文档内容
专题 18 数列求和
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
数列近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
1、求等比数列的通项公式，等差中项的应用
2021年全国乙（文科），第19题,12分
2、错位相减求前n项和
1、证明等差数列
2021年全国乙（理科），第19题,12分
2、求通项公式
2021年全国甲（文科），第17题,12分 证明等差数列
2021年全国甲（文科），第9题,5分 等比数列通项公式基本量计算，求前n项和
证明等差数列，等差数列的应用
2021年全国甲（理科），第18题,12分
求前n项和，由前n项和求通项
判断充分性与
2021年全国甲（理科），第7题,5分 判断数列的增减性
必要性
2022年全国乙（理科），第8题,5分
等比数列通项公式基本量计算，求数列的项
2022年全国乙（文科），第10题,5分
2022年全国甲（理科），第17题,12分 1、递推公式证明等差数列
2022年全国甲（文科），第17题,12分 2、等比中项的应用，求前n项和
1、利用定义求等差数列通项公式，等差数列
2023年全国乙（文科），第18题,12分 基本量的计算
2、含绝对值的等差数列求前n项和
2023年全国乙（理科），第15题,5分 等比数列通项公式基本量计算
余弦函数，集
2023年全国乙（理科），第10题,5分 等差数列求通项公式，数列周期性
合元素互异性
2023年全国甲（文科），第5题,5分 等差数列性质计算，求前n项和
2023年全国甲（理科），第5题,5分 等比数列前n项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节为高考必考内容，各种题型均有出现；
2.考查数列的增减性、周期性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
4.考查由递推公式证明等差、等比数列；
5.考查求等差、等比数列的通项公式与前n项和；
【备考策略】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握分组求和法求前n项和.
3.掌握错位相减法求前n项和
4.掌握裂项相消法求前n项和
5.掌握倒序相加法求前n项和
6.掌握并项求和法求前n项和
【命题预测】1.考查数列的增减性、周期性；
2.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
3.考查由递推公式证明等差、等比数列；
4.考查求等差、等比数列的通项公式与前n项和；
知识讲解
一、公式法求前n项和
(1)公差为 d 的等差数列 {a n } 的前n项和公式
n(n+1)
na+ d
S = 1 2
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2n(a +a )
1 n
S =
n 2
q(q≠0) {a }
(2)公比为 的等比数列 n 的前n项和公式
{
na,q=1，
1 a −a q
S = a (1−qn ) = 1 n （q≠1）
n 1 1−q
1−q
.
二、分组求和法求前n项和
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,
分别求和后再相加减.
分组转化法求和的常见类型
a =b ±c {b }，{c } {a }
（1）若 n n n，且 n n 为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列 n 的前n项和.
{b ，n为奇数
a = n
n c ，n为奇数 {b }，{c }
（2）通项公式为 n 的数列,其中 n n 是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字
母的数列中对字母的讨论.
三、错位相减法求前n项和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用
此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.
四、裂项相消法求前n项和
用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.
（2）消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
1 1 1 1 1(1 1 )
= − ， = −
n(n+1) n n+1 n(n+k) k n n+k
1 1(1 1 ) k (1 1 )
= − ， =k −
kn(n+1) k n n+1 n(n+1) n n+1
1 1( 1 1 )
= −
(2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
1
=√n+1−√n
√n+√n+1
2n 1 1
= −
(2n −1)(2n+1 −1) 2n −1 2n+1 −1
将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等,如:
1 1 (1 1) 1 1 ( 1 1 )
= − (p
