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第 3 讲 统计与成对数据的分析
[考情分析] 高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总
体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，中等难度．
考点一 统计图表
核心提炼
1．频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.
2．在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数．
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以
小长方形底边中点的横坐标之和．
例1 (1)(多选)(2022·湖北八市联考)某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的 1 000名学生
的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5
组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A．图中的x值为0.020
B．这组数据的极差为50
C．得分在80分及以上的人数为400
D．这组数据的平均数的估计值为77
(2)(多选)(2022·张家口模拟)2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会
期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》(以下简称《宣
言》)．承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方计划建立“21
世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》
要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示，
经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，预计该地区( )
A．2030年煤的消费量相对2020年减少了
B．2030年天然气的消费量是2020年的5倍
C．2030年石油的消费量相对2020年不变
D．2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍
易错提醒 (1)对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义．
(2)频率分布直方图中纵坐标不要误以为是频率．
跟踪演练1 (1)(多选)(2022·潍坊模拟)某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大
学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图．则下列说法中正确的是( )
A．甲得分的30%分位数是31
B．乙得分的众数是48
C．甲得分的中位数小于乙得分的中位数
D．甲得分的极差等于乙得分的极差
(2)(多选)(2022·广东六校联考)2021年1月11日，国家统计局发布2020年全国居民消费价格
指数(CPI)相关数据，指出2020年较好地实现了“居民消费价格涨幅3.5%左右”的物价调控
目标.2020年全国居民消费价格涨跌幅如折线图所示，则( )
A．从环比看，CPI由2020年11月份的环比下降0.6%在12月份转为环比上涨0.7%
B．2020年1月份CPI同比增长最多C．2020年CPI环比上涨的月份数比下跌的月份数多
D．2020年全年CPI同比平均比2019年上涨约2.5%
考点二 回归分析
核心提炼
求经验回归方程的步骤
(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略)．
(2)计算出，，a，b.
(3)写出经验回归方程．
例2 (2022·湖南六校联考)为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台
决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2022年7月
10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2022年7月10
日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位：
万人)的数据如下表：
日期 7月10日 7月11日 7月12日 7月13日 7月14日
第x天 1 2 3 4 5
人数y(单位：万人) 75 84 93 98 100
(1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台直播的第x天与到该电商平台专营店购物的人
数y(单位：万人)是否具有较高的线性相关程度？(注：若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般，
若|r|>0.75，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01)
(2)求购买人数y与直播的第x天的经验回归方程；用样本估计总体，请预测从 2022年7月
10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位：万人)．
附：(y－)2＝434，(x－)(y－)＝64，≈65.879.
i i i
样本相关系数r＝，
经验回归方程的斜率b＝，
截距a＝－b.
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易错提醒 (1)样本点不一定在经验回归直线上，但点(，)一定在经验回归直线上．
(2)求b时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆．
(3)利用样本相关系数判断相关性强弱时，看|r|的大小，而不是r的大小．(4)区分样本相关系数r与决定系数R2.
(5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值．
跟踪演练2 (1)(多选)(2022·汕头模拟)如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说
法正确的是( )
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．决定系数R2变小
D．解释变量x与响应变量y的相关性变强
(2)(多选)(2022·重庆模拟)某种产品的价格x(单位：元/kg)与需求量y(单位：kg)之间的对应数
据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得经验回归方程y＝bx＋14.4，则下列正确的是( )
A．样本相关系数r>0
B.b＝－0.32
C．若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg
D．第四个样本点对应的残差为－0.4
考点三 独立性检验
核心提炼
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列2×2列联表．
(2)根据公式χ2＝，计算χ2的值．
(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断．χ2越大，对应假设事件H 成立(两类变量
0
相互独立)的概率越小，H 不成立的概率越大．
0
例3 (2022·济宁模拟)为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模
式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生
占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%.学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下
2×2列联表：
不适应寄宿生活 适应寄宿生活 合计
男生
女生
合计
(1)请将2×2列联表补充完整，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，是否可以推断适应
寄宿生活与否与性别有关；
(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10
人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为X，求随机变量X的分
布列及均值．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.025 0.010 0.001
x 5.024 6.635 10.828
α
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易错提醒 (1)χ2越大两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格查得
无关的可能性．
(2)在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能
性为0.01.
跟踪演练3 (2022·河北联考)《2021新锐品牌数字化运营白皮书》中，我国提出了新锐品牌
的概念，全称是国货新锐品牌．对这个名称进行拆解：国货、新、锐．新有两个层面，一是
针对企业本身，指2011年后成立的品牌．二是针对消费者本身，开拓了新的消费场景(需
求)，形成了细分化的品类．锐：是在短期内实现大大高于传统品牌的爆发式增长，并且占
据了一定的消费者心智．如图是11月份中国某信息网发布的我国A市2021年上半年新锐品
牌人群用户(新锐品牌人群，指在指定周期内浏览新锐品牌相关内容以及商品详情页的人群)
性别分析数据．A市从购买家电类新锐品牌人群中随机调查了100位男性顾客和100位女性
顾客，统计出每位顾客购买家电消费金额，根据这些数据得到如图所示的频数分布表：[0， (100，1 (1 000，5 (5 000，10 (10 000，＋
消费金额(元)
100] 000] 000] 000] ∞)
女性顾客人数 50 30 10 6 4
男性顾客人数 20 40 24 10 6
(1)若以我国A市2021年上半年新锐品牌人群用户性别分析数据作为A市抽取新锐品牌人群
性别概率，从A市新锐品牌人群中随机抽取四人，X为四人中男性的人数，求X的概率分布
列和均值；
(2)根据A市统计购买家电消费金额数据频数分布表，完成下列2×2列联表，并依据小概率
值α＝0.010的独立性检验，分析购买家电类新锐品牌人群消费金额千元以上是否与性别有
关？
不超千元 千元以上 合计
女性顾客
男性顾客
合计
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
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