文档内容
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模块一 数与代数基础
第 01 讲 数与式、方程与不等式
（思维导图+2考点+7种题型12种考向（含10种解题技巧）+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 数与代数式
►题型01 实数的相关概念
►题型02 实数的运算
►题型03 因式分解
►题型04 整式/分式的化简求值
考向一 直接代入求值
考向二 非负性求值
考向三 选值求值
考向四 整体代入求值
考点二 方程与不等式
►题型01 解方程/不等式组
►题型02 一元二次方程根与系数的关系
考向一 判断根的情况
考向二 运用根的判别式求参
考向三 利用根与系数的关系求解
考向四 利用根与系数的关系求参
考向五 结合根的定义求值
►题型03含参问题
考向一 分式方程含参问题
考向二 不等式组含参问题
考向三 不等式与方程综合
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
1）立足基础，夯实概念理解.数与式的考查将一如既往地重视基础概念的理解和应用。
实数、有理数、无理数的分类，相反数、倒数、绝对值的意义，以及平方根、算术平方
根、立方根的区别等基本概念将是选择题和填空题的常见考点。
2）注重运算能力，强化计算准确性.考生需要熟练掌握各种运算律，确保在复杂的运算
中能够准确无误地得出结果。特别是在分式运算中，注意运算法则和符号的变化，以及
分母不能为零的限制条件将是考查的重点。
3）代数式的应用与规律探索.考生需要能够根据具体问题中的数量关系正确地列出代数
式，并通过代入法或整体代入法求代数式的值。此外，规律探索题，如数字序列的规
律、图形的规律等，将考查考生的观察力和逻辑推理能力。
4）融入实际情境，提升问题解决能力.数与式的试题可能会结合现实生活中的具体问
题，如经济、环保、科技等背景，要求考生运用所学知识进行分析和解决。这不仅考查
数与式 了学生对数与式基础知识的掌握，还考查了他们的阅读理解能力、数据分析能力和问题
解决能力。
5）跨学科融合，考查综合素养.随着教育改革的深入，中考数学试题将更加注重跨学科
知识的融合。数与式的试题可能会与其他学科知识相结合，如物理中的速度与时间关
系，化学中的溶液浓度计算等。这种跨学科的命题方式不仅考查了学生的数学知识，还
考查了他们的综合素养和知识迁移能力。
6）科学记数法与有效数字的考查.科学记数法作为表示大数和小数的重要方法，将继续
成为数与式部分的考查内容。
中考中，数与式的相关题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;
但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在
复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形
中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
1）一元二次方程：一元二次方程的解法是历年中考的热点，特别是根的判别式和韦达
定理的应用。考生需熟练掌握求根公式及解法的多样性，如因式分解法、配方法等。
2）不等式与不等式组：不等式性质的运用、解不等式（组）及不等式组的整数解问题
将是重点。考生需注意不等式两边同时乘除负数时，不等号方向的改变。
3）分式方程：分式方程的解法及检验是常见考点。考生需牢记去分母后对方程解的检
方程与不等式
验，以避免增根的出现。
方程与不等式题型通常包括选择题、填空题和解答题。选择题和填空题侧重基础知
识和计算能力的考查，而解答题则注重解题过程和思维能力的展现。预计2025年中考
将继续保持这一题型分布，选择题和填空题将占据较大比重，解答题则会涉及较复杂的
方程和不等式组求解。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 数与代数式
►题型01 实数的相关概念
1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（ ）
A．3−1 B．−32 C．−|−3| D．−√3
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
1
A．|−2024|和−2024 B．2024和
2024
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1
C．|−2024|和2024 D．−2024和
2024
3．（2024·宁夏·中考真题）地球上水（包括大气水，地表水和地下水）的总体积约为14.2亿km3．请将数
据1420000000用科学记数法表示为 ．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字
0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A．1.56×10−3 B．0.156×10−3 C．1.56×10−6 D．15.6×10−7
5．（2024·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b>−1 B．|b|>2 C．a+b>0 D．ab>0
1
6．（2024·山东日照·中考真题）实数− ,0,√5,1.732中无理数是（ ）
3
1
A．− B．0 C．√5 D．1.732
3
实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；
做这种概念类题目时记牢以下5点：
①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；
②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；
③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；
④解决数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论；
⑤用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇
到的一些很大或很小的数.
►题型02 实数的运算
1．（2024·广东·中考真题）计算： | 1| ．
20× − +√4−3−1
3
2．（2024·湖北·中考真题）计算：
(−1)×3+√9+22−20240
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3．（2024·四川泸州·中考真题）计算：
|−√3|+(π−2024) 0−2sin60°+
(1) −1．
2
4．（2024·四川广元·中考真题）计算：
(2024−π) 0+|√3−2|+tan60°−
(1) −2．
2
实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以填空题，解答题为主.
实数的运算需要我们注意的三个方面：
1）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
2）实数计算的易错点：
①负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
②一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3） ，
4）计算中常用的锐角三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
1 √2 √3
sin α
2 2 2
√3 √2 1
cos α
2 2 2
√3
tan α 1 √3
3
►题型03 因式分解
1．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式：3a3−12a= ．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9 y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是
．
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►题型04 整式/分式的化简求值
考向一 直接代入求值
1．（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值：( 1 ) a2−1，其中 ．
1− ⋅ a=1−√2
a+1 a
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式( x 1 ) x−1 的值，其中
− ÷
x2+2x+1 2x+2 4x+4
x=2cos45°−1．
考向二 非负性求值
1．（2024·四川广元·三模）先化简， 再求值 a2+4ab+4b2 a+2b，其中a、b满足
1− ÷
a2−ab a−b
(a−√2) 2+ √ b+ 1 =0．
2
2．（2024·福建龙岩·二模）先化简，再求值： ，其中m，n满足
[(2m−n) 2+(2m+n)(2m−n)]÷4m
．
|m+1|+(n−2) 2=0
考向三 选值求值
1．（2024·四川达州·中考真题）先化简：( x x ) x2+x，再从 ， ，0，1，2之中选择一个
− ÷ −2 −1
x−2 x+2 x2−4
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合适的数作为x的值代入求值．
2．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： a2−b2 1−a−b，并求值（请从小宇和小丽的对话中
+
a2−2ab+b2 a−b
确定a，b的值）
3．（2024·山东德州·一模）先化简，再求值：a2−1 ( 1 )，其中 是使不等式a−1 成立的正整
÷ a+ a ≤1
a−2 a−2 2
数．
考向四 整体代入求值
1．（2024·福建莆田·模拟预测）先化简再求值：( 3x ) x−2 ，其中x满足 ．
x− ÷ x2+x−2004=0
x+1 x2+2x+1
2．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：a−4 ( a+2 a−1 )，其中 满足
÷ − a
a a2−2a a2−4a+4
a2−
(1) −1
⋅a+6cos60°=0
．
4
想要完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平
方差公式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再
带入数据求值。
1. 常见必会计算公式：1) 2） 3)
4) 5) 6 ） 7 ）
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2. 平方差公式的常见变形：
1）系数变化：
2）连用公式：
3）数学变化：
3. 完全平方公式的常见变形：
① ②
③ ④
⑤
3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注
意事项也是整式化简的注意事项。
实数运算的“两个关键”：
1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号
里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
实数的非负性及性质：
1）非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即√a≥0.
2）非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
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1．（2025兰州市模拟预测）2025的相反数是（ ）
1 1
A．−2025 B．2025 C． D．−
2025 2025
2．（2024毕节市模拟）√16的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±4 D．±2
3．（2024·山东临沂·模拟预测）正整数a、b分别满足√3532，代数式A=2x+4，B=x2−4．
(1)因式分解A；
A
(2)化简分式 ．
B
11．（2024·湖南·模拟预测）小杰计算 过程如下：
2cos60°+(π−2024) 0−|√3−2|
解：原式
√3
=2× +0−2−√3=√3−2−√3=−2
2
② ③
①
小杰的计算是否正确？若正确请在框内打“√”，直接做第20题；若错误，请指出错误：______．（从
“①”“②”“③”中选填），并写出你的解答过程．
考点二 方程与不等式
►题型01 解方程/不等式组
1．（2024·浙江·中考真题）解方程组：¿
2．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x2−4x+3=0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
2 x
3．（2024·陕西·中考真题）解方程： + =1．
x2−1 x−1
4．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：¿，并把解集在数轴上表示出来．
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5．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：¿并求所有整数解的和．
1) 解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）
b
的形式，得出方程的解为x= .
a
2）解二元一次方程组有2种：带入消元法和加减消元法，两种方法都是利用等式的基本性质将二元一次方
程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。
3）一元二次方程的解法有4种：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。解题过程需注意：
①配方法：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 的形式
②公式法：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，如果 , 将a、b、c的值代入求根公式：
③因式分解法：用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时
除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
4）解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③验根
注意事项：
①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
②分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的
根．
④解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是
否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
5）解一元一次不等式组的易错点：
①利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.
②当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变.
③关于x的不等式组 的解集为x=a，关于x的不等式组 无解.
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►题型02 一元二次方程根与系数的关系
考向一 判断根的情况
1．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程x2+kx=2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（
）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根， 一个负根 D．无实数根
2．（2024·四川广安·模拟预测）对于一元二次方程2x2−3x+4=0，则该方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是−3 D．有两个不相等的实数根
一元二次方程根的情况与判别式的关系：
1） 方程 有两个不相等的实根: −b±√b2−4ac；
x=
2a
b
2） 方程 有两个相等的实根：x =x =− ；
1 2 2a
3） 方程 无实根.
考向二 运用根的判别式求参
1．（2024·江苏南京·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根．则实数k的取值范围是
．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m
(m−2)x2+4x+2=0
的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥4 C．m≥−4且m≠2 D．m≤4且m≠2
前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）.
1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0;
3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0.
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考向三 利用根与系数的关系求解
1 1
1．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程x2+x−2=0的两根分别为x ，x ，则 + 的值为 ．
1 2 x x
1 2
3．（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程x2−6x−5=0的两根分别为m，n，则m+n−mn的值是
（ ）
A．1 B．11 C．−1 D．−11
b c
x x − x •x
解题方法：由韦达定理可知 1+ 2＝ a ； 1 2＝ a，代入下式即可.
注意：使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
考向四 利用根与系数的关系求参
1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数 是关于x的方程 的两个根，
x ,x (x ≠x ) kx2+2kx+1=0(k≠0)
1 2 1 2
1 1
若 + =2，则k的值为（ ）
x x
1 2
1 1
A．1 B．−1 C． D．−
2 2
2．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实
数根x 和x ．
1 2
(1)填空：x +x =________，x x =________；
1 2 1 2
1 1 1
(2)求 + ，x + ；
x x 1 x
1 2 1
(3)已知 ，求 的值．
x2+x2=2p+1 p
1 2
考向五 结合根的定义求值
1．（2024·四川成都·中考真题）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值
m n x2−5x+2=0 m+(n−2) 2
为 ．
2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为
．
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3．（2024·四川内江·二模）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
x x x2−x−2024=0 x3−2024x +x2
1 2 1 1 2
的值为 ．
►题型03含参问题
考向一 分式方程含参问题
kx 3
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程 −2= 无解，则k的值为（ ）
x−3 3−x
A．k=2或k=−1 B．k=−2 C．k=2或k=1 D．k=−1
x+m 1
2．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程 + =3有增根，则m= ．
x−2 2−x
2 m
3．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程 =1− 的解为正数，则m的取值范围（ ）
x−1 x−1
A．m>−3 B．m>−3且m≠−2
C．m<3 D．m<3且m≠−2
解题思路：
1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.
2）分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根.
3）分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根；
③特殊解大于0或小于0
4）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根.
考向二 不等式组含参问题
1．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组¿的解集为x<3，则m的取值范围是（ ）
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组¿恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
此类题目的一般解题步骤：
1）解不等式组(用参数表示)；
2）数形结合，画数轴分析；
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3）根据数轴，写出式子满足的条件；(左右两边都有限制范围)
4）讨论两边范围能不能取等号；(一般情况，有且仅有一边可以取等号)
5）解不等式求出参数的范围.
【注意点】在解题时要注意端点是否能取到，可以直接令其等于端点然后进行验证.
考向三 不等式与方程综合
1．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组¿的解满足2kx−3 y<5，求k的取值范围．
2．（2022·河南·模拟预测）整数m满足关于x，y的二元一次方程组¿的解是正整数，且关于x的不等式组
¿有且仅有2个整数解，则m的值为 ．
不等式的性质与等式的性质的区别与联系
等式的性质 不等式的性质
区别 在等式两边乘(或除以)同一个负数， 在不等式两边乘(或除以)同一个负数，
等式仍然成立 不等号的方向要改变
联系 1）对于等式来说，在等式两边加(或减)同一个数(或式子)或乘(或除以)同一个正数,结果仍相等
2）对于不等式来说，在不等式两边加(或减)同一个数(或式子),或乘(或除以)同一个正数,不等号
的方向不变.
1．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为−5，
5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为−2，则点D在数轴上对
应的数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1 2
2．（2024·山东临沂·模拟预测）当 比 多1时，x=（ ）
x−3 3−x
A．4 B．6 C．−5 D．−3
3．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．若x>y，则xz2>yz2 B．若b<0，则b2>0
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b 1
C．若a>0，b<0，则 >0 D．若0x2>x
a x
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式 是四次三项式，关于x的一
(n+2)y|n|+2+(n−1)y+3
元二次方程x2−x−m+n=0有实数根为a，则3a2−3a+m的最小值为（ ）
3 7
A．1 B． C．2 D．
2 4
m+2
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）对于分式M= ，有下列结论：
m+3
结论一：当m=−3时，M=0；结论二：当M=−1时，m=−2.5；
结论三：若m>−3，则M>1．其中正确的结论是（ ）
A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二
6．（2024·河北邯郸·模拟预测）问题“解方程x2−3x+3=0”，嘉嘉说“其中一个解是x=1”，琪琪说
“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，珍珍说“b2−4ac<0，此方程无实数根”，判断下列结
论正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对
C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
1 mn
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于实数a、b，定义运算：①m⊕n= ;②m⊗n= .
m+n m2−n2
1 1 3×5 15
例如 ①3⊕5= = ;3⊗5= =− .依此定义方程x⊗2−2⊕x=1的解为 ．
3+5 8 32−52 16
8．（2024·河北秦皇岛·一模）输入整数数字，按如下步骤操作，求出结果．
（1）若输入数字为−3，则结果为 ，
（2）若输入一个正整数数字，结果小于0，则这个正整数数字是 （写出一个即可）
9．（2024·广东梅州·一模）已知100克的糖水中含有10克糖，再添加m克糖，溶解后糖水变甜了（即浓度
比例变大）．将这一现象表示为不等式： ．
1
10．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为2，且两根分别为x =1，x = 的一元二次方程为 ．（写
1 2 2
成ax2+bx+c=0的形式）
11．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，
换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，
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则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：20163−2015×2016×2017．解：设2016=x，则原式
．
=x3−(x−1)⋅x(x+1)=x3−x(x2−1)=x=2016
请你利用上述方法解答下列问题：(1)计算：123456789×123456786−123456788×123456787；
(2)已知方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是 ．
12．（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程 的两根之和
a x2+b x+c =0 x +x
1 1 1 1 2
与两根之积， 分别是另一个一元二次方程 的两个根，则一元二次方程
x ⋅x a x2+b x+c =0
1 2 2 2 2
称为一元二次方程 的“再生韦达方程”，一元二次方程
a x2+b x+c =0 a x2+b x+c =0
2 2 2 1 1 1
称为“原生方程”．
a x2+b x+c =0
1 1 1
比如：一元二次方程x2−2x−3=0的两根分别为x =3,x =−1，则x +x =2,x ⋅x =−3，所以它的
1 2 1 2 1 2
“再生韦达方程”为x2+x−6=0．
(1)已知一元二次方程x2−5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”x2+x−30=0，求它的“原生方程”．
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