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2024 北京海淀初二（下）期末
数 学
考生须知：
1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的
因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可．
【详解】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、 中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、 不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 3，3，4 C. 3，4，5 D. 4，4，4
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据题意利用“ ”逐一对选项进行计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ，故A选项不能组成直角三角形，
∵ ，故B选项不能组成直角三角形，
∵ ，故C选项能组成直角三角形，
∵ ，，故D选项不能组成直角三角形，
故选：C．
3. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减，根据二次根式的乘法、二次根
式的除法、二次根式的加减的运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、 ，故原选项计算正确，符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 和 不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
D、 和 不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
4. 如图， 的对角线 相交于点 ，点 是 的中点，连接 ，若 ，则
的长为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，由平行四边形的性质得出 ，证明
是 的中位线，即可得出答案．
【详解】解：∵ 的对角线 相交于点 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故选：B．
5. 在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象经过点 ， ，且 ，则
的值可能为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，由题意得出 随 的增大而减小，从而得出 ，即可得解，
熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵正比例函数 的图象经过点 ， ， ，且 ，
∴ 随 的增大而减小，
∴ ，
∴ 的值可能为 ，
故选：D．
6. 如图，矩形 的对角线 相交于点 ， ， ，则 长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 4 C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，由矩形的性质得出 ， ，
证明 为等边三角形，得出 ，即可得解．
为
【详解】解：∵四边形 矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7. 如图，数轴上点 所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点 对应的数是 ，则点
落在（ ）
A. 点 和点 之间 B. 点 和点 之间 C. 点 和点 之间 D. 点 和点
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴若点 对应的数是 ，则点 落在点 和点 之间，
故选：C．
8. 下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间
（单位：秒），则下列说法正确的是（ ）
A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间
B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数
C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数
D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，根据平均数、中位数、方差的计算公式，分别计算，逐项判
断即可得出答案，熟练掌握平均数、中位数、方差的运算公式是解此题的关键．
【详解】解：A、由表格可得：乙选手的最短复原时间为 秒，甲选手的最短复原时间为 秒，乙选
手的最短复原时间大于甲选手的最短复原时间，故原说法错误，不符合题意；
B、丙选手复原时间的平均数为 ，
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学科网（北京）股份有限公司丁选手复原时间的平均数为 ，
故丙选手复原时间的平均数小于丁选手复原时间的平均数，故原说法错误，不符合题意；
C、甲选手复原时间的中位数为 ，
丁选手复原时间的中位数为 ，
故甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数，故原说法正确，符合题意；
D、乙选手复原时间的平均数为 ，
乙选手复原时间的方差为 ，
丁选手复原时间的方差
，
故乙选手复原时间的方差小于丁选手复原时间的方差，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 二次根式 有意义，则 的取值范围是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二
次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得 ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司10. 把直线 向上平移2个单位得到的直线解析式为：_______.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据一次函数图象与几何变换的有关结论求解．
【详解】直线y=2x向上平移2个单位后得到的直线解析式为y=2x+2.
故答案为y=2x+2.
【点睛】此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质
11. 如图，在 中， ， 平分 ，点 是 的中点， ，则
____________ ．
【答案】20
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，
根据角平分线的概念得到 ，然后利用等腰三角形三线合一性质得到 ，
然后利用直角三角形斜边中线的性质得到 ，进而求解即可．
【详解】∵ 平分 ，
∴
∵ ， 平分 ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵点 是 的中点，
∴
∴ ．
为
故答案 ：20．
12. 一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示．在由鞋的尺码组成
的数据中，这组数据的众数是____________．
尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 6 4 1
【答案】23.5
【解析】
【分析】本题考查了众数的定义，根据众数是指数据中出现最多的一个数即可得出答案，熟练掌握众数的
定义是解此题的关键．
【详解】解：观察数据可得：23.5出现的次数最多，出现了 次，
∴众数为23.5，
故答案为：23.5．
13. 用一根长 的铁丝围一个矩形 ，设 的长为 ， 的长为 ， 则 关于 的函
数解析式为____________（不写自变量的取值范围）．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、求函数解析式，由矩形的性质得出 ， ，
再结合矩形的周长为 得出 ，整理即可得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵用一根长 的铁丝围一个矩形 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，在矩形 中， 平分 交 于点 E， 的平分线刚好经过点 C，则
____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，由题意可推出 ，即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
15. 如图，在 中， ，分别以边 为直径画半圆．记两个月牙形图案
和 面积之和（图中阴影部分）为 ， 的面积为 ，则 ________ （填“＞”，“＝”
或“＜”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，圆面积公式等．根据题意设 ，分别表示出两个阴影
面积和，再表示出 的面积，后比较大小即可．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司16. 磁力棋的棋盘为 的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网
格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小
于 ． 根据以上规则，回答下列问题：
（1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从 中选择一个位置再
放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________；
（2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠．
【答案】 ①. ②. 20
【解析】
【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键：
（1）根据勾股定理计算 到点A，B，C的距离即可判断；
（2）根据题意画出图形即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ 不符合要求；
∵ ，
∴ 符合要求，
故答案为 ；
（2）如图所示，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司可以发现：四边形 为边长为 的正方形，
以 为边长，在四边形 基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠，
故答案为20．
三、解答题（本题共60分，第17题6分，第18-24题每题5分，第25题6分，第26题7分，
第27题6分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）利用平方差公式计算即可得出答案．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在 中，点 为对角线 上的两个点，且 ，求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，由平行线的性质得出 ，
．证明 得出 ，即可得证，熟练掌握平行线的性质以及三角形全
等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司在 与 中，
，
∴ ．
∴ ．
19. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方
形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边
处理，如图所示．
（1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】（1） ，
（2）圆形团扇所用的包边长度更短
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案；
（2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：
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学科网（北京）股份有限公司圆形团扇 半径为 厘米，正方形团扇的边长为 厘米；
的
【小问2详解】
解：∵ 圆形团扇半径为 厘米，正方形团扇的边长为 厘米，
∴ 圆形团扇的周长为 厘米，正方形团扇的周长为 厘米
∵ ， ，
∴ ，
∴ 圆形团扇所用的包边长度更短．
20. 已知：如图1， ．
求作： ．
作法：①作 的平分线 ；
②以点 为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 ，作射线 ；
③以点 为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 ，连接 ；
∴四边形 为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
∵ ，
∴ ________，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ________，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形（___________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2） ； ；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题考查尺规作图——作角平分线及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题
关键．
（1）根据题意，补全图形即可；
（2）根据角平分线的定义及平行四边形的判定定理即可得答案．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示：
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
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学科网（北京）股份有限公司21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ．
（1）求 的值；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，则 的取
值范围是 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）先将 代入函数 得出 的值，从而得出 ，再利用待定系数法计算即可得出
的值，
（2）当 时，由题意得 ，从而得出 ，结合题意即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意，点 在函数 的图象上，
∴ ．
∴
将 代入 ，得 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：当 时，由题意得： ，
解得： ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
第17页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
22. 一个有进水管和排水管的水池，每小时进水量和排水量分别为恒定的数值． 从某时刻开始3小时内仅
进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最后 1小时内，水池仅排
水而不再进水．该水池内的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．
根据图象，回答下列问题
（1）该水池进水管每小时进水_______吨，排水管每小时排水________吨；
（2）当 时，求水池内的水量；
（3）这6个小时，排水管共排水______吨．
【答案】（1）3，5；
（2）7吨； （3） ．
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，得出进水和排水速度是解题关键．
（1）根据“开始3小时内仅进行进水操作而不排水，在最后1小时内，水池仅排水而不再进水”即可求解．
（2）计算 即可求解.
（3）计算 即可求解.
【小问1详解】
解：∵开始3小时内仅进行进水操作而不排水
∴该水池进水管每小时进水： 吨，
∵在最后1小时内，水池仅排水而不再进水
第18页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴排水管每小时排水： 吨，
故答案为：3，5；
【小问2详解】
解：∵ 时，水池同时进行进水和排水操作
∴当 时，水池内的水量为： 吨，
【小问3详解】
解：这6个小时，排水管共排水： 吨，
故答案为： ．
23. 如图，在 中， ，点D，E分别是 的中点．连接 并延长至点F，使得
. 连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 ．若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键.
（1）根据 ． ，先求证四边形 是平行四边形；结合 即可求证；
（2）过点F作 交 的延长线于点G．根据勾股定理分别求出 即可求解．
【小问1详解】
证明：∵点E是 的中点，
第19页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ 在 中， ，点D是 的中点，
∴ ．
∴ 四边形 是菱形．
【小问2详解】
解：过点F作 交 的延长线于点G．
∴ ．
∵四边形 是菱形， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
第20页/共32页
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
∴ ．
24. 咖啡是世界三大饮品之一，在我国广受欢迎．云南新培育 的咖啡豆经五位专家多角度评测，数据已
整理，以下是部分信息：
a. 咖啡豆评测统计表：
b. 咖啡豆评测的平均分统计图：
评测
香气 风味 余韵 酸质 体脂感 平衡性 总分
角度
评委1 9 8 n 8
评委2 9 10
评委3 9 8 9
评委4
评委5 9 9 8 52
平均分 m 8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）咖啡豆评测统计表中 __________， ；
（2）补全条形统计图；
（3）在这6个评测角度中，五位评委测评打分差异最大的是__________．
第21页/共32页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）9，8； （2）见解析
（3）平衡性．
【解析】
【分析】本题考查了平均数、方差的概念与条形统计图的绘制，解题的关键是熟知相关统计学概念与数形
结合的操作能力．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，方差（样本方差）是每
个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数．
（1）根据平均数的定义即可求解．
（2）根据该条形统计图中，以“评测角度”为横坐标，以“平均得分”为纵坐标，补全绘制即可．
（3）根据方差的定义，各自计算6个评测角度的方差，其中方差最大的就是所求的结果．
【小问1详解】
解：依据题意得： ，
为
故答案 ：9与8；
【小问2详解】
补全的条形统计图如下：
【小问3详解】
分别计算6个评测角度的方差：
．
第22页/共32页
学科网（北京）股份有限公司．
．
．
．
．
通过以上计算结果可知，“平衡性”的方差最大，因此五位评委测评打分差异最大的是“平衡性”．
故答案为：平衡性．
25. 如图 1，正方形 的边长为 ，对角线 交于点 O，点 P 从点 A 出发，沿线段
运动，点P到达点B时停止运动． 若点P运动的路程为x， 的面积为y，探究y与x的
函数关系．
（1）x与y的两组对应值如下表，则 ______________；
m
x 0 …
y n … n
（2）当点P在线段 上运动时，y关于x的函数解析式为 ． 当点P在线段 上
运动时，y关于x的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________；
第23页/共32页
学科网（北京）股份有限公司（3）① 在图2中画出函数图象；
② 若直线 与此函数图象只有一个公共点，则 的取值范围是_________________．
【答案】（1）4 （2） ，
（3）①图见解析② 或
【解析】
【分析】本题考查动点的函数图象，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据题意，得到到点 运动到点 时，与点 在点 时， 的面积相同，进行求解即可；
（2）求出 时的函数值，根据点 在 上运动时的函数为一次函数，且过 两点，待定系数法求
出函数解析式，进而表示出 的取值范围即可；
（3）描点法画出函数图象，数形结合求出 的取值范围即可．
【小问1详解】
解：当 时， 点与 点重合，随着 的增大， 先减小，后增大，当点 与点 重合时，与点 在
点 时， 的面积相同，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当点 与点 重合时， ，
∴ ；
故答案为： ；
【小问2详解】
∵ ，
∴当 时， ，
当点 在 上运动时： ，
第24页/共32页
学科网（北京）股份有限公司设当点P在线段 上运动时，y关于x的函数解析式为 ，
由题意，图象经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
故答案为： ， ；
【小问3详解】
①∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∵ 经过点 ，
∴画图如下：
②如图，当直线 经过点 时，则： ，解得 ，
当直线 经过点 时，则： ，解得 ，
当直线 经过点 时，则： ，
第25页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∵直线 与此函数图象只有一个公共点，
∴ 或 ．
26. 如图1， 和 是 的对角线， ．点 为射线 上的一点，连接 ．
（1）当点 在线段 的延长线上，且 时，
①依题意补全图1；
②求证： ；
（2）如图2，当点 在线段 上，且 时，用等式表示线段 ， 和 的数量关
系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外
角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）①根据题意补全图形即可；②由等边对等角得出 ，由平行四边形的性质得出
第26页/共32页
学科网（北京）股份有限公司，推出 ，证明 ，即可得证；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，由全等三角形的性质可得 ，由三角形
外角的定义及性质得出 ，从而推出 ，即可得证．
【小问1详解】
解：① 依题意补全图形
②证明：∵ ，
∴ ．
∵ 四边形 是平行四边形，
∴
∴ ．
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴
∴ ．
第27页/共32页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：线段 ， 和 的数量关系为 ．
证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ．
由（1）②可得
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
．
27. 甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩． 该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个
入口 ．
第28页/共32页
学科网（北京）股份有限公司（1）园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站．甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，
乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示．两人约定如下：
I． 确定距离自己最近的入口；
II． 如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园；
III． 如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入
口入园．
① 若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为 ；
② 若甲、乙最终在B入口处入园，则乙下车的站点可以为 ；
（2）丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园．丙在地图上建立平面直角坐标系 ，如图2所示，
其中入口A，B，C的坐标分别为 ．园区内有行驶路线为 的摆渡车（乘客可以在路
线上任意一点上下车）．点G坐标为 ．丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个
入口A，B，C的最大距离记为 a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”．
① 如果丙希望在a最小处下车，则点M的坐标为_______________；
② 若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车
点，则m的最小值为_______________．
【答案】（1）① B；② 3号车站，4号车站；
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）①根据题意，即可求解；
②根据甲、乙最终在B入口处入园，可考虑两种情况：第一种，甲离入口最近，并且乙下车点也在入口处，
第二种，乙下车点和甲不在同一个入口附近，则乙可能在3号车站下车，俩人逆时针走到入口B入园；
（2）①设 交 轴于点 ，根据题意可得 点为A，B，C “理想入口”，即为 点的坐标；
②作 的垂直平分线 ，分别交 于点 ，连接 ，证明 ，则 段
存在 的“理想入口”， 段存在 的“理想入口”， 段存在 的“理想入口”， 的最小值为
，然后求得点 的坐标，根据勾股定理，即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：①根据题意得甲、乙入园的入口应为：B，
②由题意得：若甲、乙最终在B入口处入园，可考虑两种情况：
第一种，甲离入口最近，并且乙下车点也在入口处，则乙下车的站点为：4号车站，
第二种，乙下车点和甲不在同一个入口附近，则乙可能在3号车站下车，俩人逆时针走到入口B入园，
故答案为：① B；② 3号车站，4号车站；
【小问2详解】
解：①∵M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a，
当 轴且与 交点时，此时a有最小值，
设 直线解析式为 ，
将 代入即可： ，解得： ，
∴ ，
∵ 轴且与 相交时，此时正好为一次函数 与 轴的交点，
∴令 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ；
②如图所示，
设 交 轴于点 ，由①可得 点为A，B，C “理想入口”，则 一定在长度为m的路段上，
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学科网（北京）股份有限公司作 的垂直平分线 ，分别交 于点 ，连接 ，
则 段存在 的“理想入口”， 段存在 的“理想入口”， 段存在 的“理想入口”，
∵ 是直角三角形， ，
∴
∴
∴
∴ 的最小值为 ，
∵
∴ ，
设直线 的解析式为
将 代入 ，则
∴直线 的解析式为
联立
解得：
∴
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，待定系数法求一次函数解析式，已知自变量值求函数值，勾股定理，
垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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