专题03整式与因式分解考点精讲（解析版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_专项复习_中考高分导航备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

考点 03 整式与因式分解 一、代数式的概念及求值 1．代数式的概念 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一 个数或者一个字母也是代数式． 2．代数式的值 用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。求代数式的值分两步；第 一步，代数；第二步，计算。要充分利用“整体”思想求代数式的值. 二、整式的相关概念 由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单 项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。 单项式 1 1 − πab3 − π 整 2 2 如：单项式 系数是 ，次数是4。 式 几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中 的 不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次 相 多项式 数。 关 1 x2y3 3 概 如：多项式2+4x2y﹣ 是五次三项式 整式 整式是单项式与多项式的统称。 念 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所 合并同类项 得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。三、整式的运算 幂 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an 的 同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝ 运 幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n 算 积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n 乘法 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 公式 完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 a2±2ab＋b2＝(a±b)2 整 ① 整式的加减其实就是合并同类项； 整式 式 ② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时， 加减 运 如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号． 算 ① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项 整式 式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 乘法 ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC． ③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb． ① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含 整式 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 除法 ② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m. 四、分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的形 概念 式 提公因 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用） 式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 公式法 因式 ② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 分解 因式分 一般地， = 可以用十字交 解方法 叉线表示 十字相乘 法【考点1】代数式的概念与求值 【例1】（2022·湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书 活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价 为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【分析】根据题意列求得购买乙种读本 本，根据单价乘以数量即可求解． 【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本 本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙 种读本的费用为 元故选C 【例2】已知a是一元二次方程 的根，则 的值为______． 【答案】2018 【详解】∵a是一元二次方程 的根， ∴ ，即 ， ∴ ． 故答案为：2018． 整体代入法求代数式的值 （1）直接整体代入求值：如果已知的代数式与要求代数式之间含有相同的式子，只要把已知式子的值直 接代入到要求的式子中，即可得出结果。 （2）把已知式子变形后再整体代入求值：在求代数式的值时，如果题目中所求的代数式与已知代数式成 倍数关系，各字母的项的系数对应成比例，就可以把这一部分看作一个整体，再把要求的值的代数式变形 后，整体代计算求值。 1．（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品 千克的售价为 元，那么这种商品8千克的售价为（ ） A． （元） B． （元） C． （元） D． （元）【答案】A 【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可； 【详解】 ∵ 千克的售价为 元， ∴1千克商品售价为 ， ∴8千克商品的售价为 （元）； 故选A． 2．（2022·内蒙古包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则 的值为（ ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据a，b互为相反数，可得 ，c的倒数是4，可得 ，代入即可求解． 【详解】∵a，b互为相反数，∴ ，∵c的倒数是4，∴ ， ∴ ，故选：C 3．（2022·湖南邵阳）已知 ，则 _________． 【答案】2 【分析】将 变形为 即可计算出答案． 【详解】 ∵ ∴ 故答案为：2． 4．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球 元，一共需要__________元．（用含 的代数式表 示） 【答案】 【分析】根据“总费用 购买篮球的数量 每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得：一共需要的费用为 元， 故答案为： ． 5．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级期中）已知： ，则代数式 的值为______． 【答案】5 【详解】解： ， ， ， 故答案为：5． 6．（2022·江苏宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超 市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售 卖；乙超市全部按标价的8折售卖． （1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 【答案】(1)300，240(2)当 时，选择乙超市更优惠，当 时，两家超市的优惠一样，当 时，选择乙超市更优惠，当 时，选择甲超市更优惠． 【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可； （2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当 时， 显然此时选择乙超市更优惠，当 时 再分三种情况讨论即可． (1)解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖； ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 （元）， ∵乙超市全部按标价的8折售卖， ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 （元）， 故答案为： (2)设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得当 时， 显然此时选择乙超市更优惠， 当 时， 当 时，则 解得： ∴当 时，两家超市的优惠一样， 当 时，则 解得： ∴当 时，选择乙超市更优惠， 当 时，则 解得： ∴当 时，选择甲超市更优惠． 【考点2】整式相关概念 【例3】关于多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2，下列说法正确的是（ ） A．三次项系数为3 B．常数项是﹣2 C．多项式的项是5x4y，3x2y，4xy，﹣2 D．这个多项式是四次四项式 【答案】B 【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意； B、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意； C、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的项为5x4y，﹣3x2y，4xy，﹣2，错误，故本选项不符合题意； D、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例4】若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为 ． 【答案】0 【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m、n的值，然后求解即可． 【解答】解：根据题意得：m＝﹣1，3+n+5＝9， 解得：m＝﹣1，n＝1， 则m+n＝﹣1+1＝0． 故答案为：0．【例5】（2021·青海中考真题）已知单项式 与 是同类项，则 ______． 【答案】3 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m，n的值，再代入代数式计 算即可． 【详解】 解：∵单项式 与 是同类项， ∴2m=4，n+2=-2m+7， 解得：m=2，n=1， 则m+n=2+1=3． 故答案是：3． 1．①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式 的 次数 2．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中 次数最高的项的次数叫做多项式的次数 1．（2022·黑龙江·拜泉县第三中学七年级期中）下列说法中正确的是（ ） A． 的次数是3 B． 的系数是 C． 的系数是 D． 的次数是2 【答案】A 【详解】解：A、 的次数是3，故本选项正确； B、 的系数是 ，故本选项错误； C、 的系数是 ，故本选项错误； D、 的次数是3，故本选项错误． 故选：A．2．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）在代数式 ， ， ， ， ， 中， 整式有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：由题意可知： ， 为多项式，-1， 为单项式， ， 均不为整式； 而单项式和多项式统称为整式， ∴整式有4个． 故选：B 3．下列各式是多项式的是（ ） A．2x+1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、2x+1是多项式，故此选项符合题意； B、 是分式，不是多项式，故此选项不符合题意； C、 是分式，不是多项式，故此选项不符合题意； D、 是等式，不是多项式，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．下列单项式中， 的同类项是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项 【详解】 ∵a的指数是3，b的指数是2，与 中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴ 不是 的同类项，不符合题意；∵a的指数是2，b的指数是3，与 中a的指数是2，b的指数是3一致， ∴ 是 的同类项，符合题意； ∵a的指数是2，b的指数是1，与 中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴ 不是 的同类项，不符合题意； ∵a的指数是1，b的指数是3，与 中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴ 不是 的同类项，不符合题意； 故选B 5．（2022·广东）单项式 的系数为___________． 【答案】3 【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案． 【详解】 的系数是3， 故答案为：3． 6．如果单项式 与 的和仍是单项式，那么 的值是 ． 【解答】解： 单项式 与 的和仍是单项式， 与 是同类项． ， ， 解得 ， ， ． 故答案为： ． 7．（2021·湖南怀化市·七年级期末）多项式 是关于 的四次三项式，则 ________________ 【答案】 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可．【详解】解：∵多项式 ＋2x－5是关于x的四次三项式， ∴m﹣1＝4，解得m＝5，故答案为：5． 【考点3】整式的运算 【例6】（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案． 【详解】解：A： ，故 A错误； B： ，故 B错误； C： ，故C错误； D： ． 故选：D 【例7】（2022·四川乐山）已知 ，则 ______． 【答案】 【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得 的值，进而代入代数式即 可求解． 【详解】解： ， ， 即 ， ， ， 故答案为： ．1．（2022·内蒙古包头）若 ，则m的值为（ ） A．8 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法运算计算 ，即可求解． 【详解】 ， ，故选：B． 2．（2022·湖南岳阳）下列运算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据同底数幂的乘法判断C选项； 根据幂的乘方判断D选项． 【详解】解：A选项，原式 ，故该选项符合题意； B选项，原式 ，故该选项不符合题意； C选项，原式 ，故该选项不符合题意； D选项，原式 ，故该选项不符合题意；故选A． 3．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的 正方形的面积，即可解答． 【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，故选：A． 4．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（ ）  3m2n32 6m4n6 A． 16 4 B． 3a2a4 3a8 3xy3x  y C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选 项进行分析，即可得出答案． 【详解】  16 4 A、 ，正确，故该选项符合题意；  3m2n32 9m4n6 B、 ,错误，故该选项不合题意； 3a2a4 3a6 C、 ，错误，故该选项不合题意； 3xy 3x D、 与 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意； 故选：A． 5．（2022·江苏苏州）已知 ， ，则 ______． 【答案】24 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ，故答案为：24． 6．（2022·全国·八年级专题练习）已知 的展开式中不含 项，常数项是-6． （1）求m，n的值． （2）求 的值． 【答案】(1)m= 1，n=2 (2)7【详解】（1）解：原式 ， 由于展开式中不含 项，常数项是-6， 则2m+n=0且-3n= 6， 解得：m= 1，n=2； （2）解：由（1）可知：m= 1，n=2， ∴原式 ， = 1+8 =7． 7．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知 ， ．求： （1） 的值； （2） 的值． 【答案】(1)14 (2)12 （1） 【详解】解：∵ ， ∴ = ． （2） 解：∵ ， ∴ = ． 【考点4】整式化简求值 【例8】先化简，再求值： ，其中 满足 【答案】 ， 【详解】， ∵ ， ∴根据算术平方根的定义可知： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 将 ， ，代入 中有： 原式 ， 即化简结果为： ，值为 ． 1．（2022·广西）先化简，再求值 ，其中 ． 【答案】x3-2xy+x，1 【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把 x、y值代入计算即可． 【详解】解： =x(x2-y2)+xy2-2xy+x =x3-xy2+xy2-2xy+x =x3-2xy+x， 当x=1，y= 时，原式=13-2×1× +1=1． (2x1)(2x1)(2x3)2 x1 2．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ． 【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解． 4x2 1(4x2 12x9) 【详解】解：原式= 4x2 14x2 12x9 = 12x10 = ， 12110 当x=-1时，原式= =-22．3．（2022·河南信阳·七年级期末）已知多项式 化简后不含 项． （1）求m的值； （2）化简并求多项式 的值． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，由结果不含 项，即可得到m的值； （2）先将所求式子去括号合并得到最简结果，再将（1）中所求的m的值代入，计算即可求出值． 【详解】（1）解： ∵不含 项，∴ ，即 ． （2）解： ．将 代入 上式可得：原式 ． 4．先化简，再求值：（2x＋3y）2﹣（2x＋y）（2x﹣y），其中x＝﹣ ，y＝1． 【答案】12xy＋10y2，4． 【解析】 【分析】根据合并同类项法则化简得出最简结果，再把x、y的值代入求值即可． 【详解】（2x＋3y）2﹣（2x＋y）（2x﹣y） ＝4x2＋12xy＋9y2﹣4x2＋y2 ＝12xy＋10y2， 当x＝﹣ ，y＝1时， 原式＝12×（﹣ ）×1＋10×12 ＝﹣6＋10 ＝4． 【考点5】因式分解 【例9】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）A． B． C． D． 【分析】根据因式分解的定义解答． 【详解】 解： 中 不是整式，故A选项不符合题意； 是整式乘法计算，故B选项不符合题意； 是因式分解，故C选项符合题意； 不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【例10】多项式 因式分解为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先提取公因式 ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可 【详解】 解： 故答案选：A． 【例11】分解因式：m2﹣25＝ ． 【分析】直接利用平方差进行分解即可． 【详解】原式＝（m﹣5）（m+5）， 故答案为：（m﹣5）（m+5）． 【例12】（2022·浙江绍兴·七年级期末）不论 为何值，等式 都成立，则代数式 的值为（ ）A．-9 B．-3 C．3 D．9 【答案】D 【详解】解：由题意可得 ， = ， ∴p=2，q=-3， 则 =9． 故选D． 本考点是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。解此类题的关键在于熟练掌握因式分解 的两种基本方法，即提取公因式法和公式法。 因式分解的一般步骤： 1．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m2－1＝_____． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：m2－1＝ 故答案为： 2．（2022·湖南怀化）因式分解： _____． 【答案】 【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ，故答案为： 3．（2022·浙江绍兴）分解因式： ＝ ______． 【答案】 【分析】利用提公因式法即可分解． 【详解】 ， 故答案为： ． 4．（2022·浙江宁波）分解因式：x2-2x+1=__________． 【答案】（x-1）2 【详解】由完全平方公式可得： 故答案为 ． 5．（2022·贵州黔东南）分解因式： _______． 【答案】 【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解． 【详解】解：原式= ； 故答案为 ． 6．（2022·黑龙江绥化）因式分解： ________． 【答案】 【分析】将 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ．7．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由 ，得 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解． 例如：将式子 因式分解． 分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2 解： 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）因式分解： ______________； （2）填空：若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能值是______________ （3）利用因式解法解方程： ； 【答案】(1) (2)±2，±7 (3) （1） 【详解】解： ＋7x−18 ＝ ＋（−2＋9）x＋（−2）×9 ＝（x−2）（x＋9） 故答案为：（x−2）（x＋9）． （2） 解：∵ ， ∴ ， ∴若 ＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7． 故答案为：±2，±7． （3） 解： −6x+8＝0， （x−2）（x-4）＝0， （x−2）＝0或（x-4）＝0， ∴ ， ＝4．