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考点 03 整式与因式分解
一、代数式的概念及求值
1．代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把 连接而成的式子叫做代数式。单独的一
个数或者一个字母也是代数式．
2．代数式的值
用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。求代数式的值分两步；第
一步，代数；第二步，计算。要充分利用“整体”思想求代数式的值.
二、整式的相关概念
由 或 的乘 组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系
数；单项式中所有字母指数的 叫做单项式的次数。
单项式
1 1
− πab3 − π
整 2 2
如：单项式 系数是 ，次数是4。
式
几个单项式的 叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其
的 中不含字母的项叫做常数项；多项式中 就是这个多项式的次
相 多项式 数。
关 1 x2y3
3
概 如：多项式2+4x2y﹣ 是五次三项式
整式 整式是单项式与多项式的统称。
念
同类项 所含字母相同，并且相同 也分别相同的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是 ，所
合并同类项
得的结果作为合并后的系数，字母和字母的 。三、整式的运算
幂 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an
的 同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝
运 幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n
算 积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n
乘法 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b)
公式 完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 a2±2ab＋b2＝(a±b)2
整
① 整式的加减其实就是合并同类项；
整式
式
② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，
加减
运 如果括号前面是负号，括号里各项的符号要 ．
算 ① 单项式与单项式相乘：把 分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式
整式 里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
乘法 ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．
③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含
整式
有的字母，则连同它的 作为商的一个因式．
除法
② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
四、分解因式
把一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的
概念
形式
提公因
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）
式法
① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
公式法
因式
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
分解 因式分
一般地， = 可以用十字交
解方法
叉线表示
十字相乘
法【考点1】代数式的概念与求值
【例1】（2022·湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书
活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价
为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【例2】已知a是一元二次方程 的根，则 的值为______．
整体代入法求代数式的值
（1）直接整体代入求值：如果已知的代数式与要求代数式之间含有相同的式子，只要把已知式子的值直
接代入到要求的式子中，即可得出结果。
（2）把已知式子变形后再整体代入求值：在求代数式的值时，如果题目中所求的代数式与已知代数式成
倍数关系，各字母的项的系数对应成比例，就可以把这一部分看作一个整体，再把要求的值的代数式变形
后，整体代计算求值。
1．（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品 千克的售价为 元，那么这种商品8千克的售价为（ ）
A． （元） B． （元） C． （元） D． （元）
2．（2022·内蒙古包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．16
3．（2022·湖南邵阳）已知 ，则 _________．
4．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球 元，一共需要__________元．（用含 的代数式表
示）
5．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级期中）已知： ，则代数式 的值为______．
6．（2022·江苏宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超
市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售
卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为元；（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【考点2】整式相关概念
【例3】关于多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．三次项系数为3 B．常数项是﹣2
C．多项式的项是5x4y，3x2y，4xy，﹣2 D．这个多项式是四次四项式
【例4】若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为 ．
【例5】（2021·青海中考真题）已知单项式 与 是同类项，则 ______．
1．①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式
的
次数
2．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中
次数最高的项的次数叫做多项式的次数
1．（2022·黑龙江·拜泉县第三中学七年级期中）下列说法中正确的是（ ）
A． 的次数是3 B． 的系数是
C． 的系数是 D． 的次数是2
2．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）在代数式 ， ， ， ， ， 中，
整式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．下列各式是多项式的是（ ）A．2x+1 B．
C． D．
4．下列单项式中， 的同类项是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东）单项式 的系数为___________．
6．如果单项式 与 的和仍是单项式，那么 的值是 ．
7．（2021·湖南怀化市·七年级期末）多项式 是关于 的四次三项式，则
________________
【考点3】整式的运算
【例6】（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例7】（2022·四川乐山）已知 ，则 ______．
1．（2022·内蒙古包头）若 ，则m的值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
2．（2022·湖南岳阳）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（
）A． B．
C． D．
4．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
3m2n32 6m4n6
A． 16 4 B．
3a2a4 3a8 3xy3x y
C． D．
5．（2022·江苏苏州）已知 ， ，则 ______．
6．（2022·全国·八年级专题练习）已知 的展开式中不含 项，常数项是-6．
（1）求m，n的值．
（2）求 的值．
7．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知 ， ．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
【考点4】整式化简求值【例8】先化简，再求值： ，其中 满足
1．（2022·广西）先化简，再求值 ，其中 ．
(2x1)(2x1)(2x3)2
x1
2．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
3．（2022·河南信阳·七年级期末）已知多项式 化简后不含 项．
（1）求m的值；
（2）化简并求多项式 的值．4．先化简，再求值：（2x＋3y）2﹣（2x＋y）（2x﹣y），其中x＝﹣ ，y＝1．
【考点5】因式分解
【例9】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【例10】多项式 因式分解为（ ）
A． B． C． D．
【例11】分解因式：m2﹣25＝ ．
【例12】（2022·浙江绍兴·七年级期末）不论 为何值，等式 都成立，则代数式
的值为（ ）
A．-9 B．-3 C．3 D．9
本考点是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。解此类题的关键在于熟练掌握因式分解
的两种基本方法，即提取公因式法和公式法。
因式分解的一般步骤：1．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m2－1＝_____．
2．（2022·湖南怀化）因式分解： _____．
3．（2022·浙江绍兴）分解因式： ＝ ______．
4．（2022·浙江宁波）分解因式：x2-2x+1=__________．
5．（2022·贵州黔东南）分解因式： _______．
6．（2022·黑龙江绥化）因式分解： ________．
7．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由 ，得
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子 因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）因式分解： ______________；
（2）填空：若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能值是______________
（3）利用因式解法解方程： ；
