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压轴题解题模板 03
几何背景下的线段最值问题
目 录
题型一 垂线段最短问题
题型二 将军饮马问题
题型三 旋转最值问题
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题型解读： 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的
考查热度.
线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的
形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查
考试热度
垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用
到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理 60%
和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、 50%
转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题： 40%
①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费 30%
马点”问题；④点到直线的距离最值问题等. 20%
10%
0%
题型1 题型2 题型3
题型一 垂线段最短问题
解题模板：
技巧精讲：垂线段最短模型
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【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分
别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝
5，则DE的最小值等于（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【变式1-2】如图,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以
PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是( ）
√3 3
A. B.1 C. √2 D.
2 2
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题型二 将军饮马问题
解题模板：
技巧精讲：
1、“将军饮马”模型
2、线段差最大值问题模型：
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【例2】（德州中考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一
个动点，则EM+CM的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（菏泽中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点
CF＝BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，
F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若 CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面
积为（ ） △
A．78 B．39 C．42 D．30
【变式2-3】已知点P在 内．
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(1)如图①，点P关于射线 的对称点分别是G、H，连接 ．
①若 ，则 是什么特殊三角形？为什么？
②若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若 ， A、B分别是射线 上的点， 于点B，点P、Q分别为
上的两个定点，且 ， ，在 上有一动点E，试求 的最小值．
【变式2-4】（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形 中， ，点P在对角线
上，过点P作 ，交边 于点M，N，过点M作 交 于点E，连接
．下列结论：① ；②四边形 的面积不变；③当 时，
；④ 的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
题型三 旋转最值问题
解题模板：
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技巧精讲：旋转求最值模型
【例3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动
点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是
．
【变式3-1】如图，在 中， ，P是 内一点，求 的最小
值为 ．
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【变式3-2】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则
MA＋MD＋ME的最小值为 ．
【变式3-3】如图，正方形 的边长为4，点 是正方形内部一点，求 的最小值．
一、单选题
1．如图， 的面积为12， ， 与 交于点O．分别过点C，D作 ， 的平行
线相交于点F，点G是 的中点，点P是四边形 边上的动点，则 的最小值是（ ）
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A．1 B． C． D．3
2．已知在 中， ， ．点 为边 上的动点，点 为边 上的动点，
则线段 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，
则点P到BC的距离是 cm．
4．如图，在 中， ．P为边 上一动点，作 于点D， 于点
E，则 的最小值为 ．
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5．如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：①在 和 上分别
截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在
内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一个动点，连接 ，则
的最小值是 ．
6．菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的动点， 的最小值为
．
7．如图，在 中， ， ，点 在直线 上， ，点 为 上一动
点，连接 ， ．
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（Ⅰ）使 取最小值的动点 的位置在点 的 侧.（填“左”或“右”）．
（Ⅱ）当 的值最小时，请直接写出 的度数. ．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为 ．点B的坐标为 ，
点C的坐标为 ．
(1)作出 关于y轴对称的 ，其中 ， ， 分别是A，B，C的对应点；
(2)写出 的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得 的值最小．（保留作图痕迹）
9．如图1：正方形 的边长为3，E是直线 上一动点，连接 ，在 的右侧以C为直角顶点作
等腰直角三角形 ，连接 ， ．
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(1)当点E在线段 上运动时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)当 时，求 的长．
(3)如图2，连接BF，则 的最小值为______．
10．
中， ．
(1)如图1，若 ， 平分 交 于点 ，且 ．证明： ；
(2)如图2，若 ，取 中点 ，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 并延长至 ，使
，猜想线段 、 、 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若 ， 为平面内一点，将 沿直线 翻折至 ，当 取得
最小值时，直接写出 的值．
11．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求 最小值
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12．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB= ；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求 的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
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