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突破卷 09 奇偶性、对称性与周期性
1.对称轴
1．定义在R上的奇函数 满足 ，且 在区间 上是增函数，给出下列三个命题：
① 的图象关于点 对称；
② 在区间 上是减函数；
③
其中所有真命题的序号是_____．
2．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时， ，则不等式
的解集为_____．
3．设函数 的定义域为R， ， ，当 时， ，则函数
学科网（北京）股份有限公司 1在区间 上零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（多选）若函数 满足 ， ，且 ， ，
，则（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．若 ，则
5．函数 满足 ，且在区间 上的值域是 ，则坐标 所表示的点在
图中的（ ）.
A．线段AD和线段BC上 B．线段AD和线段DC上
C．线段AB和线段DC上 D．线段AC和线段BD上
2.对称中心
6．（多选）已知定义在R上的函数 满足 ，且 为奇函数， ，
．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数 的一个周期
B．函数 的图象关于直线 对称
学科网（北京）股份有限公司 2C．函数 是偶函数
D．
7．（多选）函数 是定义在R上的奇函数，且在 上单调递增， 也是奇函数，则
（ ）
A．函数 是周期为4的周期函数
B．函数 是周期为2的周期函数
C．函数 的图像关于点 对称
D． 大小关系为
8．（多选）已知定义在R上的函数 满足条件 ，且函数 为奇函数，则
下列说法中正确的是（ ）
A．函数 是周期函数
B．函数 为R上的偶函数
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 为R上的单调函数
9．设函数 的定义域为R，且 是奇函数，则 图像（ ）
A．关于点 中心对称 B．关于点 中心对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
10．已知函数 为奇函数，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
学科网（北京）股份有限公司 3C．关于点 对称 D．关于点 对称
11．已知函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关于 对称，当
时， .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的最小正周期为2
D．当 时，
3.奇偶性，对称性与周期性的相互转化
12．（多选）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上为减函数
C．点 是函数 的一个对称中心 D．方程 仅有3个实数解
13．（多选）已知函数 的定义域均为 ，且 , ，若
的图象关于直线 对称，则以下说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B．
C． ， D．若 的值域为 ，则
14．（多选）定义在 上的函数 满足 ，函数 的图象关于 对称，
则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 是 的一个周期
学科网（北京）股份有限公司 4C． D．
15．（多选）已知定义在R上的函数 满足 ，且 为偶函数，则下列说法一
定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 为偶函数
D．函数 的图象关于点 对称
16．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， .若
，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称
17．已知 是定义在 上的函数，满足 ，且满足 为奇函数，则下列说法一定
正确的是（ ）
A．函数 图象关于直线 对称 B．函数 的周期为2
C．函数 图象关于点 中心对称 D．
4.比大小
18．已知函数 在 上单调递增，且 是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 519．已知函数 是偶函数，当 时， 恒成立，设
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
20．定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 恒成立，
设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
21．已知 是定义在 上的函数，且 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
22．定义在R上函数 满足以下条件：①函数 图像关于 轴对称，②对任意
，当 时都有 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5.解不等式
23．（ 2023·江苏·统考二模）（多选）已知函数 的图象是连续不间断的，函数
的图象关于点 对称，在区间 上单调递增.若
学科网（北京）股份有限公司 6对任意 恒成立，则下列选项中 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
24．（ 2023·西藏林芝·统考二模）已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 为偶函
数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
25．已知函数 的定义域为 ， 的图象关于点 对称， ，且对任意的 ，
，满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
26．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
27．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 为奇函数， 为偶函数，记
，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 7A． B． C． D．
28．定义在 上函数 满足 ， .当 时，
，则下列选项能使 成立的为（ ）
A． B． C． D．
29．已知 是定义在 上的增函数，且 的图象关于点 对称，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6.结合导数
30．（多选）定义在R上的函数 ， 的导函数为 ， ， 是偶函数.已知
， ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 图象的对称轴是直线
C． D．
31．（多选）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ，
，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 8A． B． 为偶函数
C． 的图象关于点 对称 D． 的一个周期为
32．已知函数 ， 及其导函数 ， 的定义域均为 ， 为奇函数， 关于
直线 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
33．（ 2023·河北唐山·统考三模）（多选）函数 及其导函数 的定义域均为R，若 为奇函
数，且 ，则（ ）
A． 为偶函数
B．
C． 的图象关于 对称
D．若 ，则 为奇函数
34．（多选）设定义在R上的函数 与 的导数分别为 与 ，已知 ，
，且 的图象关于直线 对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的一个周期为8
学科网（北京）股份有限公司 9D．函数 为奇函数
35．（多选）已知函数 ， 的定义域均为 ，导函数分别为 ， ，若 ，
，且 ，则（ ）
A．4为函数 的一个周期 B．函数 的图象关于点 对称
C． D．
36．已知函数 为偶函数，且函数 在 上单调递增，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且关于
点 中心对称.设 ，若 ，则 （ ）
A．2020 B．2022 C．2024 D．2026
2．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 ，若
， 均为偶函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数 的图像关于直线 ＝1对称
B． ＝2
学科网（北京）股份有限公司 10C．
D．若函数 在[1，2]上单调递减，则 在区间[0，2024]上有1012个零点
3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为R，且 ，
， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．2023
4．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数 是奇函数， 且
， 是 的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4
C． 是奇函数 D．
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数 与 的定义域均为 ， 为偶函数，且
， ，则下面判断错误的是( )
A． 的图象关于点 中心对称
B． 与 均为周期为4的周期函数
C．
D．
6．（2023春·广东珠海·高二统考期末）设函数 ，实数 满足不等式
，则下列不等式成立的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 11A． B．
C． D．
7．（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知函数 是奇函数， 是偶函数，当 时，
，则下列选项不正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递减
B． 的图象关于直线 对称
C． 的最大值是1
D．当 时恒有
8．（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）已知函数 的定义域为R，且 ，
为奇函数， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
9．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）（多选）已知函数 的定义域为 的导函数
的图象关于 中心对称，且函数 在 上单调递增，若 且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·湖南·高二统考期末）（多选）已知函数 的定义域为 ，函数 为偶函数，且
是 的导函数.则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 12A． 是周期为2的周期函数
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于直线 对称
D．
11．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）（多选）已知定义在 上的函数 的图象关于直
线 对称， ， 为奇函数，且当 时， ，则（ ）
A． 的一个周期为3
B．当 时，
C．
D．直线 与曲线 共有7个不同的交点
12．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知函数 ， 的定义域均为 ，
且 ， ．若 的图象关于直线 对称， ，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023春·河南洛阳·高一统考期末）（多选）设函数 的定义域为R，且满足 ，
学科网（北京）股份有限公司 13，当 时， ．则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 为偶函数
C．当 时， 的取值范围为
D．函数 与 图象仅有 个不同的交点
14．（2023春·浙江宁波·高二校联考期末）（多选）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
的图象关于点 中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
15．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 ，对任意实数 有 ，若函
数 的图象关于直线 对称， ，则 _____．
16．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数 及其导函数 定义域均为R，记函数
，若函数 的图象关于点 中心对称， 为偶函数，且 则
_____.
17．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，
学科网（北京）股份有限公司 14若 ， 都为偶函数，则 _____．
学科网（北京）股份有限公司 15
