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压轴题解题模板 06
规律探究
目 录
题型一 周期型
题型二递推型
题型三 固定累加型
题型四 渐变累加型
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题型解读：
规律探索问题在中考中常以选择题、填空题的形
式出现，难度中等，规律性较强，重点考查数式、坐
标和图形的规律探索问题，涉及整式的计算、一次函
80%
数、反比例函数、二次函数、圆、特殊三角形、勾股
70%
定理、图形变换等相关知识，以及类比、数形结合、
60%
转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①
50%
周期型；②递推型；③固定累加型；④渐变累加型等.
40%
右图为规律探索问题中各题型的考查热度.
30%
20%
10%
0%
题型一 题型二 题型三 题型四
解题模板：
数式的规律探索 坐标的规律探索
图形的规律探索
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题型一 周期型
【例1】（2023·广东江门·一模）现有四条公共端点为 的射线 、 、 、 ，若点 ， ， ，
……按如图所示的规律排列，则点 应该落在（ ）
A．射线 上 B．射线 上 C．射线 上 D．射线 上
【答案】B
【分析】根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点 落在哪条射线上．
【详解】解：由图可得，
到 顺时针， 到 逆时针，每8个点为一周期循环，
，
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点 落在OB上，
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式1-1】（2023·新疆克孜勒苏·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着
A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点坐标为 ，B点坐标为 ，C点坐标为 ，当蚂蚁爬
了 个单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题，根据题意确定从A→B→C→D→A一圈的长度，即可求解．
【详解】∵A点坐标为 ，B点坐标为 ，C点坐标为 ，
∴
∴从A→B→C→D→A一圈的长度为
∵ ，
∴当蚂蚁爬了 个单位时，它所处位置在点A左边一个单位长度处，即 ．
故选：D．
【变式1-2】已知 （ ， ）， ， ，…， ，则 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出 ， ， ，可得 ， ， ， ，．．．， 以 ， ， 为一个循环组依
次循环，然后根据 可知 ．
【详解】解：∵ （ ， ），
∴ ，
，
，
∴ ， ， ， ，．．．， 以 ， ， 为一个循环组依次循环，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，属于规律型题，根据题意得出规律为三个式子依次循环是解本题的
关键．
【变式1-3】有一个数字游戏，第一步：取一个自然数 ，计算 得 ，第二步：算出 的各
位数字之和得 ，计算 得 ，第三步算出 的各位数字之和得 ，计算 得 ；以此
类推，则 的值为（ ）
A．7 B．52 C．154 D．310
【答案】D
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【分析】通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案．
【详解】解：由题意知： ；
；
；
； ；
由上可知， 是按照52、154、310、 ，52、154、310三个数的组合重复出现的数列，
∵ ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查整式中的数字类规律探索，通过阅读题目材料并归纳出数字出现规律是解题关键．
题型二递推型
【例2】（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子
；
；
；
……
按照上述规律， ．
【答案】
【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．
【详解】解：∵ ；
；
；
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……
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．
【变式2-1】（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子：
； ； ； ； ；…
依此规律，则第 （ 为正整数）个等式是 ．
【答案】
【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
【详解】解：∵ ； ； ； ； ；…
∴第 （ 为正整数）个等式是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
【变式 2-2】（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
…都是等边三角形，且点 ， ， ， ， 坐标分别是 ， ， ，
， ，依据图形所反映的规律，则 的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得
到 ，每4个为一组，据此可以得到 在x轴负半轴上，纵坐标为0，根据 ，
，……得到 横坐标为 ，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可以看出 ，每4个为一组，
∵ ，
∴ 在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵ ， ，……
∴当 时， 的横坐标为2，
当 时， 的横坐标为1，
当 时， 的横坐标为0，
……
当 时， 横坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
则
∴ 的坐标是 ．
故选：C
【变式2-3】（2023·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴上， ，将
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绕点 顺时针旋转 到 ，扫过的面积记为 ， 交 轴于点 ；将 绕点 顺时针旋
转 到 ，扫过的面积记为 ， 交 轴于点 ；将 绕点 顺时针旋转 到 扫过的
面积记为 ； ；按此规律，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分 的值，根据数的变化找出变化规律
，依此规律即可得出结论．
本题考查了坐标与图形性质 旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解此题的关键是找出规律
．
【详解】解：由题意 、 、 、 、都是等腰直角三角形，
， ， ， ，
， ， ， ，
；
，
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，
故选：A．
题型三 固定累加型
【例3】（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，
以点P为位似中心作正方形 ，正方形 ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，
其中正方形 的顶点坐标分别为 ， ，则顶点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律 ．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
【变式3-1】（2023·重庆·中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9
根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此
规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．
【详解】解：第①个图案用了 根木棍，
第②个图案用了 根木棍，
第③个图案用了 根木棍，
第④个图案用了 根木棍，
……，
第⑧个图案用的木棍根数是 根，
故选：B．
【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题
的关键．
【变式3-2】（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个
图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有
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10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片 ，第2个图案中有6个白色圆片 ，第3个
图案中有8个白色圆片 ，第4个图案中有10个白色圆片 ， ，可得第 个图
案中有白色圆片的总数为 ．
【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片 ，
第2个图案中有6个白色圆片 ，
第3个图案中有8个白色圆片 ，
第4个图案中有10个白色圆片 ，
，
∴第 个图案中有 个白色圆片．
故答案为： ．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，
然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．
【变式3-3】（2023·湖北十堰·中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围
成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图
案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．
【答案】 /
【分析】当 时，有 个三角形；当 时，有 个三角形；当 时，有
个三角形；第n个图案有 个三角形，每个三角形用三根计算即可．
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【详解】解：当 时，有 个三角形；
当 时，有 个三角形；
当 时，有 个三角形；
第n个图案有 个三角形，
每个三角形用三根，
故第n个图案需要火柴棍的根数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．
题型四 渐变累加型
【例4】（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以
下图形，第1幅图形中“●”的个数为 ，第2幅图形中“●”的个数为 ，第3幅图形中“●”的个数
为 ，…，以此类推，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
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首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
【变式4-1】（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第
②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，
则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
【答案】B
【分析】
根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈， ；
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第②个图案中有5个圆圈， ；
第③个图案中有8个圆圈， ；
第④个图案中有11个圆圈， ；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为 ；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为 是解题
的关键.
【变式4-2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开
始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： ； ； ； ；
…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出
第n个数对： ．
【答案】
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第 个数对的第
一个数为： ，第 个数对的第二个位： ，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即： ， ， ， ， ，…
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则第 个数对的第一个数为： ，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即： ； ； ； ； …，
则第 个数对的第二个位： ，
∴第n个数对为： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
【变式4-3】（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作
为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、
癸烷（当碳原子数目超过 个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为 ，
乙烷的化学式为 ，丙烷的化学式为 ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化
学式为 ．
【答案】
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为 ，
乙烷的化学式为 ，
丙烷的化学式为 ……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
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十二烷的化学式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
一、单选题
1．（2023·云南红河·一模）如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n个
图形中小五角星的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出前4个图形中的小五角星的个数，找出一般的计算方法求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：则第1个图形中小五角星的个数为： ；
则第4个图形中小五角星的个数为： ；
则第3个图形中小五角星的个数为： ；
则第4个图形中小五角星的个数为： ；
……；
则第n个图形中小五角星的个数为： ，
故选：A．
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2．（2023·云南玉溪·一模）观察下列一组数： ， ， ， ， ， ，它们是按一定规律排列的，那
么这一组数的第 个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解： 第 个数是 ，
第 个数是 ，
第 个数是 ，
，
第 个数是 ，
故选： ．
分别归纳出该组数字分子、分母的规律．
此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律．
3．（2023·广东肇庆·三模）用黑色和白色的正方形的卡片按照如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开
始，每个图案都比前一个图案多3个黑色正方形．若第n个图案中黑色正方形的个数为55，则n的值为（
）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
观察图形可知，第1个图形共有1个黑色正方形；第2个图形共有 个黑色正方形；第3个图形共有
个黑色正方形；第4个图形共有 个黑色正方形；…；由此得出第n个图形共有 个
黑色正方形，即可求出n的值．
【详解】解：∵第1个图形共有1个黑色正方形；
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第2个图形共有 个黑色正方形；
第3个图形共有 个黑色正方形；
第4个图形共有 个黑色正方形；
…；
第n个图形共有 个黑色正方形，
若第n个图案中黑色正方形的个数为55，
则 ，
解得： ．
故选：C．
4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）按一定规律排列的单项式：a， ， ， ， ，
，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．
【详解】解：第一个单项式为 ，
第二个单项式为 ，
第三个单项式为 ，
第四个单项式为 ，
…
∴可以得到规律第n个单项式的系数为 ，次数为 ，即第n个单项式为 ，
故选：A．
5．（23-24七年级上·河南新乡·期中）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑
色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦
个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
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【答案】C
【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出变化规律，即可求解．
【详解】解：由已知图形可知：
第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有6个黑色圆点， ，
第③个图案中有8个黑色圆点， ，
……
以此类推，第n个图形黑色圆点个数为： ，
因此第⑦个图案中黑色圆点的个数为： ，
故选C．
6．（2023·河南安阳·一模）如图，将数列排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为（ ）
A．119 B．－121 C．－117 D．123
【答案】A
7．（2023·浙江衢州·一模）观察下列数据： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，依照此
规律，第 个数据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减 ，然后列式计算即可得解．
【详解】∵ ，
，
，
，
，
…，
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∴第 个数据是： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了数字变化规律，观察出各数据都等于完全平方数减 是解题的关键．
8．（2023·云南昭通·三模）按一定规律得列的单项式； ，…，按照上述规律，第n个单
项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别找出各个单项式的系数与字母部分的规律，即可解答．
【详解】观察各个单项式可得，系数是连续的奇数：1，3，5，7，9，…，故第n个单项式的系数是 ；
字母部分是 的乘方，a的指数是1，2，3，4，5，…，故第n个单项式的字母部分是 ，
所以第n个单项式是 ．
故选：B
【点睛】本题考查寻找单项式的规律，观察各个单项式，分别从系数和字母部分找到规律是解题的关键．
9．（19-20七年级上·四川达州·期末）探索规律：观察下面的一列单项式： 、 、 、 、 、
…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得出单项式的变化规律为：系数是以 为底的幂，其指数是式子的序号减1，x的指
数是式子的序号，据此作答即可．
【详解】解：根据题意，可得单项式的变化规律为：系数是以 为底的幂，其指数是式子的序号减1，x
的指数是式子的序号，
∴第9个单项式是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是解本题的关键．
10．（2023·重庆巴南·一模）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗
棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（ ）
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A．36 B．40 C．49 D．53
【答案】D
【分析】仔细观察图形的变化，找到变化规律，利用规律求解即可．
【详解】解：第①个图形有 颗棋子，
第②个图形一共有 颗棋子，
第③个图形一共有 颗棋子，
第④个图形有 颗棋子，
……，
第 个图形一共有 （颗）．
第⑦个图形一共有 （颗）．
故选：D．
【点睛】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，
然后推广到一般情况．
11．（2023·重庆渝中·二模）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部
分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第 个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）·
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第 个图案
中涂有阴影的小正方形个数．
【详解】第一个图案有 个： ，
第二个图案有 个： ，
第三个图案有 个： ，
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则第 个图形有： 个，
故第 个图案中有 (个)，
故选： ．
【点睛】此题考查了图案的变化规律问题，解题的关键是找到正确的变化规律即可．
12．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中， ， ，将 绕点 顺
时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为 的等腰三角形．第一次变化后得到
等腰三角形 ，点 的对应点为 ；第二次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应
点为 ；第三次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 ……依此规律，则第
2023年等腰三角形中，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，可得点 ， ， 在第二象限， ， ， ，推出 ，可得
结论．
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【详解】解： 在平面直角坐标系中， ， ，绕点 顺时针旋转并且按一定规律放
大，每次变化后得到的图形仍是顶角为 的等腰三角形．
第一次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 ，
∴ ；
第二次变化后得列等腰三角形 ，点 的对应点为 ， ；
∴ ；
第三次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 ；
∴ ；
……
由图可知：
绕点 每次顺时针旋转 ，并且腰长增加1，
∴旋转三次完成一周，故点 ， ， ，……在第三象限，
， ， ，……
， ，
∴ ，
∴点 到 轴距离为 ，到 轴距离为
， ，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 旋转，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于
中考常考题型．
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二、填空题
13．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第1个图形中有2个
三角形，第2个图形中有5个三角形，第③个图形中有10个三角形，第④个图形中有17个三角形，…，
按此规律排列，则第⑩个图形中三角形的个数为 ．
【答案】101
【分析】本题考查了图形的变化类，分析发现规律是关键．罗列第①第②第③第④个图形中三角形个数就
会发现规律：第n个图形中三角形个数为 ，按照规律求出第⑩个图形中三角形个数即可．
【详解】解：第①个图形中三角形个数有 ，
第②个图形中三角形个数有 ，
第③个图形中三角形个数有 ，
第④个图形中三角形个数有 ，
，
第n个图形中三角形个数为 ，
则第⑩个图形中三角形个数为 ，
故答案为：101．
14．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，按这样的运动规律，经
过第2023次运动后，动点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标规律探索；
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分析得出动点 的横坐标和运动的次数相同，纵坐标以1，0，2，0为一个循环组依次循环，然后计算
，可得动点 的纵坐标为2，问题得解．
【详解】解：由图可得，动点 的横坐标和运动的次数相同，纵坐标以1，0，2，0为一个循环组依次循环，
∴经过第2023次运动后，动点 的横坐标为2023，
∵ ，
∴经过第2023次运动后，动点 的纵坐标为2，
∴动点 的坐标是 ，
故答案为： ．
15．（2023·山西忻州·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和三角形镶嵌而
成，第（1）个图案有4个三角形和4个正方形，第（2）个图案有10个三角形和8个正方形，第（3）个
图案有16个三角形和12个正方形，…，依此规律，第 个图案中三角形和正方形的总个数为
个．（用含 的式子表示）
（1） （2） （3）
【答案】
【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，可以得到后一个图形中的三角形的个数比前一个三角形的
个数多6个，第 个图形中的正方形的个数为 个，再进行求解即可．解题的关键是根据已有图形，抽
象出相应的数字规律．
【详解】解：由图可知，后一个图形中的三角形的个数比前一个三角形的个数多6个，
∴第 个图案中三角形的个数为 个，
∵第（1）个图案有 个正方形，
第（2）个图案有 个正方形，
第（3）个图案有 个正方形，
∴第 个图形中的正方形的个数为 个，
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∴第 个图案中三角形和正方形的总个数为 个；
故答案为： ．
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