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重难点突破 03 最全归纳平面向量中的范围与最值问题
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资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则 ，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2平方差的 ．
②三角形模式： （M为BD的中点）
A
B M C
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，
证明： ．
【证明】（坐标法）设 ，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则 ，设 ，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行
于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．
①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3B
1
B
P
Q l
O
A A
1
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、 为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理
题型一：三角不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ，若对任意 ，
恒成立，则 的取值范围是___________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4例2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： ，若对满足条件的任意向量
， 恒成立，则 的最小值是______________．
例3．已知向量 满足 ， ，若关于 的方程 有解，记向量 的夹
角为 ，则 的取值范围是___________.
变式1．已知 是平面向量，且 是互相垂直的单位向量，若对任意 均有 的最小值
为 ，则 的最小值为___________．
变式2．已知平面向量 满足 ，设 ，若 ，则 的取值范围
为________．
变式3．（2023·浙江金华·统考一模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的取值范围是___________．
题型二：定义法
例4．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，向量 满足 ，且 ，记
， ，则 的最大值为______.
例5．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，向量
与向量 的夹角为 ，则 的最大值为______．
例6．（2023·浙江绍兴·高二校考学业考试）已知向量 ， 满足 ， ，且 ，若向量 满足
，则 的最大值是______．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5变式4．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，若向量 与 的夹角为30°，则 的最
大值是___________.
变式5．已知向量 ，满足 ，若以向量 为基底，将向量 表示成 为
实数），都有 ，则 的最小值为________
变式6．已知向量 、 满足： ， .设 与 的夹角为 ，则 的最大值为
___________.
题型三：基底法
例7．已知菱形ABCD的边长为2， ，点E，F分在边BC，CD上， ， ．
若 ，则 的最小值为___________．
例8．（2023·天津·高三校联考阶段练习）已知菱形 的边长为 ， ，点 、 分别在边
， 上， ， ，若 ，则 的最小值__________．
例9．如图，菱形ABCD的边长为4， ，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），
则 的最大值为_____________．
变式7．菱形 的边长为 ， ，若 为菱形内任意一点（含边界），则 的最大值
为______．
变式8．如图，菱形 的边长为 为 的中点，若 为菱形内任意一点（含边界），
则 的最大值为___________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6变式9．平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且 ，点N是DC边上的点，且 ，点M
是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则 的最大值为______.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ．若 ，且
，则 的最大值为______．
变式11．已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，且 与 的夹角为 ，则 的最
大值为 ______________．
变式12．已知平面向量 、 、 满足 ， ， ， ，则
最大值为__________.
变式13．在 中， 为边 上任意一点， 为 的中点，且满足 ，则
的最小值为________.
题型四：几何意义法
例10．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， 是平面向量，满足 ， ，
，则向量 在向量 上的投影的数量的最小值是______.
例11．（2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量 ， ， 满足： ， 的夹角为
， 与 的夹角为 ， ， ，则 的取值范围是__________.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 夹角为 ，且平面向量 满足
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7记 为 （ ）的最小值，则 的最大值是__________．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， 与 的
夹角为 ，则 的最大值为___________．
变式15．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知非零平面向量 ， ， 满足：
， 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， ， ，则 的取值范围是______．
变式16．已知非零平面向量 ， ， 满足 ，且 ，若 与 的夹角为 ，且
，则 的最大值是______.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）平面向量 满足： 的夹角为 ， ，
则 的最大值为_____.
变式18．（2023·广东阳江·高二统考期中）已知非零平面向量 ， ， 满足 ，且
，若 与 的夹角为 ，且 ，则 的模取值范围是___________.
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）已知平面向量 ， ， ，若 ，且
，则 的取值范围是______.
变式20．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知向量 ， 满足 ，且 ，
若向量 满足 ，则 的最大值为________.
变式21．（2023·浙江·模拟预测）已知向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ，
则 的最大值为______．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： ，向量 与向量 的夹角为 ，
，向量 与向量 的夹角为 ，则 的最大值为___________.
题型五：坐标法
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值为
___________.
例14．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知平面向量 满足 ， ， ， 的夹角为 ，且
，则 的最大值是______.
例15．设平面向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， 则 的最大值为
______．
变式23．（2023·安徽滁州·校考三模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， 与
的夹角是 ，则 的最大值为__________.
变式24．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形 中．以 为圆心，1为半径的圆
分别交 ， 于点 ， ．当点 在劣弧 上运动时， 的最小值为_________．
变式25．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
，则 的最小值为______．
变式26．（2023·四川眉山·仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形 中， ，
， ，若点 为 边上的动点，则 的最小值为______．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9变式27．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知 ， ，则 的最小值是______.
变式28．（2023·浙江·模拟预测）已知向量 ， 满足 ，且 的最小值为1（ 为实数），记
， ，则 最大值为______.
变式29．在矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 上的动点，且满足 ，
设 ，则 的最小值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
题型六：极化恒等式
例16．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为 的正方形内有一内切圆， 是内切圆的一条弦，点
为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是_________．
例17．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，
， ， ，则 的取值范围为 ________________ ．
例18．（2023·陕西榆林·三模）四边形 为菱形， ， ， 是菱形 所在平面的
任意一点，则 的最小值为________．
变式30．（2023·福建莆田·模拟预测）已知P是边长为4的正三角形 所在平面内一点，且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10，则 的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．5 D．4
变式31．（2023·重庆八中模拟预测） 中， ， ， ，PQ为 内切圆的一条直
径，M为 边上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型七：矩形大法
例19．已知圆 与 ，定点 ，A、B分别在圆 和圆 上，满
足 ，则线段AB的取值范围是 ．
例20．在平面内，已知 ， ， ，若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，且
若 ，则 的最小值为______．
变式32．设向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．1
题型八：等和线
例22．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若 ，则
的最大值为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11A． B．2 C． D．1
例23．在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 （ ，
），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）如图, ，点 在由射线 、线段 及 的延长线围成的
区域内(不含边界)运动,且 .当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式33．（2023·全国·高三专题练习）在扇形 中， ， 为弧 上的一动点，若
，则 的取值范围是_________．
变式34．（2023·江西上饶·统考三模）在扇形 中， ， 为弧 上的一个动点.若
，则 的取值范围是________.
变式35．（2023·全国·高三专题练习）在扇形 中， ， ，C为弧 上的一个动点，
若 ，则 的取值范围是______.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12变式36．（2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形 中， ，C为弧AB上
的一个动点，若 ，则 的取值范围是________.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图， ，点 由射线 、线段 及 的延长线围成的
阴影区域内（不含边界）.且 ，则实数对 可以是（ ）
A． B． C． D．
变式38．如图，B是 的中点， ，P是平行四边形 内（含边界）的一点，且
，则下列结论正确的个数为（ ）
①当 时，
②当P是线段 的中点时， ，
③若 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④ 的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13变式39．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，点 在线段 （含端点）
上运动，点 是以 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B． C． D．
变式40．在 中， 为 上的中线， 为 的中点， ， 分别为线段 ， 上的动点（不
包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
变式41．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，
M为线段EF的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式42．在扇形 中， ， ， 为弧 上的一个动点，且 ．则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式43．（2023·全国·高三专题练习）如图，在扇形 中， ， 为弧 上且与 不重合
的一个动点，且 ，若 （ ）存在最大值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型九：平行四边形大法
例25．如图，圆 是半径为1的圆， ，设 ， 为圆上的任意2个点，则 的取值范围是
___________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14例26．如图，C，D在半径为1的 上，线段 是 的直径，则 的取值范围是_________.
例27．（2023·浙江·模拟预测）已知 为单位向量，平面向量 ， 满足 ， 的取值范
围是____.
变式44．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为 的两圆 和圆 外切于点 ，点 是圆 上一点，
点 是圆 上一点，则 的取值范围为_______.
变式45．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆 ，圆 的半径分别为1，2，且两圆外切
于点 ，点 ， 分别是圆 ，圆 上的两动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15题型十：向量对角线定理
例28．已知平行四边形 ， ， ， ， 与 交于点 ，若记
， ， ，则（ ）
A. B． C． D．
例29．如图，在圆 中，若弦 ，弦 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
例30．如图，在四边形ABCD中， ， 若， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16
