文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 02 求最值中的几何模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
模型01 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能
力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；
②两点之间，线段最短； ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之
和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清
晰的认识.
模型02 建桥选址模型
建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含
有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用
勾股定理求解的方法.该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平
行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径.
模型03 胡不归模型
胡不归PA+k·PB”型的最值问题：当k等于1时，即为“PA+PB”之和最短问题，可用我们常见的“将
军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.当k不等于1时，若再以常规的轴对称思想来
解决问题，则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分
为两类研究.即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题.
模型01 将军饮马模型
考｜向｜预｜测
将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在
各类考试中都以中高档题为主.本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和
性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数
学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移
第二步： 同侧做对称点变异侧，异侧直接连线
第三步： 结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点
第四步： 利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型
（1）点A、B在直线m两侧
A A
两点连线，线段最短
m m
P
B B
例1．（2023·四川）如图，等边三角形 的边 上的高为6， 是 边上的中线，M是线段 上
的-一个动点，E是 中点，则 的最小值为 ．
【答案】6
【详解】解：连接BE，与AD交于点M．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则BE就是EM+CM的最小值．
∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线
∴BE=AD=6，
∴EM+CM的最小值为6，
故答案为：6．
（2）点A、B在直线同侧
A
B
m
A P
B
m A'
例2.（2022·安徽）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，
Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．3
【答案】D
【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），
∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当AP＋PE＝AH时最小，在Rt ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，
△
∴AH＝ ，∴AP＋PQ的最小为 ，
故选：D．
模型02 建桥选址模型
考｜向｜预｜测
建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主
要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用
“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即
用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平
行四边形的相关知识进行转化．
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；
第二步： 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，
点的横、纵坐标的变化规律等）
第三步： 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变
化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵
坐标相等；
第四步： 利用有理数的运算解题
（1）两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
A
A
m
m
P' P
n n
Q' Q
B B
例1．（2022·湖北）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边
△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．求PD+PQ+QE的最小值为
△
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
．
【答案】4．
【详解】如图，连接 ，
和 都是等边三角形， ， ，
， 垂直平分 ， ，
同理可得： 垂直平分 ， ， ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值 ，
故 的最小值为4．
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值
为AB’.
A
m
A
m P
B
B n
Q
n B'
例2．（2023·山东）如图，在 中， ， ， ，直线 是 中 边的垂直平分
线， 是直线 上的一动点，则 的周长的最小值为_________．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【详解】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则
PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
A'
m
A
m
P
A
B
Q
B n
n B'
例3．（2023.浙江）如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．点P、Q分别是OA、OB
上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 ．
【答案】4
【详解】解：如图，作点N关于OA的对称点N′，则NP＝N′P，
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
作点M关于OB的对称点M′，则MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，
当N′M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，
∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°则∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，
∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，
∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，
先作射线ON'与射线ON关于OA对称，由对称的性质可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，
同理作射线OM'与射线OM关于OB对称，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，
当N'、P、Q、M'四点共线时，MQ+PQ+NP最小，
则∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，
作N'垂直OM'的延长线交于点E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，
在Rt N'OE中，∠EN'O＝30°，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE＝2，
则EN△'＝2 ，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，
则N′M＝ ＝ ＝4 ．故答案为：4 ．
模型03 胡不归模型
考｜向｜预｜测
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中
常以压轴题的形式考查，学生不易把握.本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便
掌握.在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短.
答｜题｜技｜巧
第一步： 构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；
第二步： 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；
第三步： 利用“垂线段最短”原理构造最短距离；
第四步： 数形结合解题
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例1．（2023·江苏）如图， 中， ， ， ，P为边 上一动点，则
的最小值等于 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵ ，∴∠EDP=∠DAB=45°，∴ ，∴ ，∴
，
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵ ，∴ ，
故答案为： ．
1．（2023·江苏扬州）如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用 表示）饮马，再去同侧的D地
开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你
认为符合要求的图形是（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由选项D中图可知：
作 点关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，
由对称性可知， ，
，
当 、 、 三点共线时， 的距离最短，
故选：D
2．（2023.浙江）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边
上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF= .
【答案】∠ECF＝30º
【详解】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝ ∠ACB＝30º.
故答案为30°
3．（2022·安徽）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找
一点N，使 PMN周长最小，则此时 PMN的周长为 ．
△ △
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】5
【详解】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接
MP，NP，OC，OD，∴CM＝MP，NP＝DN，
∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，∴当C、M、N、D点共线时， PMN的周长最小，
∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等边△三角形，∴CD＝OP，
∵P（5，0），∴OP＝5，∴CD＝5，∴△PMN的周长最小值为5，
故答案为：5．
4．（2023·广东）如图，在 中， ， ， ， ， 是 的平
分线，若点 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，
∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
∵ ，
∴CM= ，即PC+PQ的最小值为 ，
故答案为 ．
5．（2023·江苏）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线 的距离分别为
， ， ．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距
离之和最小，则这个最短距离为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示：作A点关于直线 的对称点 ，再连接 ，交直线 于点P，
则此时 最小，过点B作 交延长线于点E，
∵ ， ， ．
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中，
，
则 的最小值为 ．
故答案为： ．
6．（2023·浙江）已知点P是 ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫 ABC的
费马点（Fermat point）．已经△证明：在三个内角均小于120°的 ABC中，当∠APB=∠APC=∠B△PC=120°
△
时，P就是 ABC的费马点．若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=（
△
）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【详解】解：如图：等腰Rt DEF中，DE=DF= ，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作
△
∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cos30°= ，解得：PE=PF= = ，则PM= ，故DP=1
﹣ ，则PD+PE+PF=2× +1﹣ = ．
故选B．
7．（2023·浙江）如图，平行四边形 中， ， ， ，P为边CD上的一动点，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：延长 ，过点B作 交 于点P，
∵四边形 为平行四边形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，则 ，则 ，
同理可得： ，∴ ，
∴当点E、P、B在同一条直线上时， 的值最小，
∵ ，∴ ．
故选：A．
8．（2023·四川）如图，在 中， ，若D是 边上的动点，则
的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，如图
所示：
在 中， ，∴ ，∵ ＝ ，
∴当A，D，F在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ，∴ 是等边三角形，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 的最小值为12，
故选：D．
9．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点 ，使得 的值最小．解法：如图1，作A点关于直
线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点即为 ，且 的最小值为 ．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2， 中， ， ， 是 的中点， 是 边上的一动点，则
的最小值为 ；
(2)几何拓展：如图3， 中， ， ，若在 、 上各取一点 、 使 的值
最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【答案】(1)
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2) ，图和理由见解析
【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于 的对称点 ，连接 交 于P，此时 的值最小．
连接 ，
由勾股定理得， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ．
故答案为： ；
（2）解：如图3，作点C关于直线 的对称点 ，作 于N，交 于M，连接 ，
则 ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ 的最小值为 ．
10．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．
问题提出：
(1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接 与 ，使
的值最小．
问题探究：
(2)如图2所示，正方形 的边长为2，E为 的中点，P是 上一动点．连接 和 ，则
的最小值是___________；
问题解决：
(3)某地有一如图3所示的三角形空地 ，已知 ，P是 内一点，连接 后测得
米，现当地政府欲在三角形空地 中修一个三角形花坛 ，点 分别是 边上的
任意一点（不与各边顶点重合），求 周长的最小值．
【答案】(1)见解析
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
(3)
【详解】（1）解：如图所示，当P点在如图所示的位置时， 的值最小；
（2）解：如下图所示，
∵四边形 是正方形，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
由题意易得： ，
当D、P、E共线时，在 中，根据勾股定理得， ．
（3）解：如下图所示，分别作点P关于 ， 的对称点 ，连接 ， 交 ，
于点 ，连接 ，此时 周长的最小值等于 ．
由轴对称性质可得， ，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
在 中，
即 周长的最小值等于 ．
1．（2023·山东）如图，已知点 ， ， ， ， 为直线 上一动点，则
的对角线 的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【详解】解：连接 ，设 交于点 ，如图所示，
∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，∵ ， ∴ ，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴当 取得最小值时， 取得最小值，∴当 时， 取得最小值，
∵ ， ，∴ ， ,∴ 是等腰直角三角形，
∴此时 是直角三角形，且 是斜边，
∵ ,∴ ，∴ 的对角线 的最小值是 ，
故选：A．
2．（2023·上虞市）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上
的动点，若 PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
△
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=
∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即 OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．
△
3．（2023·山东）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F为 边上的一
个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（
）
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝ ，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝ ，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝ ，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝ ，
故选B．
4．（2023·四川）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝
120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，
此时PM+PC最小，连接CP，
∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A关于BD对称，∴AP=PC，
∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，
∵M是BC的中点，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，
∴AM= ，∴PM+PC=AM= ．
故选B．
5．（2023·湖北）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在
线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ．
【答案】18
【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，
∵ PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得 PMB周长最小，即使得PM+PB最小，
△ △
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，
此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴ PMB周长最小值即为BC+BM，
此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线△于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，
由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵ ，
，
∴ ，即： ，∴ ，解得：AB=14，
∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴ PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，
故答案为：18． △
6．（2023·北京）如图， 是 内一定点，点 ， 分别在边 ， 上运动，若 ，
，则 的周长的最小值为 .
【答案】3
【详解】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点
时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
7．（2023·广东）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重
合），则 AP+PD的最小值为_____．
【答案】3
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝ AP;
∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝ AD＝ ×6＝3;∴DF＝3 ;
∵ AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴ AP+PD的最小值为3 .
故答案为：3 .
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2023·广东）如图，在 中， ， ， . ， 分别是边 ， 上的
动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图，作 ，连接 ，过B点作 的延长线与G点，
，且 ， ，
， ．
，∴当B、E、F三点共线时， ，此时 的值最小，为 ．
， ．又 ， ，∴四边形 是矩形，
， ， ，
．
故答案为：
9．（2023·内蒙古）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，
则MA+MB+MD的最小值是________．
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，
∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形，
∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为8，∴DE= ，
∴2DE=8 ．∴MA+MB+MD的最小值是8 ．
故答案为：8 ．
10．（2023·浙江）如图，河的两岸有 ， 两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥 （河
的两岸互相平行， 垂直于河岸），现测得 ， 两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且 ，
两点之间的水平距离为12米，则 的最小值是 米．
【答案】18
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】作 垂直于河岸，使 等于河宽，连接 ，与靠近A的河岸相交于M，作 垂直于另一条
河岸， 过点A作 交 的延长线于点C，
则 且 ，于是 为平行四边形，故 ，
当 时， 最小，也就是 最短，
∵ （米）， （米）， （米）
∴在 中， （米），
∴ 的最小值为： （米）
故答案为：18 ．
11．（2023·广东）如图所示，已知O为坐标原点，矩形 （点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别
在x轴、y轴上，且点C的坐标为 ，连接 ，将 沿直线 翻折至 ，交 于点E．
(1)求点 坐标．
(2)试在x轴上找点P，使 的长度最短，请求出这个最短距离．
【答案】(1) ；
(2) 的长度的最短距离为 ．
【详解】（1） 点 的坐标为 ，
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，
连接 ，与 交于点 ，过 作 于点 ，
由折叠知， ， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
即 ，
解得， ，即 ，
，
；
（2）作 点关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，则 的值最小，
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
故 的长度的最短距离为 ．
12．（2023·吉林）数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC的底边BC与直线l重合．
ABC AB AC 4,BAC 120 P BC l
（1）如图(1)，在 中， ，点 在边 所在的直线 上移动，根据“直线外
一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP的最小值是____________．
（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP最短时，如图(2)，在ABP中，作AD平
分BAP,交BP于点D,点E、F分别是边AD、AP上的动点，连结PE、EF,小致尝试探索PEEF的最小
值，小致在AB上截取AN,使得AN AF,连结NE,易证VAEF≌VAEN ，从而将PEEF转化为PEEN,
转化到（1）的情况，则PEEF的最小值为 ；
ABC ACB90,B30o,AC 6 D CB AD,
（3）解决问题：如图(3)，在 中， ，点 是边 上的动点，连结
将线段AD绕点A顺时针旋转60，得到线段AP,连结CP，求线段CP的最小值．
3
【答案】（1）2；（2） ；（3）3．
【详解】（1）如图，过点A作APBC，此时AP的值最小．
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
∵ ， ，AP AB2，故答案为：2．
AB AC 4,BAC 120 ABC 30 2
（2）根据小致的思路作出图形，可知当PN AB时PEEF的值最小，如图：
1 1 1
∵ ，AP AB2，∴ ，∵ BPAP ABPN ，∴ ，故答案为： ．
ABC 30 2 BP2 3 2 2 PN 3 3
（3）如图3中，在AB上取一点K，使得AK AC，连接CK ，DK．
ACB90，B30，CAK 60，PADCAK ，PACDAK，
PADA，CAKA，△PAC≌△DAK(SAS)，PCDK，
KDBC时，KD的值最小，最小值为3，PC的最小值为3．
13．（2023·河南）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”
诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请
问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从 出发向河岸引垂线，垂足为 ，在 的延长线上，取 关于河岸的对称点 ，
连接 ，与河岸线相交于 ，则 点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到 ，饮马之后，
再由 沿直线走到 ，所走的路程就是最短的．
(1)观察发现
如图2，在等腰梯形 中， ，点 、 是底边 与 的中点，连接
，在线段 上找一点 ，使 最短．
作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点 ，故
的最小值为_______．
(2)实践运用
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图3，已知 的直径 ，点A在圆上，且 的度数为 ，点 是弧 的中点，点 在直径
上运动，求 的最小值．
(3)拓展迁移
如图，已知抛物线 的对称轴为 ，且抛物线经过 两点，与 轴
交于另一点 ．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线 上找到一点 ，使 周长最小，请求出此时点 的坐标与 周
长最小值．
【答案】(1)
(2) 的最小值为
(3)① ；②点M的坐标为 ； 周长的最小值为
【详解】（1）解：过点A作 于点M，作 于点N，如图所示：
则 ，
∵四边形 为等腰梯形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
（2）解：取点A关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ， 与 交于点 ，当点P
在点 时， 最小，且最小值为 ，如图所示：
∵A关于 的对称点 ， 为直径，
∴点 在 上，
∵ ，
∴ ，
∵点A关于 的对称点 ，
∴ ，
∵点 是弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴ ，
∴ ，
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即 的最小值为 ．
（3）解：①∵抛物线 的对称轴为 ，且抛物线经过 ，
∴抛物线与x轴的另外一个交点B的坐标为： ，
∴抛物线的解析式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
②连接 交直线 于一点，该点即为点M，连接 ， ，如图所示：
∵点A、B关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴ 最小，即 最小，
∵ 为定值，
∴此时 的周长最小，
∵ ， ，
∴ 周长的最小值为 ；
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
把 代入得： ，
∴点M的坐标为 ．
33
