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第三节 三角函数的图象与性质
核心素养立意下的命题导向
1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、
直观想象和逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π， －1)，，(2π，
1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R xx∈R，且x≠kπ＋，k∈Z
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
在 － ＋ 2kπ ， ＋
在 [2kπ － π ， 2kπ]
2kπ(k∈Z)上是递增函
(k∈Z)上是递增函数， 在－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是递
单调性 数 ， 在 ＋ 2kπ ， ＋
在 [2kπ ， 2kπ ＋ π] 增函数
2kπ(k∈Z)上是递减函
(k∈Z)上是递减函数
数
周 期 是 2kπ(k∈ Z 且 周 期 是 2kπ(k∈ Z 且 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最
周期性
k≠0)，最小正周期是 k≠0)，最小正周期是 小正周期是
对 称 轴 是 x ＝ ＋ 对 称 轴 是 x ＝
对称性 kπ(k∈Z)，对称中心是 kπ(k∈Z)，对称中心是 对称中心是(k∈Z)
(kπ，0)(k∈Z) kπ＋，0(k∈Z)
[澄清盲点误点]
一、关键点练明1．(三角函数的定义域)函数y＝tan 2x的定义域是( )
A. B.
C. D.
答案：D
2．(三角函数的周期性)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.
答案：2
3．(三角函数的奇偶性)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.
解析：由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以
φ＝.
答案：
4．(三角函数的对称性)函数f(x)＝3sin的对称轴为________，对称中心为________．
答案：x＝＋(k∈Z) (k∈Z)
5．(三角函数的单调性)函数y＝tan的单调递增区间为__________________．
答案：(k∈Z)
二、易错点练清
1．(忽视正切函数自身的定义域)函数y＝lg(3tan x－)的定义域为________________．
解析：要使函数y＝lg(3tan x－)有意义，
则3tan x－>0，即tan x>.
所以＋kπ0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于( )
A. B.
C．2 D．3
(2)(2021·深圳模拟)若f(x)＝cos 2x＋acos(＋x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为
________．
[解析] (1)因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝.
(2)f(x)＝cos 2x＋acos＝1－2sin2x－asin x，
令sin x＝t，t∈，则g(t)＝－2t2－at＋1，t∈，
因为f(x)在上单调递增，
所以－≥1，即a≤－4.
[答案] (1)B (2)(－∞，－4][方法技巧]
已知单调区间求参数范围的3种方法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等
子集法
式(组)求解
反子 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个
集法 单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式
性法 (组)求解
[针对训练]
1．已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选C 由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，
则f＝0，所以sin＝0，
解得φ＝，故f(x)＝sin.
令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
2．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0,2]
解析：选A 由0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(
)
A．98π B.π
C.π D．100π
[解析] 由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
[答案] B
[名师微点]
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．
类型(二) 三角函数的单调性与ω的关系
[例2] 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)，
因为f(x)在上单调递减，
所以(k∈Z)，
解得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋<4k＋3(k∈Z)，得0≤k<，所以k＝0.故≤ω≤3.
[答案] D
[名师微点]
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝ sin
ωx(ω>0)，在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．
类型(三) 三角函数的对称性、最值与ω的关系
[例3] (1)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐
标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
[解析] (1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，
令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．
当k＝0时，≤π，即ω≥，
当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.
综上，≤ω≤.
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥；
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤ －2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围为.
[答案] (1) (2)
[名师微点]
解答这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须
知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定
的区间的关系如何．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．(多选)下列关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点
D．f(x)的最大值为2
解析：选AD A中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，故A正确；
B中，当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，故B错误；C中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，
令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故C错误；
D中，∵sin|x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，
当x＝＋kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故D正确．
2．已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数f(x)的最大值为2；
②函数f(x)的图象可由y＝sin的图象平移得到；
③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和．
解：(1)函数f(x)＝Asin满足的条件为①③.
理由如下：
由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数f(x)＝Asin满足的条件之一，
由③可知，T＝π，∴ω＝2，故②不合题意，
∴函数f(x)＝Asin满足的条件为①③.
由①可知A＝2，∴f(x)＝2sin.
(2)∵f(x)＋1＝0，∴sin＝－.
∴2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2x＋＝π＋2kπ(k∈Z)．
即x＝－＋kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)．
又∵x∈[－π，π]，
∴x的取值为－，π，－，，
∴方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为π.
一、基础练——练手感熟练度
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sincos B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选A y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故
B、C、D都不正确，故选A.
2．(多选)关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为
解析：选CD 函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan在区间上单调递增，B错；最
小正周期为，D对；由2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．当k＝0时，x＝，所以它的图象关于对
称，C对．故选C、D.
3．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D．
解析：选D 将y＝cos x位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x
轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
解析：选D y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以y ＝2，y ＝－2.
max min
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，
f(x)＝sin x，则f的值为( )
A．－ B.
C. D.
解析：选D ∵f(x)的最小正周期是π，∴f＝f＝f，∵函数f(x)是偶函数，∴f＝f＝f＝sin ＝.故
选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝2|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
解析：选D A选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A；B选项，函数在上单调递
增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.
2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.C. D.
解析：选A 由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ－(k∈Z)，取k＝0，得|φ|的最小值为.
3．同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x
解析：选D 由题意知所求函数的周期为π，且图象关于直线x＝对称．
A．f(x)＝cos 2x的周期为π，f＝0不是函数的最值，∴其图象不关于直线x＝对称．
B．f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于直线x＝对称．
C．f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．
D．f(x)＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，∴D满足条件．故选D.
4．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D 由题意得f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.因为函数f(x)为奇函数，所以θ＋
＝kπ(k∈Z)，故θ＝－＋kπ(k∈Z)．当θ＝－时，f(x)＝2sin 2x，在上为增函数，不合题意；当θ
＝时，f(x)＝－2sin 2x，在上为减函数，符合题意，故选D.
5．(2021·惠州模拟)已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中 ω为常数，且
ω∈(1,3)．若对任意的实数x，总有f(x)≤f(x)≤f(x)，则|x－x|的最小值是( )
1 2 1 2
A．1 B．
C．2 D．π
解析：选B 因为函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，所以ω＝
3k－1(k∈Z)，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x－x|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.
1 2
6．(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上为单调函数，则下
述四个结论中正确的是( )
A．满足条件的ω取值有2个
B.为函数f(x)的一个对称中心
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在(0，π)上有一个极大值点和一个极小值点
解析：选ABC 因为函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝对称，所以ω＝＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝>0(k∈Z)，
又f(x)在上为单调函数，所以≤，即ω≤2，
所以ω＝或ω＝2，即f(x)＝sinx或f(x)＝sin 2x，
所以总有f＝0，故A、B正确；
由f(x)＝sinx或f(x)＝sin 2x图象知，f(x)在上单调递增，故C正确；
当x∈(0，π)时，f(x)＝sinx只有一个极大值点，不符合题意，故D不正确．故选A、B、C.
7．函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最大值是________，最小值是________．
解析：令t＝sin x＋cos x，
则t∈[－，]．
∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，
∴sin xcos x＝，
∴y＝t2＋t－，t∈[－， ]，
∵对称轴t＝－∈[－， ]，
∴y ＝f＝×－－＝－，
min
y ＝f()＝＋.
max
故函数的最大值与最小值分别为＋，－.
答案：＋ －
8．(2021年1月新高考八省联考卷)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.
解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基
础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝⇒f(x)＝sin πx.
答案：sin πx
9．(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
解析：由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝ sin(－x)
＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．
因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
③为真命题．当sin x<0时，f(x)<0，所以④为假命题．综上，所有真命题的序号是②③.
答案：②③
10．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为
________．
解析：f(x)＝cos(2x＋θ)，
当x∈时，－π＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，
由函数f(x)在上是增函数，
得(k∈Z)，
则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．
又0≤θ≤，∴0≤θ≤.∵f＝cos，又≤θ＋≤π，
∴f ＝0，∴m≥0.
max
答案：[0，＋∞)
11．若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：因为函数y＝sin ωx在区间上单调递减，
所以ω＜0且函数y＝sin(－ωx)在区间上单调递增，
则
即解得－4≤ω＜0.
答案：[－4,0)
12．已知函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：
①函数f(x)的图象关于直线x＝对称；
②函数f(x)在区间上单调递增；
③函数f(x)的最小正周期为π；
④函数f(x)的值域为[－2,2]．
其中是真命题的序号是________．
解析：对于函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，
由于f＝－2，f＝0，
所以f≠f，
故f(x)的图象不关于直线x＝对称，故排除①.
在区间上，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x，2x∈，此时函数f(x)单调递增，故②正确．
函数f＝，f＝0.
所以f≠f，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．
当cos x≥0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin xcos x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值为2，
最小值为－2；
当cos x<0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝－2sin xcos x＋sin 2x＝0.
综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故④正确．
答案：②④
13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，即ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，
因为0<φ<，所以φ＝.
(2)当f(x)的图象过点时，sin＝，
即sin＝.
又因为0<φ<，所以<＋φ<π.所以＋φ＝，即φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
14．在①函数f(x)的图象关于点对称；②函数f(x)在上的最小值为；③函数f(x)的图象关于直
线x＝对称．在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，再解答这个问题．
已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，若满足条件________与________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f，求g(x)的单调区间．
解：(1)选①②.
∵为f(x)的对称中心，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴f(x) ＝－＋b＝，∴b＝1，
min
∴f(x)＝sin＋1.
选②③.
∵x＝为f(x)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴f(x) ＝－＋b＝，∴b＝1，
min
∴f(x)＝sin＋1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋1，
则g(x)＝f＝sin＋1
＝－sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递减区间为，k∈Z.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
