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实验二 探究弹簧弹力与形变量的关系
1．探究弹簧弹力与形变量的关系。
2．学会用列表法和图像法处理实验数据。
弹簧受到拉力作用会伸长，平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等；弹簧的
伸长量越大，弹力也就越大。
铁架台、弹簧、钩码、刻度尺、坐标纸。
1. 安装实验仪器(如图所示)。
2．测量弹簧的伸长量(或总长)及所受的拉力(或所挂钩码的质量)，列表作出记
录，要尽可能多测几组数据。
3．根据所测数据在坐标纸上描点，以力为纵坐标，以弹簧的伸长量为横坐标。
4．按照在图中所绘点的分布与走向，作出一条平滑的曲线(包括直线)，使尽可
能多的点落在线上，不能落在线上的点均匀分布在线的两侧，离线较远的点舍弃。
5．以弹簧的伸长量为自变量，写出曲线所代表的函数，首先尝试一次函数，如
果不行再考虑二次函数。1．列表法
将测得的F、x填入设计好的表格中，可以发现弹力F与弹簧伸长量x的比值
在误差允许范围内是相等的。
2．图像法
以弹簧伸长量x为横坐标、弹力F为纵坐标建立坐标系，描出F、x各组数据相
应的点，作出的拟合曲线是一条过坐标原点的直线。
1．安装实验装置：要保持刻度尺竖直并靠近弹簧。
2．不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免超过弹簧的
弹性限度。
3．尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据。
4．观察所描点的走向：不要画折线。描点画线时，所描的点不一定都落在一条
直线上，但应注意不在直线上的点要均匀分布在直线的两侧。
5．统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。
1．钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确带来误差。
2．画图时描点及连线不准确也会带来误差。1．弹力的获得：弹簧竖直悬挂，钩码的重力大小等于弹簧的弹力→压力传感器
测弹簧弹力；弹簧水平放置，消除弹簧自重的影响。
2．长度的获得：刻度尺测量→游标卡尺测量。
3．图像的获得：根据测得的数据在坐标纸上作图→由传感器和计算机输入数
据得到图像。
1．将两个弹簧“串联”或“并联”。
2．探究弹簧劲度系数与弹簧长度、“粗细”的关系。
考点1 实验原理与实验操作
例1 如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在
弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系。
(1) 为 完 成 实 验 ， 还 需 要 的 实 验 器 材 有 ：
____________________________________________________________________。
(2)实验中需要测量的物理量有：__________________。(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的Fx图像，由此可求出弹簧的劲度系数
为________N/m。图线不过原点的原因是__________________________。
(4)为完成该实验，设计的实验步骤如下：
A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用
平滑的曲线连接起来；
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l ；
0
C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固
定一把刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码，并分别记下钩码静止
时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；
E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与伸长量的关系式。首先尝试写成一次
函数，如果不行，则考虑二次函数；
F．解释函数表达式中常数的物理意义；
G．整理仪器。
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：________。
尝试解答 (1)毫米刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与
弹簧对应的长度) (3)200 弹簧自身存在重力 (4)CBDAEFG。
(1)根据实验原理可知，还需要毫米刻度尺来测量弹簧原长和形变量。
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与
对应的伸长量(或与弹簧对应的长度)。
(3)取图像中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，代入ΔF＝kΔx可得k＝200 N/m。由于弹簧
自重的原因，使得弹簧不挂钩码时就有形变量。
(4)根据完成实验的合理性可知先后顺序为CBDAEFG。
[变式1] (2020·湖北省三校——荆州中学、宜昌一中、龙泉中学高三上联考)
某实验小组用如图所示的装置测量弹簧的劲度系数 k。每当挂在弹簧下端的钩码
(每个钩码质量m＝50 g)处于静止状态时，用刻度尺测出对应的弹簧长度L(弹簧始
终在弹性限度内)，列表记录如下：所挂钩码个数n 1 2 3 4 5 6
L(cm) 10.18 13.09 14.58 16.08 17.54
(1)表格中第二组数据的弹簧长度如图所示，则弹簧长度为________ cm。
(2)用所学知识尽量精确地计算出弹簧的劲度系数 k＝________ N/m。(g＝9.8
m/s2，结果保留三位有效数字)
答案 (1)11.60(11.58～11.62均正确)
(2)33.1
解析 (1)刻度尺的分度值为0.1 cm，所以弹簧的长度为11.60 cm。
(2)根据逐差法求得每增加一个钩码弹簧伸长的长度平均值为：ΔL＝≈1.48
cm，根据mg＝kΔL可知该弹簧的劲度系数：k＝≈33.1 N/m。
考点2 数据处理与误差分析
例2 (2020·福建省师范大学附属中学高三上学期期中)一个实验小组做“探
究弹簧弹力与弹簧伸长关系”的实验。
(1)甲采用如图a所示装置，质量不计的弹簧下端挂一个小盘，在小盘中增添砝
码，改变弹簧的弹力，实验中作出小盘中砝码重力随弹簧伸长量x变化的图像如
图b所示。(重力加速度g＝10 m/s2)①利用图b中图像，可求得该弹簧的劲度系数为________ N/m。
②利用图b中图像，可求得小盘的质量为________ kg，小盘的质量会导致弹
簧劲度系数的测量结果与真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“相
同”)。
(2)为了制作一个弹簧测力计，乙同学选了A、B两根规格不同的弹簧进行测试，
根据测得的数据绘出如图c所示的图像，为了制作一个量程较大的弹簧测力计，
应选弹簧________(填“A”或“B”)；为了制作一个精确度较高的弹簧测力计，应
选弹簧________(填“A”或“B”)。
尝试解答 (1)①200__②0.1 相同 2)B A。
(1)①由图b中图像可知，弹簧的劲度系数：k＝＝ N/cm＝2 N/cm＝200 N/m。
②由图b中图像可知：mg＝kx ，解得小盘质量：m＝＝ kg＝0.1 kg；应用图像法
1
处理实验数据，小盘的质量不会影响弹簧劲度系数的测量结果，即测量结果与真
实值相同。
(2)由图c可知，弹簧A所受拉力超过4 N则超过弹性限度，弹簧B所受拉力
超过8 N则超过弹性限度，故为了制作一个量程较大的弹簧测力计，应选弹簧B；
由图c可知，在相同拉力作用下，弹簧A的伸长量大，则为了制作一个精确度较高
的弹簧测力计，应选弹簧A。
[变式2] 在“探究弹簧弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中。
(1)某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹簧弹力与弹簧长度的图像
如图所示。下列表述正确的是________。
A．a的原长比b的长
B．a的劲度系数比b的大
C．a的劲度系数比b的小
D．测得的弹簧弹力与弹簧的长度成正比
(2)为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不
同质量的钩码。实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出。作出ml的关系图线。弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留三位有效
数字)。
(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则实验测得的弹簧的劲度系数比
实际劲度系数偏________。
答案 (1)B
(2)图线如图所示 0.255(0.248～0.262均正确)
(3)大
解析 (1)在Fl图像中，图线与l轴交点的横坐标表示弹簧原长，故a的原长比
b的短，A错误；题图图线的斜率表示弹簧的劲度系数，所以a的劲度系数比b的
大，B正确，C错误；由于图像没有通过原点，弹簧的长度等于原长加变化量，弹力
和弹簧的长度不成正比，D错误。
(2)由胡克定律F＝kx得：k＝＝＝g·k ＝0.255 N/m。
斜
(3)因钩码所标数值比实际质量偏大，且所用钩码越多，偏差越大，因此所作出
的ml图线比实际情况下的图线斜率大，测得的劲度系数偏大。
考点3 实验拓展与创新
例3 (2020·安徽省全国示范高中高三10月联考)某同学用如图甲所示装置
测量一轻弹簧的劲度系数，器材如下：
一端有挡板、长为l的光滑木板，一把刻度尺，一个质量为m的重物，一待测轻弹簧。
实验步骤如下：
(1)将木板水平放置，弹簧的左端固定在挡板上；
(2)将重物贴近弹簧右端；
(3)将木板的右端缓慢抬高不同的高度，测出弹簧的长度x 、x ……和此时木板
1 2
右端到水平面的高度h 、h ……。以x为纵轴，________为横轴，作出的图像如图乙
1 2
所示，其图像斜率为K。该弹簧的劲度系数为________，图像纵轴截距的物理意义
是________。
尝试解答 h － 弹簧原长。
设木板与水平面的夹角为θ，弹簧劲度系数为k，原长为x ，根据题意，有：
0
mgsinθ＝k(x －x)，sinθ＝，则：x＝x －h，因此图乙所示图像以h为横轴。又因为K
0 0
＝－，故有：k＝－，图像纵轴的截距的物理意义为x ，即弹簧原长。
0
[变式3] (2020·广东省深圳市学调联盟高三第二次调研)在探究弹力和弹簧
伸长的关系时，某同学先按图1对弹簧甲进行探究，然后把弹簧甲和弹簧乙并联
起来按图2进行探究。在弹性限度内，将质量为m＝50 g的钩码逐个挂在弹簧下端
分别测得图1、图2中弹簧的长度L 、L 如下表所示。
1 2
钩码个数 1 2 3 4
L /cm 30.00 31.04 32.02 33.02
1
L /cm 29.33 29.65 29.97 30.30
2
已知重力加速度g＝9.8 m/s2，要求尽可能多地利用测量数据，计算弹簧甲的劲
度系数 k＝________ N/m(结果保留两位有效数字)。由表中数据________(填
“能”或“不能”)计算出弹簧乙的劲度系数。
答案 49 能
解析 分析图1中，钩码数量和弹簧伸长量的关系为：每增加一个钩码，弹簧
长度的增加量ΔL ＝ cm＝1 cm，所以弹簧甲的劲度系数k ＝＝＝49 N/m。分析图
1 甲2中，每增加一个钩码，弹簧长度的增加量ΔL ＝ cm≈0.3 cm，即k ×0.003 m＋k
2 甲
×0.003 m＝mg，m、g已知，k 已求出，则可以求出弹簧乙的劲度系数。
乙 甲
1．(2018·全国卷Ⅰ)如图a，一弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一托盘；一
标尺由游标和主尺构成，主尺竖直固定在弹簧左边；托盘上方固定有一能与游标
刻度线准确对齐的装置，简化为图中的指针。
现要测量图a中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时，移动游标，使其零刻
度线对准指针，此时标尺读数为1.950 cm；当托盘内放有质量为0.100 kg的砝码时
移动游标，再次使其零刻度线对准指针，标尺示数如图b所示，其读数为________
cm。当地的重力加速度大小为9.80 m/s2，此弹簧的劲度系数为________ N/m(保留
三位有效数字)。
答案 3.775 53.7
解析 游标卡尺精度为0.05 mm，游标卡尺上游标第15条刻度线与主尺刻度
线对齐，根据游标卡尺的读数规则，题图 b 所示的游标卡尺读数为 3.7 cm＋
15×0.05 mm＝3.7 cm＋0.075 cm＝3.775 cm。托盘中放有质量为m＝0.100 kg的砝
码时，弹簧弹力增加F＝mg＝0.100×9.8 N＝0.980 N，弹簧伸长量增加x＝3.775
cm－1.950 cm＝1.825 cm＝0.01825 m，根据胡克定律，F＝kx，解得此弹簧的劲度
系数k＝＝53.7 N/m。
2．(2014·全国卷Ⅱ) 某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系。
实验装置如图a所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P 、P 、P 、P 、P 、P 、P 分
0 1 2 3 4 5 6别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，
可以读出指针的位置，P 指向0刻度。设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为
0
x ；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x。测量及部分计算结果如
0
下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80 m/s2)。已知实验所用弹簧总圈数
为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm。
P P P P P P
1 2 3 4 5 6
x (cm) 2.04 4.06 6.06 8.05 10.03 12.01
0
x(cm) 2.64 5.26 7.81 10.30 12.93 15.41
n 10 20 30 40 50 60
k(N/m) 163 ① 56.0 43.6 33.8 28.8
(m/N) 0.0061 ② 0.0179 0.0229 0.0296 0.0347
(1)将表中数据补充完整：①________，②________。
(2)以n为横坐标，为纵坐标，在图b给出的坐标纸上画出 n的图象。
(3)图b中画出的直线可近似认为通过原点。若从实验中所用的弹簧截取圈数
为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k＝________
N/m；该弹簧的劲度系数 k 与其自由长度 l (单位为 m)的关系的表达式为 k＝
0
________ N/m。答案 (1)①81.7 ②0.0122 (2) n图象如图所示
(3)
解析 (1)由胡克定律有k＝＝ N/m＝81.7 N/m，故有＝0.0122 m/N。
(2)作图过程略，图见答案。
(3)因 n图线是一条过原点的直线，由图可得图线的斜率＝5.71×10－4 m/N，故
有＝5.71×10－4×n m/N，即k＝(N/m)，由题知，n＝60时l ＝11.88 cm，可知n＝l ，
0 0
代入得k＝(N/m)。
3．(2020·四川省德阳市高三二诊)某同学在研究性学习中，利用所学的知识解
决了如下问题：把一开口向右、内壁光滑、深度为h＝0.25 m的小圆筒水平固定在
桌面上，同时把一轻弹簧一端固定于小圆筒内部左端，没有外力作用时弹簧的另
一端位于筒内。如图甲所示，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒外弹簧的
长度l，现要测出弹簧的原长l 和弹簧的劲度系数，该同学通过改变所挂钩码的个
0
数来改变l，作出Fl图线如图乙所示。
(1)由此图线可得出的结论是____________________。
(2)弹簧的劲度系数为________ N/m，弹簧的原长l ＝________ m。
0
(3)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比较，优点在于
________________________。
答案 (1)在弹性限度内，弹力的大小和弹簧的伸长量成正比
(2)100 0.15
(3)可避免弹簧自身所受重力对实验的影响解析 (1)由Fl图像可知，在弹性限度内，弹力的大小和弹簧的伸长量成正比。
(2)弹簧原长为l ，根据胡克定律有：F＝k(h＋l－l )＝kl＋k(h－l )，由此可知，图
0 0 0
线的斜率表示弹簧的劲度系数，故k＝ N/m＝100 N/m；h＝0.25 m，当l＝0时，F＝
10 N，将数据代入解得：l ＝15 cm＝0.15 m。
0
(3)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比较，优点在于可
避免弹簧自身所受重力对实验的影响。
4．(2020·广东省惠州市高三第二次调研)橡皮筋也像弹簧一样，在弹性限度内，
弹力F与伸长量x成正比，即F＝kx，k的值与橡皮筋未受到拉力时的长度L、横截
面积S有关，理论与实践都表明k＝Y，其中Y是一个由材料决定的常数，材料力学
上称之为杨氏模量。
(1)在国际单位制中，杨氏模量Y的单位应该是________。
A．N B.m
C.N/m D.Pa
(2)有一段横截面是圆形的橡皮筋，应用如图甲所示的实验装置可以测量出它
的杨氏模量Y的值。作出橡皮筋受到的拉力F与伸长量x的关系图像，如图乙所示
由图像可求得该橡皮筋的劲度系数 k＝________ N/m。测得橡皮筋未受拉力时的
长度L＝20.00 cm，直径D＝4.000 mm，则这种橡皮筋的Y值等于________。(Y的
计算值保留一位有效数字)
答案 (1)D (2)312.5 5×106 Pa
解析 (1)根据表达式k＝Y得：Y＝，已知k的单位是N/m，L的单位是m，S的
单位是m2，所以Y的单位是N/m2，也就是Pa，故A、B、C错误，D正确。
(2)根据F＝kx可知，图线的斜率表示橡皮筋的劲度系数，由图像可求出该橡皮
筋的劲度系数为：k＝ N/m＝312.5 N/m。根据k＝Y可知：Y＝＝ Pa≈5×106 Pa。
