文档内容
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模块四 几何压轴
第 11 讲 圆中的计算（压轴题）
（思维导图+1考点+1命题点9种题型（含18种考向）+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点 圆中的计算
►题型01 与圆有关的覆盖问题
►题型02 与圆有关的截取问题
►题型03 与圆有关的折叠问题
►题型04 与圆有关的旋转问题
►题型05 面积法
考向一 三角形与圆
考向二 四边形与圆
►题型06 与圆有关的阅读理解问题
考向一 理解公式
考向二 理解方法
考向三 理解定理
►题型07 圆与全等
考向一 全等转边
考向二 全等转角
考向三 全等证线段的关系
►题型08 圆与相似
考向一 作垂线构相似
考向二 由隐含直角构相似
考向三 作平行线构“A，X”型相似
考向四 构母子型相似
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►题型09 圆与三角函数
考向一 用已知直角
考向二 作垂线构直角
考向三 作垂径构直角
考向四 用直径构直角
考向五 用切线构直角
考向六 等角转换
01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
圆中的计算问题是中考数学压轴题中的常见题型，其综合性强、难度较高，常涉及
几何证明、线段长度计算、弧长计算及阴影部分面积计算等。
【考点分析】
1. 圆的切线性质：切线与圆心的连线垂直是常见的考点，考生需熟练掌握并能灵活运
用。
2. 圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及直径所对的圆周
角是直角等，是求解角度和证明三角形相似的重要依据。
3. 相似三角形的判定与性质：利用相似三角形的比例关系求解线段长度是圆中计算问
题的常见方法。
【命题趋势】
1. 综合性强：圆中的计算问题往往与其他几何知识（如三角形、四边形等）相结合，
圆中的计算（压 考查考生的综合应用能力。
轴题） 2. 注重思维方法：题目注重考查考生的逻辑推理能力、数形结合思想、方程思想等。
例如，通过设未知数建立方程求解未知量。
3. 创新性与灵活性：命题者常设计新颖的图形和问题情境，要求考生具备灵活的思维
能力和较强的应变能力。
【备考建议】
1. 夯实基础：熟练掌握圆的基本性质、切线性质、圆周角定理、相似三角形等基础知
识。
2. **强化训练**：多做圆中计算的压轴题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度
和准确率。
3. 注重思维训练：培养逻辑推理能力、数形结合思想和方程思想，学会从不同角度分
析问题、解决问题。
4. 总结归纳：及时总结解题经验和技巧，形成自己的解题思路和方法体系
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 圆中的计算
►题型01 与圆有关的覆盖问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄
傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角
形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a−b) 2=4，大正方形的面积为20，现用一个半径为r的圆形
纸片将阴影部分完全覆盖，则r的最小值是（ ）
3 5 5 5
A． √5 B． C． √2 D． √5
2 2 2 2
2．（2023·安徽淮北·模拟预测）综合与实践
定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现：
（1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆，
（2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
如图1，以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最
小覆盖圆．
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(1)实践与操作：如图2．在△ABC中，∠A=105°，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写
作法，保留作图痕迹）．
(2)应用与计算：如图3，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，AB=2√3，请求出△ABC的最小覆盖圆
的半径．
►题型02 与圆有关的截取问题
3．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料ABCD中， AD∥BC ，∠A=90°，AD=9cm，
AB=20cm，BC=24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
110
A． cm B．8cm C．6√2cm D．10cm
13
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形材料ABCD中，AD⊥CD，AB=26cm，BC=30cm，
12
tanB=tanC= ，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为（ ）
5
A．10cm B．12cm C．10√2cm D．13cm
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►题型03 与圆有关的折叠问题
5．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，点C为OB上一点，将扇形
AOB沿AC折叠，使点B的对应点B'落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，将劣弧CD沿弦CD折叠，折叠后的弧恰好与AB相
切于OB的中点M，若CD=√11，则⊙O的半径为（ ）
5
A．1 B．2 C． D．4
2
►题型04 与圆有关的旋转问题
7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边BC上运动，连接AE，将
线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，DF，当DF的长最小时CE的长是 ．
8．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O
顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转
1 1 1 2 1 2 2
45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA ，
3 2 3 4 3 4 4 5
扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；……；按此规律，则S 的值为 ．
3 5 6 5 6 2024
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9．（2023·辽宁本溪·模拟预测）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,AC=2，以点C为
圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连接AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，
CP'的最小值是 ．
►题型05 面积法
考向一 三角形与圆
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，若AB=5，
r
AC=12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r ，r ，则 1 的值为（ ）
1 2 r
2
37 12 25 37
A． B． C． D．
23 5 18 33
考向二 四边形与圆
11．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别
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AD
裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 = ．
AB
12．（2024·上海·模拟预测）如图，正方形ABFE内切圆半径为2，点G为EF边上一点，作正方形GDCF，
则S +S =
四边形AEDG △GDF
13．（2024·浙江·一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE=2CE，⊙O与四边形ABED
的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x:y的值为（ ）
8 10
A．2 B． C．3 D．
3 3
14．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长AB=3 m， 宽 BC=2 m的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌
面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案：
方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆；
方案二：如图2，沿对角线AC将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案三：如图3，锯一块矩形BFEC拼到矩形ADEF下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆．
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（1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 m；
（2）方案三中所锯最大圆的半径是 m．
►题型06 与圆有关的阅读理解问题
考向一 理解公式
15．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在△ABC中，三边分别为AB=c,AC=b,BC=a,⊙O是的内切圆，切点分
别为D,E,F．求⊙O的半径．
思路分析：如图1．连接OA,OB,OC,OD,OE,OF，则存OD⊥AB,OE⊥BC，OF⊥AC,OD=OE=OF，设
1
OD=OE=OF=r,p= (a+b+c)．
2
1 1 1 1
于是有S =S +S +S = OD⋅AB+ OE⋅BC+ OF⋅AC= r(a+b+c)=rp，
△ABC △AOB △BOC △AOC 2 2 2 2
S
∴r= △ABC．（其中S表示△ABC的面积，p表示△ABC的周长的一半）
p
△ABC的面积S
用语言叙述：三角形的内切圆的半径r= ．
△ABC的半周长p
若已知△ABC的三边长a,b,c，如何求△ABC的面积S呢？
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的
面积的秦九韶公式：若AB=c,BC=a,AC=b
√ 1[ (a2+b2−c2
)
2]
则秦九韶公式为S = a2b2− ．
△ABC 4 2
例如：在△ABC中，若a=5,b=6,c=7，利用秦九韶公式求△ABC的面积S．
√ 1 [ (52+62−72 ) 2]
解：S = × 52×62− ，……
△ABC 4 2
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任务：(1)请完成材料中利用秦九韶公式求△ABC面积的剩余步骤，并求出△ABC的内切圆的半径．
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,⊙I为它的内切圆，则CE的长为______．
考向二 理解方法
16．（2025·湖北恩施·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三
径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限
增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和
完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，
连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP=3√2，则C´G的长为 ．
17．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，
即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可
割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似
值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可
3√3
得π的估计值为 ．若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 ．
2
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考向三 理解定理
18．（2023·河南周口·三模）“莱洛三角形”是机械学家、数学家莱洛首先发现的，在现代机械上得到了
广泛的应用．分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段
圆弧围成的曲边三角形就是“莱洛三角形”，如图②，若等边三角形的边长为3cm，则图中阴影部分的面
积为 cm2．
19．（2022·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的
一条折弦），BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即
CD=AB+BD．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=10，D
为⊙O上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
20．（2024·山东日照·二模）三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在△ABC
中，AD为∠BAC的平分线，则AD2=AB⋅AC−BD⋅DC．如图（2），四边形EFGH是⊙O的内接
四边形，对角线EG，FH相交于点M．若EH=HG，EF=4，FG=5，EM=2，GM=2.5，则FH的长
为 ．
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►题型07 圆与全等
考向一 全等转边
21．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，
OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
(1)求证：∠ABC=2∠ACD；
(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．
考向二 全等转角
22．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC,AD,BC，作
CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O,B重合），连接OF．
(1)若BE=1，求GE的长．
(2)求证：BC2=BG⋅BO．
(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
考向三 全等证线段的关系
23．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CA´D，CA平分∠BCD．
(1)求证：∠CDE=2∠ECD．
1
(2)若cos∠CBA= ，求证：∠BDC=4∠CBD．
2
(3)求证：BC2−AB2=CA⋅AD．
24．（2024·四川广元·二模）如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AD平分 ∠BAC，交 BC于点D，
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点O是边 AB上的点，以点O为圆心，OD长为半径的圆恰好经过点A，交AC于点E，弦 EF⊥AB于点
G．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若 AG=1，EG=2，求⊙O的半径．
(3)设⊙O与AB 的另一个交点为 H，猜想AH，AE，CE之间的数量关系，并说明理由．
►题型08 圆与相似
考向一 作垂线构相似
25．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CA´D，CA平分∠BCD．
(1)求证：∠CDE=2∠ECD．
1
(2)若cos∠CBA= ，求证：∠BDC=4∠CBD．
2
(3)求证：BC2−AB2=CA⋅AD．
23．（2024·四川广元·二模）如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AD平分 ∠BAC，交 BC于点D，
点O是边 AB上的点，以点O为圆心，OD长为半径的圆恰好经过点A，交AC于点E，弦 EF⊥AB于点
G．
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(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若 AG=1，EG=2，求⊙O的半径．
(3)设⊙O与AB 的另一个交点为 H，猜想AH，AE，CE之间的数量关系，并说明理由．
26．（2023·湖北·中考真题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD是边AC上的中线，过点C作
AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE,FC．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，BC=6，求FC的长．
考向二 由隐含直角构相似
27．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A,C,且与CD相切，直径CF交AB
于点E．
(1)求证：AD与⊙O相切；
DC 3 AE
(2)若 = ,求 的值．
CF 4 CE
28．（2024·山东济南·一模）如图，AB为⊙O的直径，BE与⊙O相交于点C，过点C的切线CD⊥AE，
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垂足为点D．
(1)求证：AE=AB；
(2)若AB=6，CB=4，求CD的长．
29．（2025·陕西西安·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，过点C的直线
与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为C´B上一点，且C´F=C´A，连接BF并延长交射线DC于点E．
(1)求证：DE⊥BE；
5
(2)若DC= EC，DA=4，求BE的长．
3
考向三 作平行线构“A，X”型相似
29．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=CD．点E是
线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，
∠H=45°．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BE=2，CE=4，求AF的长．
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30.（2022·四川泸州·中考真题）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交
AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
(1)求证：FD∥AB；
(2)若AC=2√5，BC=√5，求FD的长．
31．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC并延长至点D，
OE 2
使CD=AC，点E是OB上一点，且 = ，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连
BE 3
接BH．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)当AB=8时，求BH的长．
考向四 构母子型相似
32．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的
切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)求证：D´F=D´B；
(3)若AE=3，DE=6，求AF的长．
33．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，
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且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AE=3,DE=6，求AF的长．
34．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是
⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段CD的长．
35．（2023·四川达州·中考真题）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的
一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)若BE=2，DE=4，∠P=30°，求AP的长．
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►题型09 圆与三角函数
考向一 用已知直角
36．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点D在AC边上，以AD为直径
作⊙O交BD的延长线于点E，且CE=BC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
1
(2)若⊙O的半径为3，tan∠DBC= ，求AB的长．
2
37．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，
连接CD，∠BDC=∠A．
(1)求证：△ACD∽△DCB；
(2)求证：CD是⊙O的切线；
3
(3)若tanE= ,AC=10，求⊙O的半径．
5
考向二 作垂线构直角
38．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接AD并延长交
⊙O于点E，连接BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG，CG，若BC平分
∠EBG且∠BCG=∠AFC．
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(1)求∠BGC的度数．
(2)若AG=DF，求tan∠GBC的值．
(3)如图2，当点O恰好在BG上且OG=1时，求AC的长．
39．（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，D是圆上一点，
E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD=AE，CA=CE．
(1)求证：直线AE是⊙O是的切线；
2
(2)若sinE= ，⊙O的半径为3，求AD的长．
3
考向三 作垂径构直角
40．（2023·湖北武汉·二模）如图，在⊙O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且F为B´E
的中点．
(1)求证：△FBP∽△FAB；
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3
(2)若tan∠BEF= ，求sin∠ABE的值．
4
41．（2024·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在
AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
2√2
(2)若cos∠ABC= ，AE=4，求CD的长．
3
考向四 用直径构直角
42．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为
AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB,AC于点E，F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
5
(2)若BE=8，sinB= ，求AD的长．
13
43．（2021·湖北武汉·一模）如图，⊙O过 ▱ABCD的顶点A，D，C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与
⊙O相交于点H．
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(1)求证：AB=AH；
8
(2)若AD =√17，sin∠BAH = ．求⊙O的半径．
17
考向五 用切线构直角
44．（2024·福建漳州·二模）如图， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OP∥AC交BC于点D，CP为
⊙O的切线．
(1)求证：∠P=∠B；
(2)若DP=4，OD=2，求cosA的值．
45．（2024·陕西西安·一模）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接
AD．
(1)求证：∠OCA＝∠ADC；
1
(2)若⊙O的半径为6，tanB= ，求AD的长．
3
46．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰Rt ABC中，∠ABC=90°，点D是以AB为直
径的⊙O上一点，连接BD，CD，BD交AC于点P，且CD=△BC．
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（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）求cos BPC的值．
∠
考向六 等角转换
47．（2024·广东广州·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D．
(1)求证：AO平分∠BAC；
3
(2)若BC=12，sin∠BAC= ，求AC和CD的长．
5
48．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，以BC为直径的⊙O交边AC于点D，过点
D作⊙O的切线交AB于点E．
(1)若∠A=54°，求∠ADE的度数；
(2)若CD=2，AD=3，求tan∠ADE的值．
49．（2024·四川巴中·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点
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1
D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB．
2
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
√5
(2)若AB=10，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．
5
圆中的计算问题常常作为考试中的压轴题出现，其综合性强、涉及知识点多，对学生的逻辑思维和解
题技巧提出了较高要求。以下是针对圆中计算的压轴题的一些解题思路，希望能为考生提供有效的解题策
略。
一、明确已知条件，画出准确图形
首先，仔细阅读题目，明确给出的所有已知条件，包括圆的半径、弦长、圆心角、切线等。根据这些
条件，画出准确的图形，有助于直观理解问题。在画图过程中，注意标注已知的长度、角度等关键信息。
二、运用圆的基本性质
1. 切线的性质：切线垂直于过切点的半径。
2. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
4. 相似三角形的判定与性质：利用相似三角形求解线段长度或角度。
三、选择合适的解题方法
根据题目类型和已知条件，选择合适的解题方法至关重要。以下是几种常用的解题方法：
1. 勾股定理：在直角三角形中，利用勾股定理求解边长。
2. 三角函数：已知角的三角函数值，利用三角函数关系求解相关边长。
3. 相似三角形：通过证明三角形相似，利用比例关系求解未知线段长度。
4. 构造辅助线：通过作辅助线（如半径、切线、中位线等），将复杂图形分解为简单图形，便于利用已知
定理进行求解。
四、分类讨论与综合应用
对于复杂的圆中计算问题，常常需要进行分类讨论。例如，当题目中存在动点或不确定的位置关系时，
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需要根据不同情况分别进行分析。此外，综合运用代数和几何方法，将几何问题转化为代数问题（如建立
坐标系、使用参数方程等），有助于解决一些复杂的计算问题。
五、实战演练与总结反思
通过大量的实战演练，熟悉各种题型和解题技巧。在解题过程中，注意总结常见错误和解题思路，形
成自己的解题策略。同时，定期回顾错题，加深对知识点的理解和记忆。
总之，圆中的计算（压轴题）虽然难度较大，但只要掌握了基本性质和解题方法，通过大量的练习和
总结反思，就能够有效提高解题能力，取得理想的成绩。
1．（2025·浙江宁波·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点M为BC的中点，连接AM交⊙O于点E，
1
且C为弧AE的中点，连接 CE，在BC上存在点 H，使得 ∠HEM= ∠BCA, 若 BH=2， 则AC的
2
长（ ）
A．4 B．4√2 C．2+2√2 D．4+√2
2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是B´C的中点，
16π
连结BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，阴影部分的面积为 ，则等边三角形
3
ABC的边长为（ ）
9
A．4 B．4√2 C．4√3 D． √3
2
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3．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径
作圆，记三角形外的阴影面积为S ，三角形内的阴影面积为S ，在以下四个选项的条件中，不一定能求出
1 2
S −S 的是（ ）
1 2
A．已知△ABC的三条中位线的长度
B．已知△ABC的面积
C．已知AB，AC的长度及∠ACB=30°
D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和
4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=2√3，∠A=60°，点E、F分别在AB、AD上，
且AE=DF，连接DE、BF交于点G，则∠BGD的度数为 ，四边形BCDG面积的最大值为 ．
5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E,F分别在边AB和AD上，
且EF=4．当△AEF的面积最大时，△CEF的面积为 ．
6．（2025·上海徐汇·一模）如图，四边形ABCD中，AC⊥AB,BD⊥CD,BD=CD，如果
AB=m,AC=n，且m
