专题2-3八种隐圆类最值问题，圆来如此简单（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2-3 八种隐圆类最值问题，圆来如此简单 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题 中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这 个“隐藏圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 01 题型·解读 知识点梳理 题型一 定点定长得圆 2023年湖北省鄂州市中考数学真题 2023·邵阳市中考真题 2023·广西南宁市二模 2022·辽宁抚顺·中考真题 2022·长春·中考真题 题型二 直角的对边是直径 2023·菏泽市中考真题 2022·通辽·中考真题 2023·汕头市金平区一模 2023·广州市天河区三模 2022·成都市成华区二诊 题型三 对角互补得圆 2023年·广元市一模 题型四 定弦定角得圆 2023·成都市新都区二模 2023·成都市金牛区二模 2023·达州·中考真题 题型五 四点共圆 题型六 相切时取到最值 2023·随州市中考真题 2022·江苏无锡·中考真题 2022扬州中考真题 题型七 定角定高面积最小、周长最小问题 题型八 米勒角（最大张角）模型 徐州中考 02 满分·技巧 知识点梳理 一、定点定长得圆 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹， 并进行计算 y C A M x O B 二、直角的对边是直径 前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90° 今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定 弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类) C C B B A O A O 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 三、对角互补 前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆 D D C C O O A A B B 四、定弦定角模型 定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动 点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算． 前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆 周角，需要根据题目灵活运用) C C α α D O O E α α 2α 2α A B A B 今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的 点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运 动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动) 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 五、四点共圆模型 D D 1 1 C C 3 3 5 P P 6 4 4 2 2 B B A A 前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理 △BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中 长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形 相似也可)，选填题可以直接使用 六、定角定高（探照灯模型） 什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则 △ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。 A A O E O B H D C B D C 问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点 的运动而发生变化的。从而弦 BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高 AD是定值， 因此三角形ABC的面积就有一个最小值。 所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问 题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值． 当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值 可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决． 七、米勒角（最大张角）问题 【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时， ∠APB最大? M P θ O A B N 米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题. 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接 圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。 知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即 C C P P D B B A A 问题解决 证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角 ∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大 ∴当圆与直线l相切时，∠APB最大 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M M P P θ θ O O A B N A B N M Q P θ O A B N 03 核心·题型 题型一 定点定长得圆 1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重 合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 2．如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？ 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023 年湖北省鄂州市中考数学真题 3．如图，在平面直角坐标系中， 为原点， ，点 为平面内一动点， ，连接 ， 点 是线段 上的一点，且满足 ．当线段 取最大值时，点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 2023·邵阳市中考真题 4．如图，在矩形 中， ，动点 在矩形的边上沿 运动．当点 不 与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点 的运动过程中，线段 的 最小值为 ． 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·广西南宁市二模 5．在矩形 中， ，将 绕点B顺时针旋转α（ ）得到 ，连接 ，若 的最 小值为2，则 的长为 ． 2022·辽宁抚顺·中考真题 6．如图，正方形 的边长为10，点G是边 的中点，点E是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ．当 最小时， 的长是 ． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF＝2AE，连接EF， 将四边形 ABFE 沿 EF 翻折，点 A、B 的对应点分别为 A'、B'，连接 A'D，则 A'D 的最小值为 ___________． A′ A E D B′ B F C 8．如图，半圆O的直径AB的长为6，长度为2的弦CD在半圆上滑动，E是CD的中点，DF⊥AB于F， 连接AC、EF，当线段EF的长最大时，AC的长为___________． C E D A O F B 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·长春·中考真题 9．如图，在 中， ， ，点M为边 的中点，动点P从点A出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，连结 ．作点A关于直线 的对称点 ， 连结 、 ．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边 的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段 的长； (3)连结 ，当线段 最短时，求 的面积； (4)当M、 、C三点共线时，直接写出t的值． 题型二 直角的对边是直径 10．如图，在ABC中，ACB30，AC 4，D为BC上的一个动点，以BD为直径的O与AB相切于 点B，交AD于点E，则CE的最小值为 ． 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 11．（2021威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE 与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________． C F B G E D A Rt△ABC C 90,A30,BC2 D,E AB,AC F 12．（2023·嘉兴·二模）在 中， ，点 分别是 的中点，点 AC DF BQDF DF Q EQ F C A 是 上的一个动点，连结 ，作 交 于点 ，连结 ． 点 从点 向点 运动的过 程中，EQ的最小值为 ． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6， OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当 点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________． y F B C E O D A x 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·菏泽市中考真题 14．如图，在四边形 中， ，点E在线段 上运动，点 F在线段 上， ，则线段 的最小值为 ． BC 6 ABC 15．（2023·武汉·一模）如图， 中， ， ， ．点P为 内一点， 且满足PA2PC2AC2．当PB的长度最小时，则△ACP的面积是 ． 2022·通辽·中考真题 16．如图， 是 的外接圆， 为直径，若 ， ，点 从 点出发，在 内运动 且始终保持 ，当 ， 两点距离最小时，动点 的运动路径长为 ． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ABCD AB2 BC 2 3 AD，BC 17．（2023·广州·三模）如图，矩形 中， ， ，点E、F分别是线段 上的动 点，且AECF，过D作EF的垂线，垂足为H． AE  31 （1）当 时，BFE  ． （2）当E在AD上运动时，CH 的最小值为 ． ABCD 2 2 AB CD 18．（2023·安阳·一模）如图，正方形 的边长为 ，点E是 边上的一个动点，点F是 边上 的一个动点，且AECF，过点B作BGEF于点G，连接AG，则AG长的最小值为 ． 19．（2023·深圳·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E为边BC上一动点，F 为AE中 点，G为DE上一点，BF FG，则CG的最小值为 ． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·汕头市金平区一模 AB为O OB DE DEAB AEB 20．如图， 的直径，点C为 中点，弦 经过点C，且 ．点F为 上一动点，连 接DF．AGDF于点G．若AB4，在点F运动过程中，线段OG的长度的最小值为 ． 2023·广州市天河区三模 ABCD AB2 BC 2 3 AD，BC AE CF 21．如图，矩形 中， ， ，点E、F分别是线段 上的动点，且 ，过 D作EF的垂线，垂足为H． AE  31 （1）当 时，BFE  ． （2）当E在AD上运动时，CH 的最小值为 ． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·成都市成华区二诊 22．如图，在 中， ．若点 为平面上一个动点，且满足 ， 则线段 长度的最小值为 ，最大值为 ． 23．如图，在矩形ABCD中，AB3，BC 4，E为边BC上一动点，F 为AE中点，G为DE上一点， BF FG，则CG的最小值为 ． ABCD AB4,BC 3 AB CD EA 24．如图，在矩形 中， ，E，F分别为 ， 边的中点．动点P从点E出发沿 FC PQ BH PQ 向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿 向点C运动，连接 ，过点B作 于点H，连 接DH ．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段DH 长度的最 小值为 ． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型三 对角互补得圆 25．（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点 F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时， 的值为（ ） A． B． C． D． 26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直 线EF交线段DC于点F，则 ＝__________. 27．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接 DE，则线段DE长度的最小值为 ． 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023 年·广元市一模 28．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的动点，过点E作EF  AE交CD于点F，点G在 AE上，且EGEF ，点M、N分别为GF 、CD的中点，连接MN，则MN的最小值为 ． 29．（2023·广东深圳·统考二模）如图，点G是 内的一点，且 ， 是等边三角形， 若 ，则 的最大值为 ． 题型四 定弦定角得圆 30．如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB2＋AC2的最大值为___________． 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A B D C 31．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP 长的最小值为___________． A P B C 32．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD＝3DC，若AD＝1，则△ABC的面积 的最大值为____________． A B D C 33．如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AD是中线，AD＝2，求△ABC面积的最大值． A B D C 2023·成都市新都区二模 34．如图，在边长为 的等边 中，动点 在 边上（与点 ， 均不重合），点 在边 上，且 ， 与 相交于点 ，连接 当点 在 边上运动时， 的最小值为 ． 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·成都市金牛区二模 35．在菱形 中， ，点P是对角线 上一动点，点Q是 边上一动点， 与 始 终相等，连结 ，交点为E，连结 ，则 的最小值是 ． 2023·达州·中考真题 1 BP AC 36．在 中， ， ，在边 上有一点 ，且 ，连接 ，则 的最小值 ABC AB4 3 C 60 BC P 2 AP AP 为 ． 题型五 四点共圆 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD的延长线于 点E，则 的最大值为___________． C E D A B 38．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，AD⊥AC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过 A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是___________． 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A E F B D C 39．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是 边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________． A E F B D C 题型六 相切时取到最值 40．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交 AD于点F，则AF的最大值为___________． A F D G E B C 2023·随州市中考真题 41．如图，在矩形 中， ，M是边 上一动点（不含端点），将 沿直线 对折，得到 ．当射线 交线段 于点P时，连接 ，则 的面积为 ； 的最大值为 ． 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·江苏无锡·中考真题 ． ABC是边长为5的等边三角形， DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如 42 图△，若点D在 ABC内，∠DBC=2△0°，则∠BAF＝ °；现将 DCE绕点C旋转1周，在这个旋 转过程中，线段△AF长度的最小值是 ． △ 2022 扬州中考真题 43．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD， 交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_________． A E B D C 题型七 定角定高面积最小、周长最小问题 44．如图，点A是直线l外一点，AH⊥l于H，AH＝2，点B、C是直线l上的动点，且∠BAC＝90°，探究 △ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由． A l B H C 45．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ． 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． 46．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得 到△A′B′C′（点A、B的对应点分别为A'、B′），CA′、CB′的延长线分別交直线m于点P、Q．试探究 四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明 理由． m P BD Q A′ B′ A C 47．如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且∠BAC＝ 30°，求线段BC长度的最小值． A B C H l 48．如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF＝60°，求△AEF面积 的最小值． 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D F B E C 49．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分 别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，求△DEF的面积的最小值． A F E B D C 50．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，BD＝2． （1）求△ABC周长的最小值；（2）当△ABC的周长最小时，求四边形ABCD面积的最大值． A B C D 51．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分别是边AB、AC上的动 点，且∠EDF＝90°，则△DEF的面积的最小值为___________． A F E B D C 题型八 米勒角（最大张角）模型 52．如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则 ∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射 门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ） A．2 B．3 C． D． 53．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最 大时，则BP＝ ． 54．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最 大，则P点的坐标为 55．如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°， MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米. 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 56．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当∠ ACB最大时，点C 的坐标为____ 57．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90° （1）证明：△ABF∽△FCE； （2）当DE取何值时，∠AED最大． 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 58．辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段 ，以 为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在 中， ， 为 边上的高，若 ，试判断 是否存在最小值， 若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别为 、 上的点，若保持 ，那 么四边形 的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 59．问题提出 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB ＞ ∠ACB（填“＞”“＜” “＝”）； 问题探究 （2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理 由； 问题解决 （3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距 6米（即AB＝6米），下边 沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时， 在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的 距离． 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 60．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）． （1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”． ①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ________，⊙C的半径是 ②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由； （2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 徐州中考 61．如图，平面直角坐标系中， 为原点，点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上． 的两条外角平 分线交于点 ， 在反比例函数 的图象上． 的延长线交 轴于点 ， 的延长线交 轴于 点 ，连接 ． （1）求 的度数及点 的坐标； （2） 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 28