专题03整式与因式分解考点巩固（解析版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_专项复习_中考高分导航备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

考点 03 整式与因式分解 （时间：60分钟，满分120分） 一、填空题（每题3分，共36分） 1．（2021·湖南张家界市·七年级期末）下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据代数式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】 应表示为： ，故选项A不符合要求； 应表示为： ，故选项B不符合要求； 应表示为： ，故选项C不符合要求；故选：D． 2．（2021·达州市达川区七年级期中）下列式子 中，代数式有（ ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】利用代数式的定义分别分析进而得出答案． 【详解】解：代数式有： ，0，d，8+y，共有4个．故选：C． 3．（2021·江苏宿迁市·七年级期中）如果整式xn﹣5x+4是关于x的三次三项式，那么n等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】直接利用多项式的定义得出n＝3即可． 【详解】∵整式xn﹣5x+4是关于x的三次三项式，∴n＝3．故选：A． 4．（2022·湖南湘潭）下列整式与 为同类项的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项， 结合选项求解． 【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2． A、a的指数是2，b的指数是1，与 不是同类项,故选项不符合题意； B、a的指数是1，b的指数是2，与 是同类项,故选项符合题意； C、a的指数是1，b的指数是1，与 不是同类项,故选项不符合题意； D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与 不是同类项,故选项不符合题意．故选：B． 5．（2022·上海）下列运算正确的是……（ ） A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2 【答案】D 【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方 差公式计算并判定D． 【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意； B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意； C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意 D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意故选：D． 6．（2022·浙江嘉兴）计算a2·a（ ） A．a B．3a C．2a2 D．a3 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： 故选D 7．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（ ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知 道答案． 【详解】解：A. ，根据同底数幂的乘法法则可知： ，故选项计算错误，不符合题意； B. ， 和 不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意； C. ，根据完全平方公式可得： ，故选项计算错误，不符合题意； D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意； 故选：D 8．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）单项式 的系数是（ ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】解∶ 单项式 的系数是 ． 故选：C 9．（2022·陕西）计算： （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解： ．故选：C． 10．（2022·广东·深圳市明珠学校八年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B【详解】解：A、 ，属于整式的乘法运算，没有把一个多项式化为几个整式的积的 形式，故此选项不符合题意； B、 ，属于因式分解，已把一个多项式化为两个整式的积的形式，故此选项符合题意； C、 ，属于整式的乘法运算，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项 不符合题意； D、 ，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不 符合题意． 故选：B． 11．（2022·内蒙古赤峰）已知 ，则 的值为（ ） A．13 B．8 C．－3 D．5 【答案】A 【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 12．（2022·浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形 内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A．正方形纸片的面积 B．四边形 的面积 C． 的面积 D． 的面积 【答案】C 【分析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知 条件能否求出，找到正确选项． 【详解】根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方 形的宽为x-y， 所以图中阴影部分的面积=S EFGH+2S AEH+2S DHG= =2xy， 正方形 △ △ 所以根据题意，已知条件为xy的值， A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意； B.四边形EFGH的面积=y2， 根据条件无法求出，不符合题意； C. 的面积= ，根据条件可以求出，符合题意； D. 的面积= ，根据条件无法求出，不符合题意；故选 C． 二、填空题（每题4分，共24分） 13．（2022·河北·保定市第一中学分校九年级开学考试）如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x ﹣2），那么p的值为 _____，q的值为 _____． 【答案】 1 3 【详解】解：根据题意得：x2+px﹣6＝（x+q）（x﹣2）＝x2＋（q−2）x−2q， ∴p＝q−2，−2q＝−6， 解得：p＝1，q＝3． 故答案为：1，3． 14．单项式 与 是同类项，则 ___________ 【答案】 【详解】解：∵单项式 与 是同类项， ∴ ， 解得 ∴ 故答案为： 15．（2022·辽宁·金州区育才高级中学九年级阶段练习）抛物线 经过点 ，则代数式 的值为______．【答案】11 【详解】解：∵抛物线 经过点 ， ∴ ， ∴ ， ． 故答案为： ． 16．（2022·四川内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____． 【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2） 【分析】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可． 【详解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）． 17．（2022·黑龙江绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品， 每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案． 【答案】3##三 【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出 ，由于 ， 且x，y 都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可． 【详解】解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件， ，解得 ， ∵ ， 且x，y都是正整数， ∴y是4的整数倍， ∴ 时， ， 时， ， 时， ， 时， ，不符合题意， 故有3种购买方案， 故答案为：3．18．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被 广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力． 看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其 中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关 数学知识，这200个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下： YYDS（永远的神）： 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）： 等于 ； JXND（觉醒年代）： 的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大． 其中对 的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）． 【答案】DDDD 【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将 化为 ，再与 比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律 即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得 ，即可 判断QGYW（强国有我）的理解是正确的． 【详解】 是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的； ，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的； ， 2的乘方的个位数字4个一循环， ， 的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的； ， ，且 ，故QGYW（强国有我）的理解是正确的； 故答案为：DDDD．三、简答题（60分） 19．（6分）（2022·湖南岳阳）已知 ，求代数式 的值． 【答案】-2 【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴原式 ． 20．（6分）（2022·湖南衡阳）先化简，再求值： ，其中 ， ． 【答案】 ， 【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算． 【详解】解：原式 ， 将 ， 代入式中得： 原式 ． 3 21．（8分）（2021·日照市新营中学）（1）先化简，再求值： 3(x2yxy2)2( xy22x2y) -3，其中 2 1 x ,y2. 2 A2x23xy2x1,Bx2xy1 3A6B （2）已知： ，且 的值与x无关，求y的值． 2 1 y 【答案】（1） x2y1 ， 2 ；（2） 5 【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x与 y 的值代入计算即可求出值； （2）先求出3A6B的值，然后根据3A6B的值与x无关，可得x的系数为0，据此求 y 的值．3x2y3xy23xy242x2y3 【详解】解：（1）原式 x2y1 ， 1 1 1 1 x  (2)1 1 当 2 ，y2时，原式 4 2 2 ． 3A6B3(2x23xy2x1)6(x2xy1) （2） 6x29xy6x36x26xy6 15xy6x9， 3A6B的值与x无关， 15y60， 2 y 解得： ． 5 22．（8分）（2022·浙江金华）如图1，将长为 ，宽为 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼 成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． （2）当 时，该小正方形的面积是多少？ 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边 即可得到小正方形面积； （2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可． (1)解：∵直角三角形较短的直角边 ，较长的直角边 ， ∴小正方形的边长 ； (2)解： ，当 时， ． 23．（8分）（2022·广东茂名·八年级期中）阅读理解：把多项式 分解因式． 解法： 观察上述因式分解的过程，回答下列问题： （1）分解因式： ． （2） 三边 、 、 满足 ，判断 的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 (1) 解： (2) 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ C的形状是等腰三角形． 24．（12分）（2022·吉林·长春市赫行实验学校八年级阶段练习）图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图 中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中阴影部分的正方形边长为 ； (2)观察图2，请你用等式表示 ， ，ab之间的数量关系： ； (3)根据（2）中的结论，如果x+y＝5，xy ，求代数式 的值． 【答案】(1)a-b (2) (3)16 （1） 由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得， 阴影部分的正方形边长为a-b， 故答案为：a-b； （2） ∵图2中大正方形的面积= ，阴影部分的正方形的面积= ，4个小长方形的面积=4ab， ∵大正方形的面积等于中间阴影部分正方形的面积加上4个小长方形的面积， ∴ ， 故答案为： ； （3） ∵ ∴将x+y＝5，xy 代入得： ， 解得： ． 25．（12分）（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将 因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式 法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方 程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 （1）请用分组分解法将 因式分解； 【挑战】 （2）请用分组分解法将 因式分解；【应用】 （3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个 全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将 因式分解， 再求值． 【答案】(1) (2) (3) ，9 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得 ， ， ∴原式 ．