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专题 08 新函数图象与性质探究
题型解读｜模型构建｜通关试练
了解和掌握新函数的图象和性质出题形式和考试方向；学会运用新函数的相关性质进行研究；了解和
掌握含绝对值的新函数、分段函数及与函数结合的实际应用是本专题知识点的关键。新函数图象与性质的
探究题型既考查学生对于函数图象与性质的理解，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图
能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为3种类型：(1)函数图象的变形；(2)实际情景中新函数图象
与性质的探究；(3)与几何结合的新函数的图象与性质．本专题主要对新函数图象探究题型进行总结，对其
解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
模型01 新函数问题
通过对以往函数的学习，在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函
数图象及性质的探究及运用。考查学生对函数图象、函数性质以及与函数图象结合的相关知识的综合掌握
和运用，充分体现了数学与图形结合的密切联系，属于中考的一种常考题型。
模型02 函数与几何结合问题
函数与几何结合的模型，主要是为了研究几何中角度、线段长度或则图形面积等通过常规方式不容易
求解对应数量时，我们借助函数模型进行探究。在解题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及
性质的探究及运用，综合考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运
用能力。
模型03 函数实际应用问题
函数的实际应用问题中通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的
探究及运用．考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用，充分体
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现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。
模型01 新函数问题
考｜向｜预｜测
新函数问题该题型近年主要以解答题型出现，解决这类问题的关键是对初中阶段学习的一次函数、反
比例函数、二次函数的定义图象和性质充分了解，然后结合几类函数的图形和性质特点进行演变分析。
在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察新函数特点（表达式特点、图象特点），结合所学基本函数特征进行分析；
第二步： 确定函数图象（注意列表、描点、）；
第三步： 结合函数性质进行研究（对称性、增减性、最值）；
第四步： 对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用；
例1．（2023·广西）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数 时，对函数的图
象进行了探究，探究过程如下：
… 1 2 3 …
… 3 4 6 1 …
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(1)① 与 的几组对应值如下表，请补全表格；
②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
(2)我们知道，函数 的图象是由二次函数 的图象向右平移 个单位，
再向上平移 个单位得到的．类似地，请直接写出将 的图象经过怎样的平移可以得到
的图象；
(3)若一次函数 的图象与函数 的图象交于 两点，连接 ，求 的面
积．
【答案】(1)见解析，
(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位
(3)
【详解】（1）当 时， ，
补全表格为：
… 1 2 3 …
… 3 4 6 1 …
图象如下：
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（2） 的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到 的图象；
（3）一次函数 的图象，如图，可知 ，
∴ 的面积为 ．
模型02 函数与几何结合问题
考｜向｜预｜测
函数与几何结合问题主要是借助函数模型进行探究几何问题，对实际几何问题中抽象出对应变量的函
数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。该题型在考试中主要以解答题的形式出现，具有一定
的难度，除了考查学生对几何有关图形性质、定理知识外，对函数的图象与性质等也需要真正理解，
充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。
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答｜题｜技｜巧
第一步： 理解题意，找到实际情境的数学模型；
第二步： 从学过的基础函数入手，建立函数关系；
第三步： 利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习；
第四步： 按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题；
例1．（2023·湖南）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形
的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．
（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形， ， ，根据“相似三角形对应
的高的比等于相似比”可以求得此时正方形 的边长是________．
【问题解决】：若木板是面积仍然为 的锐角三角形 ，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得
的正方形 的面积为 ，如何求 的最大值呢？某学习小组做了如下思考：
设 ， ， 边上的高 ，则 ， ，由 得： ，
从而可以求得 ，若要内接正方形面积 最大，即就是求 的最大值，因为 为定值，因此只
需要分母最小即可．
（2）小组同学借鉴研究函数的经验，令 ．探索函数 的图象和性质：
①下表列出了 与 的几组对应值，其中 ________．
… 1 2 3 4 …
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… 4 4 …
②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
③结合表格观察函数 图象，以下说法正确的是
A．当 时， 随 的增大而增大．
B．该函数的图象可能与坐标轴相交．
C．该函数图象关于直线 对称．
D．当该函数取最小值时，所对应的自变量 的取值范围在 之间．
【答案】（1） ；（2）① ；②见解析；③D
【详解】解：（1）作 交 于点N，交 于点M，
设正方形 的边长为 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
此时正方形 的边长是 ，
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故答案为： ；
解：（2）①当 时， ，
故答案为： ；
②描点、连线，图象如图所示，
③由图可知：
A、当 时， 随 的增大，先减小后增大，原说法错误；
B、a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知， ,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴
相交，原说法错误；
C、该函数图象没有对称轴，原说法错误；
D、当 ，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量 的取值范围在 之间，
说法正确．
故选：D．
模型03 函数实际应用问题
考｜向｜预｜测
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函数实际应用问题通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究
及运用．考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用，充分体
现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。
答｜题｜技｜巧
第一步： 理解题意，找到实际情境的数学模型；
第二步： 从学过的基础函数入手，建立函数关系；
第三步： 利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习；
第四步： 按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题；
例1．（2023·四川）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱
呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，由题意可知， ， ，主桥拱半径R，
，
是半径，且 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
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故选B
例2．（2023·山东）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用
甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为 ，开始放水
后每隔 观察一次甲容器中的水面高度
流水时间 0 10 20 30 40
3 28.
水面高度 （观察值） 29 27 25.8
0 1
任务1：分别计算表中每隔 水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“ ， ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀
任务2：利用 时， ； 时， ，求出h关于t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，减少偏差．
通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值与表中观察值偏差的平方和记为
w；w越小，偏差就越小；
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过 的一次函数解析式的w值，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时
间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
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【答案】任务1： ， ， ， ；任务2： ；任务3：（1） ；（2）当
时，w的最小值为0.038；任务4：将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔 标记一次
刻度，就代表时间经过了10分钟
【详解】任务1：
变化量分别为： ， ， ， ，
∴每隔 水面高度观察值的变化量为： ， ， ， ．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为 ，
∵ 时， ， 时， ；
∴ ，
解得： ，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为 ；
任务3：
（1） ；
（2）设： ，则
∴当 时，w有最小值为0.038；
任务4：
由任务3知，优化后的函数解析式为 ．
∴时间刻度方案要点为，零刻度放在水位最高处，在容器外壁向下每隔 标记一次刻度，就代表时间
经过了10分钟．
∵ 时， ，
∴最大量程为294分钟．
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1．（2023·南京）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离
水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
【答案】
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过 ，纵轴y通过 中点O且通过C点，如图，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点， 和 可求出为 的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为
，点A坐标为 ，
通过以上条件可设顶点式 ，
代入A点坐标 ，可得 ，
解得： ，所以抛物线解析式为 ，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把 代入抛物线解析式得出：
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，解得： ，
所以水面宽度为 米，
故答案为： ．
2．（2023·湖北）在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球
飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 （单位：米）与飞行的水平距离 （单
位：米）之间具有函数关系 ，则小康这次实心球训练的成绩为 米．
【答案】12
【详解】解：当 时， ，
整理，得 ，
解得 ， （舍），
所以小康这次实心球训练的成绩是12米．
故答案为：12．
3．（2023·上海）平面直角坐标系中，在 轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与 轴的交点的距离
之和最小的点，称为这条抛物线与 轴的“亲密点”，那么抛物线 与x轴的“亲密点”的坐
标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，求得抛物线的顶点
坐标和与 轴的交点，然后根据题意求得顶点关于 轴的对称点，进一步求得过对称点和与 轴的交点的
直线解析式，即可求得“亲密点”的坐标．
【详解】解： ，
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抛物线开口向上，顶点 为 ，
顶点关于 轴的对称点 为 ，
当 时， ，
抛物线与 轴的交点 为 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得， ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则
抛物线 与 轴的“亲密点”的坐标是 ，
故答案为： ．
4．（2023·内蒙古）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面 宽 米，拱桥的最高点 到水面 的
距离是 米，如图建立直角坐标平面 ，如果水面上升了 米，此时水面的宽 米．（结
果保留根号）
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【答案】
【详解】设该抛物线的解析式是 ，
由题意结合图象可知，点 在函数图象上，
代入得： ，解得： ，
∴该抛物线的解析式是 ，
则水面上升了 米，此时 ，
∴ ，解得： ，
则此时水面的宽度是 米，
故答案为： ．
5．（2023·陕西）小明根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是小明的
探究过程，请补充完整：
(1)函数 的自变量x的取值范围是 ；
(2)如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m= ，n= ．
x … -1 0 2 3 …
y … m 0 n 3 2 …
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象（注：图
中小正方形网格的边长为1）．
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(4)结合函数的图象，解决问题：当函数值 时，x的取值范围是： ．
【答案】(1)x≠1
(2) ，-1
(3)见解析
(4)1＜x＜3
【详解】（1）由分式的分母不为0得： ，
∴x≠1；
故答案为：x≠1．
（2）当x=-1时，y= +1= ，
当x= 时，y= +1=-1，
∴m= ，n=-1，
故答案为： ，-1．
（3）如图：
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（4）观察函数图象，可知：当函数值 +1＞ 时，x的取值范围是1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
6．（2023·广东）如图1，平行四边形 中， ， ，连接 ， ，动点P以每秒
1个单位的速度从点C出发沿折线 运动，设点P运动时间为x秒， 的面积为 ，
(1)请直接写出 关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3) 的函数图象如图2所示，当 时请直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差小于
0.2）
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【答案】(1)
(2)图见解析，当 时， 随x增大而减小，当 时， 随x增大而增大．
(3) 或
【详解】（1）解：由勾股定理 ，得
，
∵平行四边形 ，
∴ ，
当点P由 运动时，即 ，
，
即 ；
当点P由 运动时，即 ，
过点A作 于E，过点B作 交 延长线于F，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵平行四边形 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
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，
即 ；
综上， 关于x的函数表达式为 ．
（2）解：如图所示：
由图可得：当 时， 随x增大而减小，当 时， 随x增大而增大．
（3）解：由图象可得：当 时， 或 ．
7．（2023·河北）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 ，宽 的长方形水池
进行加长改造（如图①，改造后的水池 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为
的矩形水池 （如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
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如果设水池 的边 加长长度 为 ，加长后水池1的总面积为 ，则 关于
的函数解析式为： ；设水池2的边 的长为 ，面积为 ，则 关于
的函数解析式为： ，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
(1)若水池2的面积随 长度的增加而减小，则 长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2
面积的最大值是_________ ；
(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的 值是_________；
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时， 的取值范围是_________；
(4)在 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 的值；
(5)假设水池 的边 的长度为 ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水
池3的总面积 关于 的函数解析式为： ．若水池3与水池2的面积相等
时， 有唯一值，求 的值．
【答案】(1) ；9
(2)C，E；1，4；
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(3) 或
(4)
(5)
【详解】（1）∵
∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，
∵水池2的面积随 长度的增加而减小，
∴ 长度的取值范围是 ；水池2面积的最大值是9 ；
故答案为： ；9；
（2）由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得，
∴x的值为1或4，
故答案为：C，E；1或4
（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），
又直线在抛物线上方时， 或 ，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时， 的取值范围是 或 ，
故答案为 或 ；
（4）在 范围内，两个水池面积差 ，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当 时，函数有最大值，为
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即，当 时，面积差的最大值为
（5）∵水池3与水池2的面积相等，
∴ ，
整理得，
∵ 有唯一值，
∴
解得，
8．（2023·山西）小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，
直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片到光斑的距离，得到如下数据：
镜片度数y/度 … 400 625 800 m …
镜片到光斑的距离x/m … 0.25 0.16 0.125 0.10 …
（x表示镜片到光斑的距离，y表示镜片的度数）
为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图
象，并给出了它们的关系式，如图：
(1)m的值是______；
(2)小亮的眼镜是近视200度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出其镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得
出这一结论的；
(3)根据图表中的信息，发现随着x的逐渐变大，y的变化趋势是________；
(4)你来预测一下，如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？（直接写结论，无需解释）
【答案】(1)1000
(2)
(3)y逐渐变小
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(4)不会有光斑存在
【详解】（1）将 代入 得，
∴ ；
（2）将 代入 得，
解得
∴其镜片到光斑的距离为 ；
（3）根据图表中的信息可得，
随着x的逐渐变大，y逐渐变小；
（4）根据图表中的信息可得，
如果是一副平光镜（近视度数为0），不会有光斑存在．
9．（2023·河南）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛
物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点
K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台
的起跳台的高度 为 ，基准点K到起跳台的水平距离为 ，高度为 （h为定值）．设运动员从
起跳点A起跳后的高度 与水平距离 之间的函数关系为 ．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时 ，求基准点K的高度h；
②若 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超过K点，并说
明理由．
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【答案】(1)66
(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞ ；
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．
【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）解：①∵a＝﹣ ，b＝ ，
∴y＝﹣ x2+ x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣ ×752+ ×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣ ×752+75b+66＞21，
解得b＞ ，
故答案为：b＞ ；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
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66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣ ×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
10．（2023·江苏）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠
军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位
运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的
运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位： ），乒乓球运行的水平距离
记为 （单位： ）．测得如下数据：
水平距离 /
竖直高度 /
(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距
离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(2)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为
，球网高 为 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为 ．请你计
算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 处时，击球高度的 值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)① ； ；②
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(2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为
【详解】（1）①观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ，顶点坐
标为 ，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当 时，x=230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为： ； ．
②设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵当 时，抛物线的解析式为 ，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
依题意，当 时， ，
即 ，
解得： ．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ．
1．如图，将水以匀速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面圆柱体的容器中，请找出容器内水的
高度h和时间t变化关系的图象( )
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A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为圆柱上下一样粗，所以水面上升的高度h随注水时间t的增大而匀速增大．
故选：C．
2．如图1，水钟在中国又叫做“刻漏”，在小学科学课制作《我们的水钟》时，学生制作了如图2所示的
简易水钟：瓶子内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从瓶盖的小孔均匀漏出，瓶身上有
刻度，学生可根据瓶中水面的位置计算时间．若将此简易水钟的瓶子近似看作圆柱，用x表示漏水时间，y
表示水面到瓶盖的高度，下列图象适合表示y与x之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设瓶子的体积为V，瓶底面积为S，a表示单位时间滴水量，
则 ，
即 ,
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上式中，V、S、a都是常数，则y是x的一次函数关系式，且 ，则其图象是A选项中的图象；
故选：A．
3．如图①，底面积为 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀
速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度 与注水时间 之间的关系如图②．若“几何体”的
下方圆柱的底面积为 ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）
A．24 B．12 C．18 D．21
【答案】A
【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为 ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为 ，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了： ，
这段高度为： ，
设匀速注水的水流速度为 ，则 ，
解得 ，
即匀速注水的水流速度为 ；
“几何体”下方圆柱的高为 ，则 ，
解得 ，
所以“几何体”上方圆柱的高为 ，
设“几何体”上方圆柱的底面积为 ，
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根据题意得 ，
解得 ，
即“几何体”上方圆柱的底面积为 ，
故选：A．
4．【探究】在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在矩形 中， ，
，连接 ，动点 从点 出发以每秒1个单位长度的速度沿 方向运动，当点 运动到
点 时停止运动．设运动时间 秒， 的面积为 ，请直接写出 关于 的函数表达式以及自变量 的
取值范围．
【尝试】小邕学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在平面直角
坐标系中（图2）画出这个函数的图象，请你按照小邕的思路画出图象，并结合函数图象写出函数 的性
质（写出一条即可）．
【应用】进一步思考：结合函数图象，写出 的面积为4时 的值．
【答案】探究： ；尝试：见解析；应用： 或
【详解】解：探究：
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
动点 从点 出发以每秒1个单位长度的速度沿 方向运动，设运动时间 秒，
当 时，点 在 上，且 ，如图，作 于 ，
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， ，
的面积为 ，
当 时，点 在 上，且 ，
， ，
，
的面积为 ；
综上所述： 关于 的函数表达式为 ；
尝试：画出函数图象如图所示：
，
由图象可得：当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小， 的最大值为 ；
应用：当 时，令 ，则 ，解得： ，
当 时，由图可得 ，
的面积为4时 的值为 或 ．
5．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为 米．建立如图2所示的平面直
角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形
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，其水平宽度 米，竖直高度 米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口 米，灌溉车到绿化带的距离 为
d米．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为；
(3)若 米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，理由见解析
【详解】（1）解：由题意得： 是上边缘抛物线的顶点，
设 ，
又∵抛物线过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为 ，
（2）∵对称轴为直线 ，
∴点 的对称点为 ，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
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当 时， ，
解得 (舍去)，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）∵ 米， 米， 米，
∴点 的坐标为 ，
当 时， ，
当 时， 随 的增大而减小，
∴灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
6．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，
距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为 轴，垂直于地面且过绳子最高点的
直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与
乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意知，抛物线经过点 ， ， ，即 ， ， ，
设抛物线的函数表达式为 ，
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则 ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：将 代入 ，得 ，
解得 ，
小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，
，
，
小明离甲的水平距离为 ．
7．综合与实践．
【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如
图（a）所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀
速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】下表是实验记录的圆柱容器液面高度 与时间 的数据：
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时间 1 2 3 4 5
1
圆柱容器液面高度 6 10 14 22
8
【探索发现】（1）请你根据表中的数据在图（b）中描点、连线，用所学过的一次函数的知识确定 与
之间的函数表达式；
【结论应用】（2）如果本次实验记录的开始时间是上午 ，那么当圆柱容器液面高度达到 时是几
点？
【答案】（1）图象见解析， ；（2）当圆柱容器液面高度达到 时是
【详解】解：（1）描出各点，并连接，如图所示，
由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为 ，
∵点 在该函数图象上，
∴ ，
解得 ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）当 时， ，
，
，
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，
即当圆柱容器液面高度达到 时是 ．
8．阅读与思考
请仔细阅读材料，并完成相应的任务．
利用数学知识求电阻的阻值
数学和物理的关系十分密切，数学是表达物理概念、定律简明而准确的语言，同时，数学为物理提供了计
量、计算的工具和方法．
例如：已知两个电阻 和 串联后的总电阻为 ，并联后的总电阻为 ，求这两个电阻的阻值各是多
少．
根据串联电路中电阻之间的关系，得 ①
根据并联电路中电阻之间的关系，得 ②
把①代入②，得 ③
以上问题也可以通过以下两种数学方法求解．
方法 ：设 的阻值为 ，则 的阻值为 根据③可将问题转化为 是否有正数解的问题．
方法 ：设两个电阻的阻值分别为 和 ，则根据③，得 根据③，得 所以同时满足要求的
正数 和 的值可以看成反比例函数 的图象与一次函数 的图象在第一象限内的交点坐标
．
任务：
(1)已知两个电阻 和 串联后的总电阻为 ，并联后的总电阻为 ，请你借助“方法 ”，求这两个
电阻的阻值各是多少．
(2)是否存在两个电阻 和 ，使串联后的总电阻为 ，并联后的总电阻为 ？
小明借助“方法 ”解答如下：
假设存在，设这两个电阻的阻值分别为 和 ，
根据①，得 ______．
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根据③，得 ______．
在如图所示的直角坐标系中，小明分别画出了满足条件的反比例函数 和一次函数 的图象．
观察图象可知，______ 填“存在”或“不存在” 满足条件的两个电阻．
【答案】(1) 和 ；
(2) ， ，不存在．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
根据题意得 ，
得 ，将 代入，
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得 ，
解方程得 或 ，
这两个电阻的阻值分别为： 和 ．
（2）设 ，则 ，
根据题意得 ，
求解 和 的过程即为求一次函数 与反比例函数 的交点问题，
根据图象可知，两函数没有交点，
不存在满足条件的两个电阻．
故答案为： ， ，不存在．
9．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如
图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且
点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速
度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：
s/m … 9 12 15 18 21 …
4. 4.
h/m … 4.2 5 4.2 …
8 8
(1)根据表中数据预测足球落地时，s= m；
(2)求h关于s 的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的
最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对
足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
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【答案】(1)30
(2)
(3)①守门员不能成功防守；说明见解析；②守门员的最小速度为 m/s
【详解】（1）解：由函数图象信息可得：顶点坐标为：
所以预测足球落地时，
故答案为：30
（2）解：由数据表得抛物线顶点（15，5），
故设解析式为 ，
把（12，4.8）代入 得
所以解析式为 ．
（3）解：设守门员到达足球正下方的时间为t s．
①由题意得15t=20+2.5t，解得t= ，即s=24 m，
把s=24代入解析式得 ，而 ，
所以守门员不能成功防守．
②当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．
所以把h=1.8代入解析式得：
解得：s=27或s=3（不合题意舍去）
所以足球飞行时间 ，守门员跑动距离为 （m），
所以守门员速度为 m/s．
10．在学了一次函数后，小星准备利用已有知识，参照学习一次函数的过程与方法，探索函数 的
图象与性质．
(1)列表：
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0 1 2
3 2 m 0 1 n 3
其中 _____________， _____________．
(2)描点、连线：在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数图象．
(3)（a）设函数图象与 轴、 轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的是______________（填序号）．
①y随着 的增大而增大；②函数图象是一个轴对称图形；③该函数有最小值0；④
（b）根据绘制的函数图象，直接写出不等式 的解集：_____________．
【答案】(1)1，2
(2)见解析
(3)（a）②③④（b） 或
【详解】（1）解：由题意知， ，
故答案为：1，2；
（2）解：作图如下；
（3）（a）解：如图1，
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由图象可知，y随着 的增大先减小后增大；函数图象是一个轴对称图形；该函数有最小值0；
，
①错误，故不符合要求；②、③、④正确，故符合要求；
故答案为：②③④；
（b）解：由图象可知，不等式 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ．
11．（2023·山东）【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为 的正方形硬
纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒．怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图1，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为 的小正方形，再折成如图2所示的无
盖纸盒，记它的容积为 ．
任务1 请你写出 关于 的函数表达式．
【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积 随 的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．
任务2 ①列表：请你补充表格中的数据．
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15
0 1562.5 1687.5 312.5 0
②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内 随 的增大而增大，在一定范围
内 随 的增大而减小．
任务3 利用函数图象回答：当 为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？
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【答案】任务1： ；任务2：①2000，1000；②见解析；③见解析；任务
3：当 时，容积取得最大值，最大值为 ．
【详解】解：任务1
；
任务2 ①在 中，
当 时， ；当 时， ，
故答案为：2000，1000；
②如图1所示，
③如图2所示：
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任务3 由图可知，当 为5时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大，最大值为 ．
41
