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热点 07 相似三角形
中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为三类：
一、黄金分割及平行线分线段成比例（每年1道，3分）
二、相似三角形的判定与性质（每年1~2道，3~12分）
三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~14分）
相似三角形在中考数学中的地位永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是
应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、
填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途
径。基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。
考向一：平行线分线段成比例
【题型1 比例与比例线段】
满分技巧
1、比例的性质：
a:b=c:d⇔ad=bc
；
a:c=c:b⇔c2 =a⋅b
2、比例中项： ，此时，c为a、b的比例中项；
a,b,c,d a和b c和d
3、比例线段：在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线
a,b,c,d
段 叫做成比例线段简称比例线段；
1．（2023•金昌）若 ＝ ，则ab＝（ ）
A．6 B． C．1 D．
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2．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特
殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
3．（2023•甘孜州）若 ，则 ＝ ．
【题型2 黄金分割】
满分技巧
AB AC,BC(AC>BC) AC AB和BC
黄金分割：把线段 分成两条线段 ，且使 是 的比例中项，叫做把
√5−1
AC= AB
AB C AB 2 AB
线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，其中 ≈0.618 ．
1．（2023•广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种 0.618法应用了
（ ）
A．黄金分割数 B．平均数
C．众数 D．中位数
2．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于
点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点
E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
3．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近
点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则支撑点 C，D 之间的距离为
cm．（结果保留根号）
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【题型3 平分线分线段成比例】
满分技巧
AC BD
=
如图：AB∥CD∥EF⇔CF DE
1．（2023•常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接
BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N
就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，
BD＝3，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值
为 ．
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考向二：相似三角形的判定与性质
【题型4 相似三角形的性质】
满分技巧
相似三角形的性质有：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=
相似比的平方、对应周长之比=相似比。另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性
质的考察。
1．（2023•重庆）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（
）
A．4 B．9 C．12 D．13.5
2．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
3．（2023•无锡）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝3，点D在BC上，BE⊥AD交AC于点
E，ED的延长线与AB的延长线相交于点F，且△ABC∽△FBD，则BD＝ ．
【题型5 相似三角形的判定】
满分技巧
重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型；
相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相
等，对应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特
别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。
1．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩
形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点
M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．
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2．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，
且 ，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
3．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若
DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2023•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G，则
DG：EG＝ ．
5．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接
DE，EF，FD，已知点 B 和点 F 关于直线 DE 对称．设 ＝k，若 AD＝DF，则 ＝
（结果用含k的代数式表示）．
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6．（2023•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，
∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．
下列结论：①S△NPF ：S△NPC ＝FM：MC；②CM＝PN；③EN•CD＝EC•CF；④若EM＝1，MB＝4，
则PM＝ ．其中正确的是 ．
7．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
考向三：相似三角形的应用
【题型6 相似三角形的应用】
满分技巧
相似三角形在实际生活中的应用：
（一）建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常见题目类型：
1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解
2.测量底部可以到达的物体的高度
3.测量底部不可以到达的物体的高度
4.测量河的宽度
1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后
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向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼
睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆
高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
2．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离
树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线
BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高
（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知 CD⊥BD于点 D，EF⊥BD于点 F，
AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是
米．
3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的
高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点
A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶
B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
4．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最
为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组
决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为
AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和
GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到
D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝
4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据
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以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
5．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确
定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．
（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．
在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为 cm．
【题型7 位似变换】
满分技巧
位似图形满足的条件：
①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；
②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）
1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，
2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶
点C′的坐标是（ ）
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A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
2．（2023•遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，
格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
3．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，
相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
4．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和
△DEF的面积比是 ．
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（建议用时：40分钟）
1．（2023•雅安）如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线
于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（ ）
▱
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝
4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
3．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫
黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作
圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若
CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（ ﹣1）a B．（ ﹣2）a C．（ +1）a D．（ +2）a
4．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中
心作正方形PA A A ，正方形PA A A ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方
1 2 3 4 5 6
形PA A A 的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A （﹣2，1），A （﹣1，0），A （﹣2，﹣1），则顶点
1 2 3 1 2 3
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A 的坐标为（ ）
100
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
5．（2023•内江）如图，在△ABC 中，点 D、E 为边 AB 的三等分点，点 F、G 在边 BC 上，
AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，
，BF＝8，则DE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．（2023•威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使 DA边落在DC
边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形
HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（ ）
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A． ﹣1 B． ﹣1 C． +1 D． +1
8．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB
的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（
）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
9．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC
于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM
＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）
A．△AFE的面积 B．△BDF的面积
C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
10．（2023•泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，
交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 FG的长为半径作弧，两弧相交于点
H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于M、
N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED
＝ BC；④当AC＝2时，AD＝ ﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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11．（2023•南通）如图，△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE，则 ＝
．
12．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 位似，原点O是位似中心，且
1 1 1
＝3．若A（9，3），则A 点的坐标是 ．
1
13．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺
（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点 A，B，
Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，
AQ＝12m，则树高PQ＝ m．
14．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，
将△ABO缩小为原来的 ，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 ．
15．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
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则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2023•日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交
边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：
①EM＝EN；
②四边形MBND的面积不变；
③当AM：MD＝1：2时，S△MPE ＝ ；
④BM+MN+ND的最小值是20．
其中所有正确结论的序号是 ．
17．（2023•上海）如图，在梯形 ABCD 中 AD∥BC，点 F，E 分别在线段 BC，AC 上，且∠FAC＝
∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．
18．阅读下列材料，回答问题．
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走
向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意
可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角
的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下：
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝a m，BC＝b m；
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（ⅱ）分别在AC，BC上测得CM＝ m，CN＝ m；测得MN＝c m．
求解过程：
由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝ ，CN＝ ，
∴ ＝ ＝ ，又∵① ，
∴△CMN∽△CAB，∴ ．
又∵MN＝c，∴AB＝② （m）．
故小水池的最大宽度为***m．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是 ；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等
几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用 ， ， …表示；测量次数不超过4次（测量的
几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
α β γ
19．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；
（1）当AF＝DF时，求∠AED；
（2）求证：△EHG∽△ADG；
（3）求证： ．
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20．（2023•南京）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度 （0°＜ ＜180°），再将旋
转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换
θ θ
为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T（A，顺 ，k）；若逆时针旋转，记作T（A，逆 ，k）．
例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A BC ，再将△A BC 以点B为位似中心缩
θ 1 1 1 1 θ
小到原来的 ，得到△A BC ，这个变换记作T（B，逆50°， ）．
2 2
（1）如图②，△ABC经过T（C，顺60°，2）得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C．（保留作图
痕迹）
（2）如图③，△ABC经过T（B，逆 ，k ）得到△EBD，△ABC经过T（C，顺 ，k ）得到△FDC，
1 2
连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形．
α β
（3）如图④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形
AFDE是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出AE的长．
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（建议用时：45分钟）
1．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（
）
A．8 B．6 C．4 D．1
2．（2024•长沙模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024•鞍山模拟）如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成
立的是（ ）
A． B．AB•AD＝AE•AC
C． D．AD•DE＝AE•EC
4．（2023•宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全
等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（ ）
A．5 B．5 C．5 D．10
5．（2024•深圳模拟）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的
距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（ ）
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A．20cm B．25cm C．30cm D．
6．（2024•石家庄一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 ，△ADE的面积为4，则△ABC的面积
为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．16
7．（2024•南昌一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线
段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（ ，5） C．（3，5） D．（3，6）
8．（2023•潜山市模拟）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG∥BF，四边形
ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件（ ）
A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差
B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差
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C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差
D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差
9．（2024•应县一模）如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段 AE和BD相交于点C，点F在
AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度
数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
10．（2024•鞍山模拟）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C是位似关系图，则位似中心是（
）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
11．（2023•南岳区一模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成
一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重
叠也无缝隙，其中A，B，C的纸片的面积分别S ，S ，S ，若S ＞S ＞S ，则这个矩形的面积一定可以
1 2 3 1 2 3
表示为（ ）
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A．4S B．6S C．4S +3S D．3S +4S
1 2 2 3 1 3
13．（2023秋•包河区期中）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上， ，DE∥BC，EF∥AB，点M
是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N， 的值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024•深圳模拟）若 ，则 的值为 ．
15．（2024•鞍山模拟）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交
于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为 ．
16．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心、BA为半径画劣弧 交射线
CB于点D，M为 的中点，联结CM、AD，CM分别交AB、AD于点E、F，如果点B是线段CD的黄
金分割点，则cos∠ABC＝ ．
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17．（2024•雁塔区校级二模）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准
对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号
“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点P ，P ，O在一条直线上为止．这时我们
1 2
说，在D 处用①号“E”测得的视力与在D 处用②号“E”测得的视力相同．
1 2
（1）探究图中 与 之间的关系，请说明理由；
（2）若b ＝3.2cm，b ＝2cm，①号“E”的测量距离l ＝80cm，要使测得的视力相同，求②号“E”
1 2 1
的测量距离l ．
2
18．（2024•青山湖区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，点D关于直线AB对称点
为E，连接DE交AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠C＝50°，则∠EBF＝ °，∠BDE＝ °；
（2）如图2，若∠C＝45°，求证： ．
19．（2023•西安三模）党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提出的
“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断
推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该
市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该
桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选
出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝210
米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥
AF的长度．
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20．（2024•鞍山模拟）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA
的延长线与CN交于点P，若AM＝3， ．
（1）求证：△ABM∽△CBN；
（2）求AP的长．
21．（2023•顺德区一模）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE
于F点，交AC于H点，交CD于G点．
（1）求证：△BGC∽△DGF；
（2）求证：GD•AB＝DF•BG；
（3）若点G是DC中点，求 的值．
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