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专题 04 点圆模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力.该题
型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点.
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本专题就动点轨
迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.
模型01 定义型
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆.
模型02 直径所对的角为直角（直角模型）
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧.
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P
P P
A B
O
模型03 等弦对等角模型
一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧.
P
P
P
A B
模型01 定义型
考｜向｜预｜测
点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，
难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，
结合圆和其它几何的相关知识点进行解题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据题意判定动点的变化特性
第二步： 找准定点和定长（圆心和半径）
第三步： 结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题
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例1．（2022·广西）如图，在△ABC中， ， ， ，点D在AC边上，且 ，
动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
例2．（2022·北京）如图，在 中， ， ， ，点 是边 的中点，
将 绕点C逆时针方向旋转得到 ，点 是边 上的一动点，则 长度的最大值与最小值的
差为 ．
模型02 直角模型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主
要考查对圆性质的的理解.实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键.
许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形
问题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；
第二步： 利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；
第三步： 涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等
相关知识点；
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第四步： 数形结合进行分析、解答
例1．（2021·山东）如图，在正方形ABCD中， ，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE
和AF交于点G，连接BG．若 ，则BG的最小值为__________．
例 2．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 是第一象限内的一个动点并且使
，点 ，则 的最小值为 ．
模型03 等弦对等角
考｜向｜预｜测
点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以
压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度.
该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与
半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的
判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属
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于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察图形特点，确定定弦和定角；
第二步： 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
第三步： 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
例1．（2022·江苏）如图，已知正方形 的边长为2，若动点E满足 ，则线段 长的最
大值为 ．
例2．（2023·重庆）如图，在边长为 6的等边 中，点 ， 分别是边 ， 上的动点，且
，连接 ， 交于点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
1. （2023·广东）如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M为线段
上一点． ，则 的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
2. （2023·湖南）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将
△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B． +1 C．2 ﹣2 D．3
3．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点
B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝
6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
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5．（2023·云南）如图，在Rt ABC中， ， ，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，
△
连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
6．（2023·贵州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段
EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+ CG的最小值为 ．
7．（2022•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内
一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为 ．
8．（2023·贵阳）如图，矩形 中， ， ，点 ， 分别是 ， 边上的两个动点，
且 ，点 为 的中点，点 为 边上一动点，连接 、 ，则 的最小值为
．
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9．（2023·安徽）等腰直角 中， ， ，点 是平面内一点， ，连接 ，将
绕 点逆时针旋转 得到 ，连接 ，当 填度数 度时， 可以取最大值，最
大值等于 ．
10．（2023·广西）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC边上的点，且AC＝CD＝
3，连接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．
（1）当∠B＝22.5°时，求证：CD平分∠ACB；
（2）当CD＝BD时，求 的值；
（3）如图②，若点F是线段AC上一点，且AF＝1，连接DF，EF，EF交CD于点G，求△DEF面积的最
大值．
1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接
AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
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A．2 B． C．3 D．
2．如图，正方形 的边长是4，点 是 边上一动点，连接 ，过点 作 于点 ，点
是 边上另一动点，则 的最小值为
A．5 B． C．6 D．
3．如图，在Rt 和Rt 中， ， ，AB=AE=5．连接BD，CE，将
△ 绕点A旋转一周，在旋转的过程中当 最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
4．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一
点E，使∠DAC△＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（ ）
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A．2 ﹣3 B． C． ﹣2 D．
5．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是
（ ）
A． B． C．6 D．
6．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝
∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 ．
7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点
F，连接CF，则∠AFB＝ ，CF的最小值是 ．
8．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一
点，连接EF，将△△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 ．
9．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝ AD，N是AB边上的
一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是 ．
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10.如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连接
，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为
．
11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动
的路径长为 ．
12．如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满足
，连接 ，则线段 长的最小值为 ．
13．（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可
以使问题变得非常容易．
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例如：如图1，在 中， ， ， 是 外一点，且 ，求 的度
数，若以点 为圆心， 为半径作辅助圆 ，则点 、 必在 上， 是 的圆心角，而
是圆周角，从而可容易得到 ．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形 中， ， ，求 的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的： 的外接圆就是以
的中点为圆心， 长为半径的圆； 的外接圆也是以 的中点为圆心， 长为半径的圆．这
样 、 、 、 四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出 的度数，请运用小刚的思
路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在 中， ， 是 边上的高，且 ， ，求 的长．
12
