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重难点突破13 多元函数最值问题
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、
齐次式等解题技能．
题型一：消元法
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足 ，则 的最大值为______.
【答案】 /
【解析】由 得 ，所以 ，则 ，
因为 ， ， ，所以 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以由 ，即 ，得 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 的最大值为 ．
故答案为： ．
例2．（2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数 满足：
，则 的最大值为___________.
【答案】
【解析】由已知得， ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2又因为 ，
所以
，
，
令
所以 ，
则当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 .
故答案为： .
例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数 ,不等式 恒成
立,则实数 的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为对任给实数 ,不等式 恒成立，
所以 ，
令 ，则 ，
，
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得最小值， ，
所以实数 的最大值为
故答案为：
题型二：判别式法
例4．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若 ， ，则当 ______时，
取得最大值，该最大值为______.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3【答案】 / /
【解析】令 ，则 ，
则 ，
即 ，
由 ，解得： ，
故 ，
故 ，解得： ， ，
所以当且仅当 ， 时，等号成立，
故答案为： ，
例5．（2023·全国·高三竞赛）在 中， ，则 的最大值为
_______________．
【答案】
【解析】令 ，则 ，即 ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ，
，
化简得 ，
于是 ，得 ，
所以 的最大值为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4故答案为： .
例6．（2023·高一课时练习）设非零实数a，b满足 ，若函数 存在最大值M和最小值
m，则 _________.
【答案】2
【解析】化简得到 ，根据 和 得到 ，解得答案. ，
则 ，则 ，
即 ， ，故 ，
，即 ，即 ，
.
故答案为：2.
变式1．（2023·江苏·高三专题练习）若正实数 满足 ，则 的最大值为
________．
【答案】
【解析】令 ，则 ，即 ，因
此
，解得： ，当 时，
，因此 的最大值为
故答案为：
变式2．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，则
___________.
【答案】4
【解析】令 =d，由 消去a得： ，即 ，
而 ， ，则 ， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5依题意 ，解得 .
故答案为：4
题型三：基本不等式法
例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数 的最大值是_____.
【答案】
【解析】引入正参数λ、μ.
因为 ， ，所以，
， .
两式相加得 .
令 ，得 ，
故 .
因此， 的最大值为 .
例8．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数 满足 ，则
的最大值为________.
【答案】
【解析】由 ，得 ，
设 ，其中 .
则 ，从而 ，
记 ，则 ，
不妨设 ，则 ,
当且仅当 ，即 时取等号，即最大值为 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6故答案为： .
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正数 ，则 的最大值为_________．
【答案】
【解析】 （当且仅当 ，
时取等号），
的最大值为 .
故答案为： .
题型四：辅助角公式法
例10．（2023·江苏苏州·高三统考开学考试）设角 、 均为锐角，则 的范围是
______________．
【答案】
【解析】因为角 、 均为锐角，所以 的范围均为 ，
所以 ，
所以
因为 ，
所以 ，
，
当且仅当 时取等，
令 ， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7所以 .
则 的范围是： .
故答案为：
例11． 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
则 ，
所以 ，（当且仅当 即 时取等）；
且 ，（当且仅当 即 时取等）．
故 的取值范围为 ．
题型五：柯西不等式法
例12．（2023·广西钦州·高二统考期末）已知实数 ， ，（i＝1，2…，n），且满足
， ，则 最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】根据柯西不等式， ，故
，又当 时等号成立，故 最大值
为1
故选：A
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8例13．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 的
最小值为______.
【答案】10
【解析】由柯西不等式可得 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 即 也即 时取得等号，
故答案为：
例14．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）已知 ， ，则
的最小值为______.
【答案】9
【解析】∵
∴ ,当且仅当 时等号成立，即 ，
∵
，当且仅当 时等号成立，可取
故答案为：9
变式3．（2023·全国·高三竞赛）已知 、 、 ，且 ，
，则 的最小值为.
A． B．
C．36 D．45
【答案】C
【解析】由 ，
.
知 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9当 时，取得最小值36.
故答案为C
变式4．（2023·全国·高三竞赛）设 为实数，且 .则 的最
大值等于.
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，所以
(利用柯西不等式）.
从而， .
故 .
当且仅当 ， ， ， 时，等号成立.
题型六：权方和不等式法
例15．（2023·甘肃·高三校联考）已知x>0，y>0，且 ，则x+2y的最小值为____________ .
【答案】
【解析】设 ，
可解得 ，
从而
，
当且仅当 时取等号.
故答案为： ．
例16．已知实数 满足 且 ，则 的最小值是
【答案】
【解析】 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10当 时， 取等号．
例17．已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】8
【解析】 ，
当 时，即 ，两个等号同时成立．
变式5．已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】 ．
即当 时，即 ，有 的最小值为 ．
题型七：拉格朗日乘数法
例18． ， ， ，求 的最小值．
【解析】令
， ， ，
联立解得 ， ， ，故 最小为12．
例19．设 为实数，若 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】令 ，
由 ，解得 ，
所以 的最大值是 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11题型八：三角换元法
例20．（2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）已知函数 ，若
，则 的最大值是________
【答案】
【解析】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)= ,
所以
所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，
由题得 ，
所以函数g（x）是减函数，
因为 ，
所以 ，
所以g =0,
所以g =g(1- ,所以
不妨设 ，
所以 =
= ，所以 的最大值为 .
故答案为
例21．（2023·浙江温州·高一校联考竞赛） ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】根据条件等式可设 ，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化
简，根据三角函数的性质可求出最值. ，则 ，即
，
设 ，则 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12，其中 是辅助角，且 ，
当 时，原式取得最小值为 .
故答案为： .
题型九：构造齐次式
例22．（2023·江苏·高一专题练习）已知 ， ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】由题意，
，
设 ，则 ，当且仅当 ，即 取等号，
又由 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，即 ，
所以 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13所以 的最大值是 .
故答案为： .
例23．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数 ，若 ，则 的最小值
为（ ）
A．12 B． C． D．8
【答案】A
【解析】由 ， ， ，
所以
，
当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为：12，
故选：A.
例24．（2023·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足 ，则 的最大值为
____________．
【答案】 /0.25
【解析】由 ，得 ，
∵正实数a，b，c
∴则
则 ，
当且仅当 ，且a，b>0，即a=3b时，等号成立
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14则
所以， 的最大值为 .
故答案为： .
题型十：数形结合法
例25．（2023·全国·高三专题练习）函数 （a， ）在区间[0，c]（ ）上的最大值
为M，则当M取最小值2时， _____
【答案】2
【解析】解法一：因为函数 是二次函数，
所以 （a， ）在区间[0，c]（ ）上的最大值是在[0，c]的端点取到或者在
处取得．
若在 取得，则 ；若在 取得，则 ；
若在 取得，则 ；
进一步，若 ，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；
若 ，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；
由此推断 ，即有 ， ，
于是有 ．
解法二：设 ， ，则 ．
首先作出 在 时的图象，显然经过（0，0）和 的直线为 ，该曲线在[0，c]
上单调递增；
其次在 图象上找出一条和 平行的切线，
不妨设切点为 ，于是求导得到数量关系 ．
结合点斜式知该切线方程为 ．
因此 ，即得 ．此时 ，
即 ，那么 ， ．从而有 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15例26．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数 ，若 且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
求导 ，令 ，得
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
作分段函数图象如下所示：
设点 的横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交函数 于另一点 ，设点 的横坐标为 ，并过点
作直线 的平行线 ，设点 到直线 的距离为 ， ，
由图形可知，当直线 与曲线 相切时， 取最大值，
令 ，得 ，切点坐标为 ，
此时， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16，
故选：D
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 的横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交函数 于另一点 ，设点 的横坐标为 ，
并过点 作直线 的平行线 ，设点 到直线 的距离为 ，计算出直线 的倾斜角为 ，可得出
，于是当直线 与曲线 相切时， 取最大值，从而 取到最大值.当 时，
，
求导 ，令 ，得
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
如下图所示：
设点 的横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交函数 于另一点 ，设点 的横坐标为 ，并过点
作直线 的平行线 ，设点 到直线 的距离为 ， ，
由图形可知，当直线 与曲线 相切时， 取最大值，
令 ，得 ，切点坐标为 ，
此时， ， ，
故选：B.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17变式6．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数 若存在实数 ， 满足
，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的图象如下
存在实数 ， 满足 ，且 ，即
∴ ，则
令 ， ，则
∴ 在 上单调递增，故
故选：B
题型十一：向量法
例28．（2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾
提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，
现已证明：在 中，若三个内角均小于 ，则当点P满足 时，点P
到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知 为平面内任意一个向
量， 和 是平面内两个互相垂直的向量，且 ，则 的最小值是
_____________．
【答案】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18【解析】以 为x轴， 为y轴，建立直角坐标系如下图，设 ，
则 ， ，
即为平面内一点 到 三点的距离之和，
由费马点知：当点 与三顶点 构成的三角形ABC为费马点时
最小，
将三角形ABC放在坐标系中如下图：
现在先证明 的三个内角均小于 ：
， ，
，
为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为 是等腰三角形，
点P必定在底边BC的对称轴上，即y轴上， ，
，即 ，
现在验证 ：
，
， ，同理可证得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19即此时点 是费马点，到三个顶点A，B，C的距离之和为
，即 的最小值为 ；
故答案为： .
例29．（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】令 ， ， ， 中点为 ， 中点为 ， 为 的中点，
由 ， ， ，得 ，
则 ， 即 ，所以
，所以 ，即 ，
，所以 ，因为
，所以 ，即 ，所以 ，
所以点 的轨迹为以 为直径的圆，
，
当且仅当 、 、 共线且 在线段 之间时取等号．
的最小值为 ．
故答案为： ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 20例30．（2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知向量 ， 满足 ，
，则 的最大值为__________．
【答案】 /
【解析】取平行四边形 ，连接
设 ，则 ，
因为向量 ， 满足 ，所以 ，即 ，
设 ， ，如图以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则
所以 ，则 ，故
，
所以
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21因为 ，又 ，可设
即 ，所以 ，其中
，所以 ，所以 ，
故 的最大值为 ，即 的最大值为 .
故选： .
题型十二：琴生不等式法
例31．（2023·福建龙岩·高三校考阶段练习）若函数 的导函数 存在导数，记 的导数为
．如果对 ，都有 ，则 有如下性质：
．其中 ， ， ， ， .若 ，
则在锐角 中，根据上述性质推断： 的最大值为________.
【答案】 / .
【解析】 ，则 ， .
在锐角 中， ， ， ，
则
∴ ，
∴ 的最大值为 .
故答案为： .
例32．（2023·全国·高三竞赛）半径为 的圆的内接三角形的面积的最大值是______．
【答案】
【解析】设 的内接三角形为 ．
显然当 是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值（因为若 是钝角三角形，可将钝角（不妨
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22设为 ）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为 ）．
因此， ．
下面设 ， ， ， ．
则 ．
由讨论知可设 、 、 ，而 在 上是上凸函数．
则由琴生不等式知 ．
所以， ．
当且仅当 是正三角形时，上式等号成立．
故答案为
例33．（2023·北京·高三强基计划）已知正实数a，b满足 ，求 的最小值．
【解析】设 ，则 ，
从而 ，故 在 下凸，
因此 ，即 ,
当且仅当 时等号成立．所以 的最小值为华 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 23
