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微重点 16 椭圆、双曲线的二级结论的应用
椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基
础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、
准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃
而解．
考点一 焦点三角形
核心提炼
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F，F 且∠FPF＝θ，
1 2 1 2
则椭圆中 ＝b2·tan ，
双曲线中 ＝.
例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F ，F ，其离心率
1 2
为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠FPF ＝，已知△FPF 的内切圆的面积为3π，则该
1 2 1 2
椭圆的长轴长为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义．
(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．
跟踪演练1 如图，F，F 是椭圆C ：＋y2＝1与双曲线C 的公共焦点，A，B分别是C ，C
1 2 1 2 1 2
在第二、四象限的公共点．若四边形AFBF 为矩形，则C 的离心率是( )
1 2 2
A. B.
C. D.
考点二 焦半径的数量关系
核心提炼焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＋＝，同理，双曲线中，
＋＝.
例2 已知双曲线C的左、右焦点分别为F(－，0)，F(，0)，过F 的直线与C的右支交于
1 2 2
A，B两点．若AF2＝2F2B，|AB|＝|FB|，则双曲线C的方程为______________．
1
易错提醒 公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立．
跟踪演练2 已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F 的直线交椭圆于A，B两点，且|AF|＝2，则|
2 2
AB|＝________，cos∠FAB＝__________.
1
考点三 周角定理
核心提炼
周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则
椭圆中k ·k ＝－，双曲线中k ·k ＝.
PA PB PA PB
例3 已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M ，M ，…，M 是AB的六等分
1 2 5
点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P ，P ，…，P ，则直线
1 2 10
AP，AP，…，AP ，这10条直线的斜率乘积为( )
1 2 10
A．－ B．－
C. D.
规律方法 周角定理的推广：A，B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P为椭圆
(双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中k ·k ＝－，双曲线中k ·k ＝.
PA PB PA PB
跟踪演练3 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，上、下顶点分别为A，B，直
1 2
线AF 与该椭圆交于A，M两点，若∠FAF＝90°，则直线BM的斜率为( )
2 1 2
A. B.
C．－1 D．－
考点四 过圆锥曲线上点的切线方程
核心提炼
已知点P(x ，y)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中
0 0
＋＝1，双曲线中－＝1.
例4 已知椭圆C：＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1
