专题 18 数列求和
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
数列近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
1、求等比数列的通项公式，等差中项的应用
2021年全国乙（文科），第19题,12分
2、错位相减求前n项和
1、证明等差数列
2021年全国乙（理科），第19题,12分
2、求通项公式
2021年全国甲（文科），第17题,12分 证明等差数列
2021年全国甲（文科），第9题,5分 等比数列通项公式基本量计算，求前n项和
证明等差数列，等差数列的应用
2021年全国甲（理科），第18题,12分
求前n项和，由前n项和求通项
判断充分性与
2021年全国甲（理科），第7题,5分 判断数列的增减性
必要性
2022年全国乙（理科），第8题,5分
等比数列通项公式基本量计算，求数列的项
2022年全国乙（文科），第10题,5分
2022年全国甲（理科），第17题,12分 1、递推公式证明等差数列
2022年全国甲（文科），第17题,12分 2、等比中项的应用，求前n项和
1、利用定义求等差数列通项公式，等差数列
2023年全国乙（文科），第18题,12分 基本量的计算
2、含绝对值的等差数列求前n项和
2023年全国乙（理科），第15题,5分 等比数列通项公式基本量计算
余弦函数，集
2023年全国乙（理科），第10题,5分 等差数列求通项公式，数列周期性
合元素互异性
2023年全国甲（文科），第5题,5分 等差数列性质计算，求前n项和
2023年全国甲（理科），第5题,5分 等比数列前n项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节为高考必考内容，各种题型均有出现；
2.考查数列的增减性、周期性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
4.考查由递推公式证明等差、等比数列；
5.考查求等差、等比数列的通项公式与前n项和；
【备考策略】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握分组求和法求前n项和.
3.掌握错位相减法求前n项和
4.掌握裂项相消法求前n项和
5.掌握倒序相加法求前n项和
6.掌握并项求和法求前n项和
【命题预测】1.考查数列的增减性、周期性；
2.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
3.考查由递推公式证明等差、等比数列；
4.考查求等差、等比数列的通项公式与前n项和；
知识讲解
一、公式法求前n项和
(1)公差为 d 的等差数列 {a n } 的前n项和公式
n(n+1)
na+ d
S = 1 2
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2n(a +a )
1 n
S =
n 2
q(q≠0) {a }
(2)公比为 的等比数列 n 的前n项和公式
{
na,q=1，
1 a −a q
S = a (1−qn ) = 1 n （q≠1）
n 1 1−q
1−q
.
二、分组求和法求前n项和
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,
分别求和后再相加减.
分组转化法求和的常见类型
a =b ±c {b }，{c } {a }
（1）若 n n n，且 n n 为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列 n 的前n项和.
{b ，n为奇数
a = n
n c ，n为奇数 {b }，{c }
（2）通项公式为 n 的数列,其中 n n 是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字
母的数列中对字母的讨论.
三、错位相减法求前n项和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用
此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.
四、裂项相消法求前n项和
用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.
（2）消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
1 1 1 1 1(1 1 )
= − ， = −
n(n+1) n n+1 n(n+k) k n n+k
1 1(1 1 ) k (1 1 )
= − ， =k −
kn(n+1) k n n+1 n(n+1) n n+1
1 1( 1 1 )
= −
(2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
1
=√n+1−√n
√n+√n+1
2n 1 1
= −
(2n −1)(2n+1 −1) 2n −1 2n+1 −1
将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等,如:
1 1 (1 1) 1 1 ( 1 1 )
= − (p<q) = −
pq q−p p q 小×大 大−小 小 大
，简记为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3五、倒序相加法求求前n项和
{a }
如果一个数列 n ,首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法,如等
差数列的前n项和即是用此法推导的.
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
六、并项求和法求前n项和
a =(−1) nf(n)
一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 n 类型,可采用两项合并求解.
考点一、用等差、等比数列求和公式法求前 项和
n
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记 为等差数列 的前n项和．若
，则 ．
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列 的前 项和为 ，
， ，则 ．
S
3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
n
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
1．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东卷））将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得
到数列{a
n
}，则{a
n
}的前n项和为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42．（2023年辽宁省模拟考试数学试题）记等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 以及 的最小值．
3．（2023年江西省模拟数学试题）在数列{ }中 ， ，若数列 为等差数列，则
.
4．已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，且 ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
考点二、分组求和法求前 项和
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51 2 1
− =0,a =
1．已知数列 {a } ，满足 a a 1 2
n n+1 n
{a }
（1）求数列 的通项公式
n
{1 }
+2n
（2）求数列 的前 项和
a
n n
2．（2023届广东省二模数学试题）设 是数列 的前n项和，已知 ， .
(1)求 ， ；
(2)令 ，求 .
3．设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若数列 ，求 前 项和．
4．（2020年江苏省高考数学试题）设{a
n
}是公差为d的等差数列，{b
n
}是公比为q的等比数列．已知数
列{a +b }的前 项和S =n2 −n+2n −1(n∈N+)，则d+q的值是 ．
n n n n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61．在数列 中， .
(1)设 ，求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前项和.
2．已知数列 是由正数组成的等比数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
3．已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
考点三、错位相减法求前 项和
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71．（全国甲卷理科数学试题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
2．已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， .
(1)求 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的取值范围.
3．（2023届北京市清华大学诊断性测试数学（理）试题）已知数列 的前n项和为 ，在数列
中， ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，求 的最值．
4．已知数列 的前 项和为 ，且满足： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8(1)求证：数列 为常数列；
(2)设 ，求 .
1．已知数列{a }的前 项和为S ，满足 nS −(n+1)S =n2 +n,a =5
n n n n+1 n 1
{S }
n
（1）求证数列 为等差数列
n
（2）令b
m
=2na
n
求数列{b
n
}的前n项和.
2．已知数列{a }是等差数列，满足 a =0,a +a =−10
n 2 6 8
{a }
（1）求数列 的通项公式
n
{ a }
n
（2）求数列 的前 项和.
2n−1
n
3．已知等比数列 满足 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9(1)求 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
4．已知数列 中 ， ， .
(1)求证： 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
5．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，若 的前 项和 恒成立，求整数 的最小值．
考点四、裂项相消法求前 项和
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 101．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知数列{a }的前 项和为 S =2n+1 −2 ，数列{b }是以a 为首项，公差为d(d≠0)的等差数列，
n n n n 1
b ,b ,b
且 成等比数列.
1 3 9
{a } {b }
（1）求证数列 和数列 的通项公式
n n
{ 2 }
（2）求数列 的前 项和.
(n+1)b
n n
3．（2023届东北三省联合模拟考试数学试题）已知等差数列 的首项 ，记 的前n项和为 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 公差 ，令 ，求数列 的前n项和 .
4．数列 满足： ， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，若 恒成立，求实数m的取值范围．
1．已知数列{a }满足 a =1,(n+1)a −na=n+1 .
n 1 n+1 n
{a }
（1）求证数列 的通项公式
n
{ 1 } 2
（2）求数列
a a
的前 项和S ，并求证S
n
≥
3
.
n n+1 n n
{1 }
2．已知幂函数 过点 ，令 ，求数列 的前 项和 .
y=f (x) (4,2) a
n
=f (n+1)+f (n),n∈N¿ a
n n
S
n
3．已知等差数列 {a
n
} 的前n项和为 S
n
且公差为d(d≠0)，满足 S
5
=25 ， a
1
，a
2
，a
5
成等比数列.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12{a }
（1）求证数列 的通项公式
n
{ 1 }
1
（2）求数列
a a
的前 项和 ，并求证T
<
.
n n+1 n T n n 2
4．已知数列 a 满足的前 项和满足：S =2a +n．
n n n n
a −1
（1）求
a
；（2）令b
n
=
a ⋅
n
a
求数列b 的前 项和
T
．
n n n+1 n n n
考点五、并项求和法求前 项和
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 131．（2023年重庆市模拟数学试题）已知数列 满足 ， ， ， 为数列
的前 项和，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
2．已知数列{a
n
}的前n项和为 S
n
(n∈N¿)，满足 S
n+1
=S
n
+a
n
+2,a
6
=9 .
（1）求证数列{a }的通项公式
n
（2）若数列{b }满足b =(√2) 1+a n+(−1) na ，求数列{b }的前2n项和T .
n n n n 2n
3．（2023年云南省模拟测试数学试题）设数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 求数列 的前20项的和.
4．（2023届河北省模拟数学试题）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 141．（2023年辽宁省模拟数学试题）已知等差数列 前n项和为 ，数列 是等比数列，
， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前2n项和 ．
2．已知数列{a
n
}的前n项和为 S
n
(n∈N¿)，满足 S
n
=2−2a
n+1
,a
1
=1 .
{a }
（1）求证数列 的通项公式
n
b =(−1) nlog a
（2）若数列{b }满足 n 1 n，求数列{b }的前 项和T .
n 2 n n n
3．已知数列 的前 项和为 ， ，数列 是以 为公差的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
4．（2023年山东省模拟数学试题）已知递增等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，等差数
列 满足 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，请判断 与 的大小关系，并求数列 的前20项和.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15考点六、倒序相加法求前 项和
n
1．（2023年宁夏模拟考试数学（理）试题）已知函数 满足 ，若数列 满足
，则数列 的前20项的和为（ ）
A．230 B．115 C．110 D．100
2．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等差数列前 项和的方法探求：
若 ，则 （ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
2
3．设函数
f (x)=
，利用推导等差数列的方法，
2x +1
求f (−5)+f (−4)+⋯+f (0)+⋯+f (4)+f (5)的值.
2+x
4．已知数列 {a
n
} 的通项公式a
n
=n−2(n∈N¿) ，设函数
f (x)=x+log
28−x ，求数列 {f (a
n
)} 的各项之
和.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 162
1．已知等比数列 {a
n
} 满足a
1
⋅a
2021
=1，设函数
f (x)=
1+x2 ，求 f (a
1
)+f (a
2
)+⋯+f (a
2021
) .
( n ) 4x
2．已知数列 满足a =f (n∈N¿)，设函数f (x)= ，求数列 的前2022项和 .
{a n } n 2022 4x +2 {a n } S 2022
3．已知函数 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
4．求sin21∘+sin22∘+⋯+sin289∘的值.
5．求1⋅C0 +2⋅C1 +3⋅C2 +⋯+(k+1)⋅Ck +⋯+(2n+2)⋅C2n+1
的值.
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【基础过关】
1．（2023届华大新高考联盟名校高考预测数学试题（新教材版））已知首项为3的数列 的前 项和
为 ，若 ，则 （ ）
A．1435 B．1436 C． D．
2．在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023届吉林省二模考试数学试题）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三
角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1， ， ， ， 构成数列 ，其前n
项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 184．已知数列 满足： ， .
(1)求 ；
(2)求数列 的前n项和 .
5．（2023年江苏省期末联考数学试题）已知数列 满足：
(1)求证： 是等比数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，求
6．已知数列 满足： .
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 197．（2023届安徽省一模数学试题）已知数列 满足 ， ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ， 为数列 的前n项和，求 ．
8．（2023届山东省一模数学试题）已知数列 中， ， .
(1)判断数列 是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列 的前 项和
9．（2023届广东省一模数学试题）已知 为数列 的前n项和， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2010．（2023届山东省一模考试数学试题）在数列 中， .
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
11．（2023年湖北省模拟数学试题）已知各项均为正数的数列 满足： ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项的和.
12．（2023年广东省联考数学试题）设数列 的前 项和为 ，数列 是公差为 的等差数列，且
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前20项和 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2113．已知函数 为奇函数，且 ，若 ，则数列 的前2022项和为
（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
14．已知函数 ，数列 满足 ，则
（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22【能力提升】
周期求和
1．（2023届陕西省九模理科数学试题）已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为
，则（ ）
A． B．
C． D．
2．数列 中， ， ， 的值为（ ）
A．761 B．697 C．518 D．454
3．（2023年湖南省模拟数学试题）在数列 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
n
a =2 −1
4．（2023年浙江省统测数学试题）已知数列 的首项 ，且满足 .
n
(1)证明：数列 是等比数列.
(2)若 ，求正整数 的最大值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 235．（2023届河南省联考理科数学试题）若数列 满足 , ．
(1)证明: 是等比数列；
(2)设 的前n项和为 ,求满足 的n的最大值．
6．（2023年福建省学业质量检测数学试题）已知数列 前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3) 恒成立，求实数 的范围.
7．（2023届湖南省模拟数学试题）数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 .若对于任意正整数n，均有 恒成
立，求m的最小值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 248．（2023届内蒙古模拟考试数学（文）试题）已知数列 中， ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和 ，求证： ．
9．（2023届广东省一模数学试题）已知 为数列 的前n项和， ， .
(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ， 为数列 的前 项和.求 ，并证明： .
n
10．已知正项等差数列 满足： ，且 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 是数列 的前n项和，若对任意 均有 恒成立，求 的最小值．
11．（2023年浙江省模拟数学试题）已知数列 满足： ，对任意 且 时，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25其中 表示不超过 的最大整数.
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项 .
12．（2023届重庆市月度质量检测数学试题）若一个数列的奇项为公差为正的等差数列，偶项为公比为正
的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为 ，
若数列 为“摇摆数列”且 ， ，则：
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .（注： ）
13．设函数 ， ， ．则数列
的前n项和 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2614．已知函数 ， ，正项等比数列 满足 ，则
等于 ．
15．已知数列 的前n项和为 ，且 ，设函数 ，则
．
【真题感知】
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 271．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
2．（2019年浙江省高考数学试卷）设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对
每 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
3．（2022年高考天津卷数学真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
4．（2022年全国新高考I卷数学试题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
5．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知
， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{a }满足 a =3 ， a =3a −4 ．
n 1 n+1 n n
（1）计算 a ， a ，猜想{a }的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列
{2na
n
}
的前n项和
S
n
．
9．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知
， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
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