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第 23 讲 特殊四边形-矩形
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 矩形的性质与判定
题型01 利用矩形的性质求角度
题型02 利用矩形的性质求线段长
题型03 利用矩形的性质求面积
题型04 求矩形在坐标系中的坐标
题型05 根据矩形的性质证明
题型06 矩形的判定定理的理解
题型07 添加一个条件使四边形是矩形
题型08 证明四边形是矩形
题型09 根据矩形的性质与判定求角度
题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
题型11 根据矩形的性质与判定求面积
题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
题型13 与矩形有关的新定义问题
题型14 与矩形有关的规律探究问题
题型15 与矩形有关的动点问题
题型16 矩形与一次函数综合
题型17 矩形与反比例函数综合
题型18 矩形与二次函数综合
考点二 矩形的折叠问题
题型01 与矩形有关的折叠问题
类型一 沿对角线翻折（模型一）
类型二 将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）
类型三 将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）
类型四 矩形短边沿折痕翻折（模型四）
类型五 通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）
类型六 将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）
类型七 将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）
类型八 其它
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考点要求 新课标要求 命题预测
探索并证明矩形的 矩形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中
矩形的性 性质定理. 难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024年各地中
质与判定 探索并证明矩形的 考还将出现. 其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考
判定定理. 察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较
大，需要加以重视.解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般
和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可
矩形的折
能性比较大．
叠问题
考点一 矩形的性质与判定
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
3）对角线互相平分且相等；
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有
两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.
【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
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2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.
矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形.
【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角
线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．
1. 对于矩形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.有一个角是直角.
2. 定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形.
题型01 利用矩形的性质求角度
【例1】（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知
∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【变式1-1】（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分
∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
【变式1-2】（2023·山西大同·统考模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有
不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，
在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，∠1=∠2=30°，∠3的度数为（ ）．
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A．30° B．45° C．50° D．60°
【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接
AE，过E作EF⊥ AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF=α，则∠EFC的度数为（ ）
α α
A．α B．45°+ C．45°− D．90°−α
2 2
【变式1-4】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1=34°，
则∠2的度数为（ ）
A．34° B．46° C．56° D．66°
题型02 利用矩形的性质求线段长
【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，EF经过点O且
EF⊥BD，EF分别与AD，BC交于点E，F，若AB=2，BC=4，则AE等于（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
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【变式2-1】（2023·广西南宁·校考二模）在矩形ABCD中，AB=3，将AB绕点B顺时针旋转α（
0°＜α＜90°）得到BE，连接DE，若DE的最小值为2，则BC的长为 ．
【变式2-2】（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥ AE交BC于点F．连接AF交BE于点O，若AB=AE，
则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为 ．
【变式2-3】（2023·浙江宁波·校考一模）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
OP
OE⊥ AB，垂足为E，F是OC的中点，连接EF交OB于点P，那么 = ．
PB
【变式2-4】（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F
分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为 ．
题型03 利用矩形的性质求面积
【例3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，
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1 1 1 1
DA上，且AE= AB，BF= BC，CG= CD，DH= DA，若矩形ABCD面积为9，则四边形
3 3 3 3
EFGH的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
AB 5
【变式3-1】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，延长AB至E，使得 = ，
BE 6
连接CE，若矩形ABCD的面积为20，则△BCE的面积为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【变式3-2】（2023·山西太原·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落
在y轴与x轴的正半轴上，OA=6，OC=8．若直线y=2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（ ）
A．5 B．2 C．−2 D．−5
【变式3-3】（2023·江苏常州·校考一模）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木
框A'B'C'D'，且A'D'与CD相交于CD边的中点E，若AB=4，BC=5，则原矩形ABCD和平行四边形
A'B'C'D'重叠部分的面积是 ．
【变式3-4】（2023·湖南湘西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上一
点，AP=2，连接BD，则图中阴影部分的面积为 ．
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题型04 求矩形在坐标系中的坐标
【例4】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、
y轴上，OB=4，OA=3，AD=10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转
结束时，点D的坐标为（ ）
A．(6,5) B．(5,6) C．(−6,−5) D．(−5,−6)
【变式4-1】（2023·天津河东·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，
B，D分别在y轴上，O是BD的中点.若AB=OB=2√3，则点C的坐标是（ ）
A．（3，√3） B．(−3,−√3) C．(√3，3） D．(−√3,−3)
【变式4-2】（2022·山东聊城·校联考一模）如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是
（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（ ）
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( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )
A． − ,4 B． − ,4 C． − ,2√5 D． − ,2√5
2 3 2 3
【变式4-3】（2021·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折
叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10,8)，则点E的坐标为（ ）
A．(10,3) B．(10,5) C．(6,3) D．(4,3)
1
【变式4-4】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x+2分别与x轴、
2
y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则
点N的坐标为 ．
题型05 根据矩形的性质证明
【例5】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知四边形ABCD是矩形，BE⊥ AC于E，DF⊥ AC于F，
连接DE，BF．
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(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB=3，BC=4，求BE的长；
(3)求证：BE2=AE⋅EC．
【变式5-1】（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E
是OA上一点，连接BE并延长至点F，使得∠ADF=∠ADB．
(1)求证：DF∥AC；
(2)若OE=1，求DF的长．
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知，矩形ABCD中，E、F为对角线AC上两点，连
接BE、DF，且BE⊥ AC于E，DF⊥ AC于F．
(1)如图1，求证：AE=CF；
(2)如图2，连接DE、BF，当∠ACD=2∠ABE时，请直接写出图中面积为△ABE面积3倍的所有三角
形．
【变式5-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EC，EB，过
AD
点B作EC的垂线交CD，CE于点F，G．设 =m．
DC
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(1)求证：△BGC∽△BAE；
(2)如图1，连接AG，若∠GAB=30°，求m的值；
(3)如图2，若AG平分∠DAB，过点D作AG的垂线交EC，EB及CB的延长线分别于点P，H，M．若
DH⋅CB=3√2，求EH的长．
题型06 矩形的判定定理的理解
【例6】（2023·河北沧州·模拟预测）如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩
形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法：
下列说法正确的是（ ）
A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行
C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行
【变式6-1】（2023·河北保定·统考一模）下列图形一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·江苏南京·统考一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是
（ ）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
【变式6-3】（2023·河北邯郸·统考一模）如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，
四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（ ）
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A．CD=4 B．CD=2 C．OD=2 D．OD=4
题型07 添加一个条件使四边形是矩形
【例7】（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM=DN，连
接AM、MC、CN、NA．请你添加一个条件 ，使得四边形AMCN是矩形．
【变式7-1】（2022·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加
一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 ．
【变式7-2】（2023·山西晋城·统考一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F
在AC上，且AE=CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可
以是 ．（填写一个即可）
题型08 证明四边形是矩形
【例8】（2023·广东梅州·统考一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，
BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度数．
【变式8-1】（2022·山东滨州·校考一模）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．
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【变式8-2】（2022·广东深圳·统考一模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于D点，E
点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
(1)求证：四边形DEFG为矩形；
(2)若AB=10，EF=4，求CG的长．
题型09 根据矩形的性质与判定求角度
【例9】（2021·河北唐山·统考二模）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG．
当GC=GB时，下列针对α值的说法正确的是（ ）
A．60°或300° B．60°或330° C．30° D．60°
【变式9-1】（2020·福建龙岩·统考模拟预测）如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，
矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
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【变式9-2】（2022·河北·一模）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之
间的关系为( )
1 1
A．β= 180-α B．β=180°- α C．β=90°-α D．β=90°- α
2 2
【变式9-3】（2023·河南新乡·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点
D、E分别在边BC、AB上，BD=2，DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别
是D'、E'，当A、D'、E'三点共线时，∠EBE'的度数为 ．
题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
【例10】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段
EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则¿+CF的最小值为 ．
【变式10-1】（2021·广东中山·校联考一模）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板
拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即
DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈ DE.（精确到0.001）
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【变式10-2】（2022·广东广州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，点E是CD边上的
一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC = 2CF，且AF与BE交于点G.
(1)当EC = 4时，求线段BG的长:
(2)设CF = x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值:
(3)连接DG，求线段DG的最小值.
题型11 根据矩形的性质与判定求面积
【例11】（2023·甘肃白银·统考一模）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则
矩形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式11-1】（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，
BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（ ）
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A．6 B．12 C．24 D．48
【变式11-2】（2020·山东济宁·统考模拟预测）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、
DE为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变
【变式11-3】（2020·河北石家庄·统考模拟预测）如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝
4
50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝ ，M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且
3
面积最大的矩形PQMN面积为 cm2．
【变式11-4】（2022·江苏无锡·统考二模）矩形ABCD中，AB=m，AD=n，连接BD，点P在线段BD上，
连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
(1)若m=6，n=6√3；
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB=EP时，求线段BP的长；
(2)若m=6，n=8，△PEC面积的最大值为 (直接写出答案)．
题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
【例12】（2023·河北·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，
点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中
一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是
（ ）
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A．当t=3s时，四边形ABMP为矩形 B．当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD=PM时，t=3s D．当CD=PM时，t=3s或5s
【变式12-1】（2022·湖南娄底·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，
点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE0)的图象交矩形的对角线OB于点D，分别交BC，AB于点E，F，
x
连接DE，DF．若OD=2BD，S =2，则k= ．
四边形EDFB
【变式17-2】（2021·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考二模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分
别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S =8√2，将矩
矩形OABC
形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数
k
y= (k≠0)，其图象恰好过MN的中点，则点M的坐标为 ．
x
【变式17-3】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，矩形AOBC中，OB=3，点D，E分别在AC，BC
k
上，且CD=CE=2，反比例函数y= (x>0)的图象经过D，E两点
x
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(1)请用含k的式子表示点D，C，E的坐标：点D________，点C________，点E________；
(2)利用（1）的结论，求反比例函数的解析式；
(3)连接OD，OE，DE，求△ODE的面积
1 k
【变式17-4】（2023·山东济南·统考二模）如图，一次函数y= x+a的图象与反比例函数y= (x>0)的
2 x
图象交于点A(4，3)，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC=AD，连接CB，求△ABC的面积；
(3)点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．
【变式17-5】（2023·河南南阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段AB，BC，DE，
EF，AF和反比例函数图象的一段CD构成，其中，A(−4,0)，B(4,0)，∠FAB=∠CBA=90°，DE=3，
AF=BC=1，DE∥x轴且点E的纵坐标为4，设直线EF的解析式为y=ax+b，双曲线CD的解析式为
k
y= ．点P为双曲线CD上一个动点，过点P作PG⊥ y，垂足为G，交EF于点Q，以PQ为边在图形W
x
内部作矩形PQNM，MN在x轴上．
(1)求直线EF和双曲线CD的解析式；
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(2)若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，求出点P的坐标．
题型18 矩形与二次函数综合
【例18】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，已知二次函数y=x2+mx+8的图像交y轴于点A，作AB平行
于x轴，交函数图像于另一点B（点B在第一象限）．作BC垂直于x轴，垂足为C，点D在BC上，且
1
CD= BD．点E是线段AB上的动点（B点除外），将△DBE沿DE翻折得到△DB'E．
3
(1)当∠BED=60°时，若点B'到y轴的距离为√3，求此时二次函数的表达式；
(2)若点E在AB上有且只有一个位置，使得点B'到x轴的距离为3，求m的取值范围．
【变式18-1】（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，若二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点
A(-1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是
矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式18-2】（2021·吉林延边·校考一模）如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，
0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S =S ，求点D的坐标；
△ABD △ABC
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩
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形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式18-3】（2021·江苏苏州·统考一模）对于二次函数y=x2−3x+2和一次函数y=−2x+4，把
y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图
像记作抛物线E，现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(−1,n)，请完成下列任务；
【尝试】判断点A是否在抛物线E上．
【发现】对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_______．
【应用】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上：若抛物线E经过A，B，C，D其中的
三点，求出所有符合条件的t的值．
考点二 矩形的折叠问题
矩形的折叠问题的常用解题思路：
1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相
等的边或角；
2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）．
3) 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）.
4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过
勾股定理/相似三角形知识求解.
模型一： 思路：
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模型二： 思路：
模型三： 思路：
尝试借助一线三垂直知识利用相似的方 法
求解
模型四： 思路：
模型五： 思
路：
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模型六：点M,点N分别为DC，AB中点 思路：
模型七：点A’为BC中点 思路： 过点F作FH⊥AE，垂足为
点H
设AE=A’E=x，则BE=8-x
17
由 勾 股 定 理 解 得 x=
4
15
∴BE=
4
由 于
△EBA’∽△A’CG∽△FD’G
34 16 26
∴A’G= CG= GD’=
15 15 15
13
DF=D’F=AH= HE=1 EF=√17
4
题型01 与矩形有关的折叠问题
类型一 沿对角线翻折（模型一）
【例1】（2023·陕西·模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到
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△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
8 7 15 8
A． B． C． D．
17 15 17 15
【变式1-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE
与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
【变式1-2】（2018·广东河源·校考一模）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC
交AD于F．
（1）求证：△AFE≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．
类型二 将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）
【例2】（2023·山东青岛·青岛大学附属中学校考二模）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，
BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻
折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）
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A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC
【变式2-1】（2021·浙江衢州·校考一模）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对
折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝
，BE＝ ．
【变式2-2】（2018·湖南娄底·统考一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将
△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为 ．
【变式2-3】（2019·湖南株洲·统考一模）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对
角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为 ．
类型三 将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）
【例3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线
CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2，
则线段AE的长为（ ）
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1 1
A．√5−2 B．√3−1 C． D．
3 2
【变式3-1】（2020·河南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D
落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
1 9 2 1
A． B． C． D．
2 20 5 3
【变式3-2】（2022·四川达州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，
把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
4 3 5
A．1 B． C． D．
3 2 3
【变式3-3】（2021·四川广安·校考二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C
恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
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AB
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求
BC
出的值．
类型四 矩形短边沿折痕翻折（模型四）
【例4】（2021·山东聊城·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC
上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，
当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（ ）
5 5 3 3
A． 或2 B． C． 或2 D．
2 2 2 2
【变式4-1】（2023·广西·模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折
得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，则AB= cm．
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【变式4-2】（2019·黑龙江大庆·中考模拟）如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=2，点E为线段AB上
的动点，将△CBE沿 CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为 ．
【变式4-3】（2021·黑龙江佳木斯·统考二模）矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，
使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不
再添加其它线段，当图中存在30∘角时，AE的长为 厘米．
类型五 通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）
【例5】（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，
以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S OABC＝2√2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O
矩形
k
重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好过MN
x
的中点，则k的值为 ，点C'的坐标为 ．
【变式5-1】（2023·江苏徐州·统考一模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在
点P处，折痕为EF．
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(1)求证：△PDE≌△CDF；
(2)若CD=4cm,EF=5cm，求BC的长．
【变式5-2】（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．
点D落在点G处．已知AB=4，BC=8．
（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
类型六 将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）
【例6】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形翻折，使边AD
与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿D→C→B的方向在DC和
CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为C'，当点G恰好落在MN上时，点F
运动的距离为 ．
【变式6-1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD、
BC的中点，将△ADM沿AM所在直线折叠，使点D落到EF上点G处，已知BC＝4，则线段EG的长度为
．
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【变式6-2】（2023·河南南阳·校联考一模）【初步探究】
（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空： △EB'M △B' AN（“
≌”或“∽”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写
出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将
△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE,DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 ．
【变式6-3】（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）[问题解决]
（1）如图①，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F
恰好落在AD边上，请你判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
[问题探索]
（2）如图②，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F
在矩形纸片ABCD的内部，延长AF交CD于点G，求证：FG＝CG；
[拓展应用]
（3）如图③，在正方形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应
点F落在正方形纸片ABCD内，延长AF交CD于点G，若AB＝4，求线段FG的长．
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类型七 将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）
【例7】（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=7，BC=9，
M是BC上的点，且CM=2．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C
落在点C'处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2√5
AB 2
【变式7-1】（2023·四川巴中·校考一模）如图，在矩形ABCD中 = ．动点M从点A出发，沿边AD
BC 3
向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M
运动的速度为v ，点N运动的速度为v ，且v AD)，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落
在边DC上，点A的对应点为A'，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AE A'D是正方形．
【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的ΔA'DE为等腰三角形．现将图①中的点A'沿DC向右
平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么ΔPQF还是
等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】（3）在图②中，当QC=QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为
AD
QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则 = ___________．
AB
37
