专题29最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_答案解析版

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 模型1、运动轨迹为直线 1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ A A Q Q B P C B P N M C 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN 始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始 位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线； ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； ⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为 其他已知轨迹的线段求最值。 例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一 点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定 当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解． 【详解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM， 在△BMH和△CMG中， ，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG， ∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH， ∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值， ∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8， ∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键． 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点． 连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ， 连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，进而求得 ，即可求解． 【详解】解：∵ 为高 上的动点．∴ ∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为 的等边三角形， ∴ ∴ ∴ ，∴ 点在射线 上运动，如图所示， 作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则 在 中， ，则 ， 则当 三点共线时， 取得最小值，即 ∵ ， ， ∴ ∴ 在 中， , ∴ 周长的最小值为 ，故答案为： ． 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定， 勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 例3．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，点E在 线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接 DF，则线段DF长度的最小值为______． 【答案】 【分析】以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．利用全等三 角形的性质证明∠AGF＝60°，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可． 【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°， ∵△ABG是等边三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA， ∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°， ∴点F在平行于AB的射线GH上运动， ∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等边三角形， ∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4， ∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH•sin60° ， 根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点 F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题． 例4．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F 为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可 得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝ ，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝ ，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝ ，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴CG的最小值＝ ，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 例5．（2023·陕西·西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变 量t的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？ 一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为 ， 将点 代入得： ，整理得 ∵t为任意实数，等式恒成立，∴ ， ∴ ， ∴这条直线的函数表达式为 请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是直 线l，求直线l的函数表达式． 问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知 ， ，且 ， ，则点C 的坐标为_________． 结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是直线 上的一个动点，连接 ，过点P作 ，且 ，连接 ，求线段 的最小值． 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1)直线l的函数表达式为 ;(2)点C（-7，3）；(3)OQ′最小值为 ． 【分析】（1）利用待定系数法将点P代入解析式，利用恒等性质得出 ， ，求出直线解析 式即可；（2）设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，证明△CAE≌△ABF （AAS）得出CE=AF，EA=FB，根据点B（5，9）点A（2，0）求出点F（5，0）即可； （3）过Q作QG⊥x轴于G，过Q′作Q′H⊥x轴于H，先证 QPG≌ PQ′H（AAS），设Q（a， ）分三 △ △ 种情况，当a≤1时，点Q′（ ，1 - a）OQ′= ，当1≤a≤4，点Q′（ ，1-a），OQ′= ，当a≥4时，点Q′（ ，1-a）OQ′= ，求出每种情况的最小值，然后比较大小即可． 【解析】(1)解：设这条直线的函数表达式为 ，将点 代入得： ，整 理得 ，∵t为任意实数，等式恒成立，∴ ， ， ∴ ， ，∴这条直线的函数表达式为 ， ∴随着变量t的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l， 直线l的函数表达式为 ． (2)解:设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，∴∠ECA+∠CAE=90°， ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE+∠FAB=90°，∴∠ECA=∠FAB， 在△CAE和△ABF中， ，∴△CAE≌△ABF（AAS），∴CE=AF，EA=FB， ∵点B（5，9）点A（2，0），∴点F（5，0）∴n=5-2=3;2-m=9,∴m=-7,∴点C（-7，3）； 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (3)解：过Q作QG⊥x轴于G，过Q′作Q′H⊥x轴于H， ∵∠QPQ′=90°，∠QGP=∠Q′HP=90°，∴∠QPG+∠Q′PH=90°，∠Q′PH+∠HQ′P=90°，∴∠QPG=∠HQ′P， 在△QPG和△PQ′H中， ，∴△QPG≌△PQ′H（AAS），∴PG=Q′H，QG=PH， ∵Q是直线 上的一个动点，设Q（a， ）， 当a≤1时，∴QG=PH= ，PG= QH=1 - a，∴点Q′（ ，1 - a）， ∵OQ′= ， ∵ 时，OQ′随a的增大而减小，当a=1时最小OQ′= ， 当1≤a≤4，∴QG=PH= ，PG= QH= a-1，∴点Q′（ ，1-a）， ∵OQ′= ，∵ ，a=2时，OQ′ = ， 最小 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当a≥4时，∴QG=PH= ，PG= QH= a-1，∴点Q′（ ，1-a）， ∵OQ′= ，∵ ，a＞2时，OQ′随a的增大而增大， a=4时，OQ′ = ， ∵ ＞3＞ ，∴OQ′最小值为 ． 最小 【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最 值，分类思想的运用，掌握待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理， 函数的最值，分类思想的运用是解题关键． 例6．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形 中， ，E、F分别是边 上的动点， 连接 ，G、H分别为 的中点，连接 ．若 的最小值为3，则 的长为__________． 【答案】 【分析】连接 ，利用中位线的性质 ，要使 最小，只要 最小，当 时， 最 小为6，由 确定 为等腰直角三角形，得出 ，由勾股定理得： 求出 即可． 【详解】解：连接 ，∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，且 ， 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 要使 最小，只要 最小，当 时， 最小， ∵ 的最小值为3，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵四边形 是菱形，∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握 中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键． 例7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在 中， ．P为边 上一动点， 作 于点D， 于点E，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出 方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴ ， ∵ 于点D， 于点E， ，∴四边形 是矩形，∴ ， 由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，此时线段 的值最小， 此时， ，代入数据： ， ∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 时，线段 的 值最小是解题的关键． 例8．（2023·安徽合肥·校考一模）如图， 中， ， ，点D是边 上一动 点，以点A为旋转中心，将 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ，则 的长的最小值为 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】在 上取一点K，使得 ，连接 ， ，然后证明出 ，然后根据 垂线段最短得到当 时， 的值最小，最后利用 角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，在 上取一点K，使得 ，连接 ， ， 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ，∴ ， ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ，∴ ，∴当 时， 的值最小， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ．∴ 的长的最小值为 ．故选A 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，垂线段最短， 角直角三角形的性质等知识，解题的关 键是熟练掌握以上知识点． 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 课后专项训练 1．（2021·四川广元·中考真题）如图，在 中， ， ，点D是 边的中点， 点P是 边上一个动点，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．则 的最小 值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得 △PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为 CQ⊥QE时，最后问题可求解． 【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示： ∵ 是等边三角形，∴ ， ∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS）， 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ，点D是 边的中点， ∴∠PCD=∠QED=90°， ，∴点Q是在QE所在直线上运动， ∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴ ，∴ ；故选B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角 形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键． 2．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形 中， ， ，E为 上一点．且 ，F为 边上的一个动点．连接 ，将 绕着点E顺时针旋转 到 的位置，其中点 B、点F的对应点分别为点H、点G，连接 和 ，则 的最小值为（ ）． A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】如图，将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于J．首先证明 ， 推出点G的在射线 上运动，推出当 时， 的值最小，证明四边形 是矩形，进一步推出 ，则 ，即可得到 的最小值为 ． 【详解】解：如图，将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于J． ∵四边形 是矩形，∴ ， ∵ ，∴ ， 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴ ，∴ ， ∴点G的在射线 上运动，∴当 时， 的值最小， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是矩形， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ．故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 3.（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形 的边长为4，点 是正方形对角线 所在 直线上的一个动点，连接 ，以 为斜边作等腰 （点 ， ， 按逆时针排序），则 长的 最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和题干给定的 是以 为斜边作等腰直角三角形，证明 ， 得到 进一步证明 ，得到 ，由正方形的性质得点H为 的中点，有点F在 的垂直平分线 上运动，当点F与点H重合时， 的值最小． 【详解】解：连接 交 于点G，连接 并延长交 于点H，如图， 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形 是正方形，∴ ， ， ， ∵ 是以 为斜边作等腰直角三角形，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，则 ，∴ ， ∵点G为正方形 对角线的交点，∴点H为 的中点，∴点F在 的垂直平分线 上运动， ∵ ，∴当点F与点H重合时， 的值最小，此时 ． 即 长的最小值为2．故答案选：D． 【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，利用相 似的边长比证明对应三角形边长的相似比，并找到点的运动轨迹是解题的关键． 4．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在 中， ，且 ，点D 是斜边 上的一个动点，过点D分别作 于点M， 于点N，连接 ，点O为 的 中点，则线段 的最小值为（ ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理求出 的长，再证明四边形 是矩形，可得 ，根据垂线段最短可得当 时， 的值最小，再利用三角形面积求出 ，可得 ，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接 ， 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，且 ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 当 时， 的值最小， 此时， ， ， 的最小值为 ，故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对 角线相等． 5．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，连结 ， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为（ ） A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接 ，作 于点 H．由三角形中位线的性质得 ，由垂线段最短可知当 最小，即点E与点H重合时 的值最 小，然后利用勾股定理求出 的长即可． 【详解】解：连接 ，作 于点H． 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点 ， 分别是 ， 边上的动点，∴ 是 的中位线，∴ ， ∴当 最小，即点E与点H重合时 的值最小．设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为4.8．故选D． 6．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为4， ，点E是直线 上一个动点，连接 ，线段 绕点B顺时针旋转 得到 ，则线段 长度的最小值等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 ，在 上截取 ，使 ，连接 ，过点D作 于点H，证明 ，得出 ，点F在直线 上运动，当点F与H重合时， 的值 最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接 ，在 上截取 ，使 ，连接 ，过点D作 于点H，如图所示： 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，在 和 中 ， ∴ ，∴ ， ∴点F在直线 上运动，当点F与H重合时， 的值最小， ∵ ， ，∴ ，故选：B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题 意作出辅助线，得出点F在直线 上运动，当点F与H重合时， 的值最小，是解题的关键． 7．（2022·江苏·徐州市三模）如图， 中， ， ， 为 边上的一动点，以 、 为边作 ，则线段 的最小值为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可知 点在平行 的线段 上运动，当 时， 最小，根据勾 股定理即可求解． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，则 点在平行 的线段 上运动，当 时， 最小， ，则 ，在 中， ， ， ，即 最小值为 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定 点的轨迹是解题的关键． 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 8．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知 ，B为 上一点， 于A， 四边形 为正方形，P为射线 上一动点，连接 ，将 绕点C顺时针方向旋转 得 ，连接 ，若 ，则 的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合 应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解 答．连接 ，依据 构造全等三角形，即 ，将 的长转化为 的长，再依据垂线段最 短得到当 最短时， 亦最短，根据 ， ，即可求得 的长的最小值． 【详解】解：如图，连接 ， 由题意可得， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ，∴ ， 当 时， 最短，此时 也最短， ∵ ， ，∴ ，∴ ∴ ， ∴当 时， ，∴ 的最小值为 ．故答案为： ． 9．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点C是y轴 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 上一动点，设其坐标为 ，线段 绕点C逆时针旋转 至线段 ，则点B的坐标为 ，连 接 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是 正确寻找点 的运动轨迹，属于中考常考题型． 设 ，过点 作 轴，垂足为点 ，证明 ，推出 ，可得 点 的坐标为 ，推出点 的运动轨迹是直线 ，根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】设 ，过点 作 轴，垂足为点 ， ∵线段 绕着点 按逆时针方向旋转 至线段 ， ∵点 ，点 ，∴点 的坐标为 ，∴点 的运动轨迹是直线 ， ∵直线 交 轴于 ，交 轴于 ， 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 过点 作 于 ．则 ， 根据垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 的值最小，最小值为 ， 故答案为： ； ． 10．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）如图，已知 中， ， ， ， ， ，点 为直线 上一动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， 连接 、 ，点 在直线 上且 ，则 最小值为 ． 【答案】 【分析】首先通过证明 得到 ，再根据垂线段最短将最小值转化为点 到 的 距离，最后利用面积法计算即可． 【详解】解： ， ， ，即 ， 由旋转可知： ， ， ， 在 和 中， ， ， ，则当 时， 最小，即 最小， ， ， ， ， 点 到 的距离为 ， 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，转化思想． 11．（2023上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形 中， ， ， 为边 上的 点，且 ． 为 边上的动点，以 为边在其右侧作等腰直角三角形 ， ．设 中点 为 ，则 的最小值为 ． 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】过点 作 于 ，过点 作 ，证明 ，可得 ， 可得点 在平行 且到 距离为 的直线 上运动，则当点 、 、 共线时， 有最小值，即可 求解． 【详解】解：如图，过点 作 于 ，过点 作 ，∴ ， ∵四边形 是长方形也就是矩形， ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， ，∴ ， ∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，∴点 在平行 且到 距离为 的直线 上运动， 当点 、 、 共线时， ，则 ，此时 有最小值， 此时 ，∴四边形 是长方形， ∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三 角形的性质，垂线段最短，确定点 的运动轨迹是解题的关键． 12．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在 中， ，点P为 边上任意 一点，连接 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，连接 ，则 长度的最小值为_________． 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 ##2.4 【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线 段最短得到点P的位置，再证明 利用对应线段的比得到 的长度，继而得到PQ的长度． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线 ， ∵ ,∴ , ∴ ，∴ ，∴ ，∴则PQ的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂 线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题． 13．（2022·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角 坐标系中，若点A（ ，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _____． 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 ## 【分析】把 AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为C，直线CP交x轴于点 D，证得 A△CD为等腰直角三角形，可得点P的运动轨迹在直线CP上，当OP⊥CP时，OP最短，当 OP⊥CP时△， OPD为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：△如图，把 AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为点C，直线CP 交x轴于点D， △ 则 AOB≌△ACP，∴∠BAO=∠PAC，∠C=∠AOB=90°，AC= AO=3 ， △ ∵∠BAP=45°，即∠BAO+∠PAO=45°，∴∠PAC +∠PAO=45°，即∠CAO=45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，∴点P的运动轨迹在直线CP上， ∴当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形， ∵△ACD为等腰直角三角形，AC=3 ，∴AD= AC=6， ∴OD=6-3 ，∴OP=3 -3．即OP最小值为3 -3．故答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质， 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 勾股定理，解决本题的关键是得到△ACD和△OPD为等腰直角三角形． 14．（2022·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以 DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________． 【答案】 【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AEC，边EC与AB 交于点G，连接EE延长与AB交 1 1 1 于点F，作BE⊥EF于点E，由Rt△DCE与Rt△AEC为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE 2 1 2 1 1 ＝∠CAE＝45°，于是∠ACD＝∠ECE，因此△ACD∽△ECE，所以∠CAD＝∠CE E＝30°，所以E在直线 1 1 1 1 EE上运动，当BE⊥EF时，BE最短，即为BE 的长． 1 2 1 2 【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AEC，边EC与AB 交于点G，连接EE延 1 1 1 长与AB交于点F，作BE⊥EF于点E，连接CF， 2 1 2 ∵Rt△DCE与Rt△AEC为等腰直角三角形， 1 ∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE＝∠CAE＝45°∴∠ACD＝∠ECE 1 1 1 ∵ ，∴△ACD∽△ECE，∴∠CAD＝∠CE E＝30°， 1 1 ∵D为AB上的动点，∴E在直线EE上运动， 1 当BE⊥EF时，BE最短，即为BE 的长． 2 1 2 在△AGC与△EGF中，∠AGC＝∠EGF，∠CAG＝∠GEF， 1 1 1 ∴∠GFE ＝∠ACG＝45°∴∠BFE＝45°， 1 2 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠CAD＝∠CE E＝30°，∴点A，点C，点F，点E 四点共圆， 1 1 ∴∠AEC＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1， 1 ∵BF＝ BE，∴BE＝ ，故答案为： ． 2 2 【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握 含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键． 15．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形 中， ，点E为边 上一动点，将点A绕点E 顺时针旋转 得到点F，则 的最小值为__________． 【答案】 【分析】 上截取 ，过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ， 是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】如图， 上截取 ，过点 作 交 的延长线于点 ， 正方形 中， ，将点A绕点E顺时针旋转 得到点F， 是等腰直角三角形 , 在射线 上运动，则 是等腰直角三角形， 与 点重合时， 取得最小值，等于 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得 的轨迹是解题的关键． 16．（2022·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B 点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC的外心运动的路径长为 _____， BQ的最小值为 _____． 【答案】 ； 【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点，可得外心的运动路径就是以AC、BC的中点为端点的线 段；利用特殊位置，斜边为AC、BC的情形，确定点Q的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线段， 利用三角形相似计算即可． 【详解】 AB＝5，BC=3，AC＝4， ， ， ， Rt△PQC的外心就是斜边的中点，设AC、BC的中点分别是M、N， 外心的运动轨迹就是线段MN，即三角形ABC的中位线， ， 当点P与点A重合时，即点 ，此时以CA为斜边作如图的等腰直角三角形AQC，当点P与点B重合时， 1 即点 ，此时以CB为斜边作如图的等腰直角三角形BQC， 为点Q的运动轨迹， 2 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BQ的最小值为点B到 的垂线段的长度，过点B作 ，垂足为E， 三角形AQC，三角形BQC均为等腰直角三角形，AC=4，BC=3， 1 2 ， ， ， ， ， ， ，即 ，解得 ，故答案为： ； ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判 定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键． 17．（2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点， 以AC为边向下作Rt ，使得 ， ，连接线段 ，则线段 的最小值为____． 【答案】 ## 【分析】连接 ，作 于 ，当点 运动到 点时，则点 运动到 ，求得 ， 为动点 的运动轨迹，当运动到 时， 最小，据 为 角所对的直角边， 为斜边即可求得 答案． 【详解】解：由题意得，连接 ，作 于 ，如图所示： 、 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当点 运动到 点时，则点 运动到 ， ， ， 由题意可得：直线 为动点 的运动轨迹，当运动到 时， 有最小值， ，故答案为 ． 【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准 为动点 的运动轨迹，当运动到 时， 有最小值是解题的关键． 18．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边 AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小 值是________________． 7 【答案】4+2 【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明 ∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE， 求出BE即可解决周长最小问题． 【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD， ∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形， 又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE， ∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'， 由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'． 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  DEGE  DEF GEF 在△DEF和△GEF'中， ，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．   EF EF ∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A，E关于GF'对称， ∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE， 1 在Rt BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴ CH  BC 2,BH 2 3, ， 2 △ BH2EH2 1216 7 7 在Rt BEH中，BE＝ ＝ ＝2 ，∴BF'+EF'≥2 ， △ 7 7 ∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2 ，故答案为：4+2 ． 【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三 角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 19．（2022·河南南阳·二模）如图所示， ， ， 于点B，点D是线段BC上一个动点， 且 于点D， ，连接CE，则CE长的最小值是______． 【答案】3 【分析】在BC上截取 ，构造相似，可得出 ，过C点作CH⊥EQ可得出 即可求出CE的长 【详解】解：在BC上截取 ，则 ， 中， ， ∵ ，∴在 中， ， ∴ ∴ ， ，∴ ， 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ，∴ ，∴ 的角度固定不变，∴CH为CE的最小值． 过C点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90° ∵ ∴∠CQH=∠QAB∴ ， ∵ ，∴ ，CE的最小值是3. 【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（2023江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m 外一点， ，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了 什么？ 最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______． （2）小试牛刀：如图2所示， 中， ， ， ．则点P为AB边上一动点，则 CP的最小值为______． （3）尝试应用：如图3所示 是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP， 将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE． ①请直接写出DE的最小值．②在①的条件下求 的面积． （4）拓展提高：如图4， 顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE． ． ， ，请求出AE的最小值． 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1）PO，垂线段最短；（2） ；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面积为 ；（4） AE的最小值为 ． 【分析】（1）根据垂线段的性质即可解答；（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，利用面积法 即可求解；（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ABP≌△CBE，得到 ∠BCE=30°．得到点E在射线CE上，根据“垂线段最短”这一定理，当∠DEC=90°时，DE最短，据此求 解即可；②利用勾股定理求得EC= ，即AP= ，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的长，即可求 解； （4）作出如图的辅助线，先判断出点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当当AE⊥GH 时，AE最短，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵PO⊥直线m，∴从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 故答案为：PO，垂线段最短； （2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，S ABC= AC BC= AB PC， △ ∴PC= ，即CP的最小值为 ，故答案为： ； （3）①由旋转知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，边长为4， ∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2， ∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°； ∵点P为高AD上的一个动点，∴点E在射线CE上， 根据“垂线段最短”可知，当DE⊥CE时，DE最短． ∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE= CD=1，即DE的最小值是1； 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ②由①得CD=2，DE=1，∴CE= ，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE ， 在Rt BDA中，AB=4，BD=2，∴AD= ，∴PD=AD-AP= ，∴PB= ， △ ∴等边三角形△PBE的高为 ，∴△BPE的面积为 = ； （4）过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHC=90°， ∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD， ∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此时点F与点C重合，点E与点H重合， ∵AB=3，BC=4，∴AC= ， ∵S ABC= AB BC= AC BH，∴BH= ，∴AH= ， △ 取AB中点G，过点G作GI⊥AB交AC于点I，则∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC， ∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此时点F与点I重合，点E与点G重合， 顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，且 ， 四点共圆， ∴点E在直线GH上运动， 根据“垂线段最短”这一定理，当AE⊥GH时，AE最短，过点H作HP⊥AB于点P， ∴ APH ABC，∴ ，即 ， △ △ 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴PH= ，AP= ，∴PG=AG-AP= ，∴GH= ， ∵S AGH= AG PH= GH AE，∴AE= ，∴AE的最小值为 ． △ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，等边 三角形的判定和性质，四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【35淘宝店铺：向阳百分百】