于洛伦兹力与速度有关，因此若撤去电场，油滴P只要速度改变，所
受洛伦兹力就会发生变化，从而使加速度改变，因此油滴P不可能做匀变速曲线
运动，故A错误；若撤去磁场，油滴P受力平衡，做匀速直线运动，如果速度沿水平
方向，机械能不变，故B正确；若将油滴P的初速度改为垂直纸面方向，则油滴P
不受洛伦兹力作用，做匀速直线运动，且机械能保持不变，故C正确。
4．(2020·福建省泉州市第二次质量检测)如图，一带负电的圆环套在倾斜固定
的粗糙绝缘长直杆上，圆环的直径略大于杆的直径，杆处于方向垂直纸面向里的
匀强磁场中。现给圆环一沿杆向上的初速度v0 ，在以后的运动过程中，下列关于圆
环的速度v随时间t的变化关系图线，可能正确的是( )
答案 BC
解析 当qB v0 >mgcosθ时，圆环受到的支持力F N 先变小后变大，摩擦力F f ＝
μF 也先变小后变大，圆环减速运动的加速度a＝，也先变小后变大；当圆环速度
N
减为零时，若μ>tanθ，则圆环静止，若μ0的区域内存在两个匀强磁场。以
坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B ；其余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 。一比荷为
2 1
k的带电粒子在加速电场的下极板处无初速释放，经加速后从坐标为(－2R,0)的a
点进入磁场，又从坐标为(2R,0)的b点离开磁场，且粒子经过各磁场边界时的速度
方向均与该边界线垂直。不计粒子的重力，且不用考虑粒子多次进入B 磁场的情
2
况，则加速电场的电压大小可能为( )
A．2kBR2 B.
C. D.
答案 ACD
解析 当粒子在电场中加速时，有Uq＝m v－0，若粒子速度较大，粒子可在磁
场B 中直接从a点经半圆周到达b点，此时粒子运动的轨道半径为 r ＝2R，由
1 1
q
v0
B
1
＝m，联立解得U＝2kBR2；若粒子速度不太大，粒子运动的轨迹如图，设其进
入磁场B 的轨道半径为r ，由几何关系有2R＝r ＋，解得r ＝R，则图中θ＝37°，粒
1 2 2 2
子在B
2
中的运动半径为r
3
＝－r
2
＝R，由q
v0
B
1
＝m，q
v0
B
2
＝m，联立解得U＝＝。故
A、C、D正确，B错误。
7.(2020·河南省六市第二次联合调研检测)如图所示，在直角坐标系xOy中，0
＜x＜d区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，x＞d区域内有垂直坐标平面向外的
匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P(0，d)点以平行于x轴的初速度v0 射入电场，经过一段时间粒子从M点离开电场进入磁场，经磁场偏转后，从
N(d，－d)点返回电场，当粒子返回电场时，电场强度大小不变，方向反向。不计粒
子重力，不考虑电场方向变化产生的影响。则以下分析正确的是( )
A．粒子最后射出电场时速度大小为2
v0
B．粒子最后射出电场的位置坐标是(0,2d)
C．电场强度大小为E＝
D．磁场的磁感应强度大小为B＝
答案 CD
解析 粒子在电场中做类平抛运动，设粒子第一次离开电场时速度的偏转角
为α，得tanα＝＝2×＝2×＝1，可知α＝，根据速度的合成与分解得粒子在M点的
速度v＝＝v0 ，粒子第一次在电场中运动过程，由动能定理有qE＝m v 2－m v，解得
E＝，C正确；粒子第二次进入电场，做类斜抛运动，根据运动的对称性可知，粒子
最后射出电场时的速度大小为v0 ，沿y轴负方向的位移y＝d－＝，则粒子最后射
出电场的位置坐标是，故A、B错误；粒子在磁场中运动过程，有q
v
B＝m，根据几
何关系得r＝，联立解得B＝，故D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共37分)
8．(2020·河北省石家庄市一模)(17分)如图所示，平面直角坐标系第一象限存
在指向y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第四象限局部区域内存在方向
向外的匀强磁场，磁场边界为矩形且上边界与x轴重合。y轴上d到2d(d>0)区域内
可水平向右射出质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，所有粒子射出后轨迹均经过
x轴上点A(2d,0)，经过点A时速度最小的粒子经过A处的磁场偏转后，到达y轴上
点C(0，－4d)时，速度方向与y轴负方向夹角为45°。不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用力。求：
(1)所有出射粒子经过x轴上点A时速度与x轴正方向夹角正切值的范围；
(2)粒子经过x轴上点A时的最小速度；
(3)矩形磁场区域的最小面积和磁感应强度大小。
答案 (1)1≤tanθ≤2 (2)2
(3)(2－2)d2
解析 (1)粒子在电场中做类平抛运动，设到达 A点时沿y轴负方向运动的距
离为y，y方向分速度大小为vy ，
在y方向：y＝at2
vy
＝at
在x方向：2d＝vx t
tanθ＝
将临界条件y＝d和y＝2d分别代入可得：1≤tanθ≤2。
(2)设粒子经过x轴上点A时的速度大小为v，则
v
2＝v＋v
所以v 2＝(at)2＋2
当at＝时，v 2最小，此时t＝，v最小
又a＝，代入解得：vmin ＝2。
(3) v最小时，t＝，y＝d，tanθ＝1，θ＝45°，如图所示，由几何关系可知，R＝dS ＝2d(R－Rsin45°)
min
＝(2－2)d2
而Bq
vmin
＝m
解得：B＝。
9．(2021·天津市部分区高三上期末)(20分)正负电子对撞机是一个使正负电子
产生对撞的设备，如图所示为一种使高能正负电子在不同位置对撞的装置。在关
于y轴对称的间距为2d的MN、PQ之间存在两个有界匀强磁场，其中平行于x轴
的JK下方Ⅰ区域磁场垂直纸面向外，JK上方Ⅱ区域磁场垂直纸面向里，其磁感应
强度大小均为B。在x轴上有两台直线加速器1和2，关于y轴对称，且末端刚好与
MN、PQ对齐。质量为m、电荷量为e的正、负电子通过直线加速器加速后同时以
相同速率垂直MN、PQ进入磁场。为实现正、负电子在Ⅱ区域的y轴上实现对心碰
撞(速度方向刚好相反)，根据入射速度的变化，可调节JK与x轴之间的距离h，不
计粒子间的相互作用及正、负电子的重力。
(1)直线加速器1加速的是正电子还是负电子？
(2)正、负电子同时以相同速度v1 进入磁场，仅经过直线JK一次，然后在Ⅱ区
域发生对心碰撞，试通过计算求出v1 的最小值；
(3)正、负电子同时以v2 ＝速度进入磁场，求正、负电子在Ⅱ区域y轴上发生对
心碰撞的位置离O点的距离。答案 (1)负电子 (2)
(3)d或d(n＝1,3,5，…)
解析 (1)正、负电子进入磁场后要在Ⅱ区域相遇，因此正、负电子射出直线加
速器以后都向上偏转，根据左手定则可知直线加速器1加速的为负电子。
(2)设正、负电子的轨道半径均为R ，
1
2
由几何关系可知 ＋(R －h)2＝R
1
整理得R ＝＋≥2＝
1
即R ＝
1min
根据e
v1
B＝m
解得v1min ＝。
(3)当v2 ＝时，R
2
＝＝d
正、负电子发生对心碰撞的位置离O点的距离总是满足Δy＝2h
情况一：h>R ，经过分析可知只有一种情况，如图1，有(h－R )2＋2＝R
2 2
解得h＝d
则Δy＝d；
2
情况二：h
