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北师九年级数学(下册)
第一章综合训练
(考查范围:第一章 直角三角形的边角关系)
第 题图 第 题图 第 题图
第 题图 第 题图 第 题图
１１ １２ １３
满分:
１２０
分 训练时间:
１００
分钟
７ ８ ９ ．如 图 在 菱 形 ABCD 中 对 角 线 AC BD 相 交 于 点O．若
．如图 小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离 １２ , , ,
一、选择题 每小题 分 共 分 下列各小题均有四个选项 其 ８ , ,
( ３ , ３０ ) , 他在对面楼房处放置一个 的标杆CD 然后他在A处测 BAC １AC 则BD的长是 ．
中只有一个是正确的． ３m , tan∠ ＝ , ＝６, ２
３
１
．
tan６０°
的值为
(B )
得C点的俯角
β
为
５３°,
再测得D点的俯角α为
４５°,
则两幢
１３
．如图
,
在
△
ABC中
,
AB
＝
BC
,
以点A为圆心
,
AC长为半径画
A．１ B．３ C．２ D．２３
楼房之间的水平距离大约为
(
参考数据
:sin５３°≈
４
,cos５３°≈
弧
,
交BC于点C和点D
,
再分别以点C
,
D为圆心
,
大于１CD
．如图 在 ABC中 C B AB 则BC ５ ２
２ , Rt△ ,∠ ＝９０°,∠ ＝４０°, ＝１０, 的长为半径画弧 两弧相交于点E 作射线AE交BC于点M．
的长是 ３ ４ , ,
(B ) ,tan５３°≈ ) (D )
５ ３
若CM BD 则 B ３ ．
１０ ＝１, ＝３, sin ＝
A．１０sin４０° B．１０cos４０° C．１０tan４０° D． A．９．７５m B．９．５m C．９２．５m D．９m ５
sin４０° ．如图 ABC的顶点在正方形网格的格点处 则 C 的 ．如图 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具 古代科学家徐
９ ,△ , tan １４ ①, ,
光启在 农政全书 中曾用图画描绘过它 它的简化图如图 所
值为
(C ) « » , ②
示．若AB ACBC AD ． CAB 则CD
＝ , ＝１m, ＝１２m,∠ ＝４０°,
１ ２ １ 的长约为 ． ．结果精确到 ． 参考数据 ．
A． B． C． D．１ ２７ m ( ０１, :sin７０°≈０９４,
第 题图 第 题图 第 题图 ２ ２ ３
． ．
２ ４ ６ ．如图 在 ABC中 ACB CE 是斜边AB 上的 cos７０°≈０３４,tan７０°≈２７５)
．在 ABC中 C AC BC 则 B的值为 １０ , Rt△ ,∠ ＝９０°,
３ Rt△ ,∠ ＝９０°, ＝１, ＝３, sin 中线 过点E 作EF AB 交AC 于点F．若BC
, ⊥ ＝４,
(C )
CEF ３ 则 AEF的面积为
１ １０ ３ １０ sin∠ ＝ , △ (C )
A．３ B． C． D． ５
３ １０ １０
４
．如图
,
点P 在第二象限
,
OP 与x轴负半轴的夹角是α
,
且 A．３ 第 题图 第 题图
１４ １５
OP ＝５,cos α ＝ ３ , 则点P的坐标是 (B ) B．４ １５ ．如图 , 在 △ ABC 中 ,∠ ACB ＝９０°,∠ A ＝３０°, BC ＝１, CD 是
５ C．５ ABC的中线 E是AC上一动点 将 AED 沿ED 折叠 点
△ , , △ ,
A．(３,４) B．(－３,４) A落在点F处 EF与CD 相交于点G．若 CEG是直角三角
D．６ , △
C．(－４,３) D．(－３,５) 解析 如图 连接BF．在 ABC中 CE是斜边AB上的中线 CE
【 】 , Rt△ ,∵ ,∴ ＝ 形 则CE ３－１或 ３ ．
５ ．在 △ ABC中 ,sin B ＝cos(９０°－∠ C )＝ １ , 那么 △ ABC是 AE ＝ BE． ∴∠ ACE ＝∠ A , S △ABF＝２ S △AEF ． ∵ AE ＝ BE , EF ⊥ AB ,∴ EF垂直平 , ＝ ２ ３
２ 分AB ,∠ AEF ＝９０° ． ∴ AF ＝ BF． ∴∠ ABF ＝∠ A． ∵∠ CBF ＝１８０°－∠ ACB － 三、解答题 本大题共 个小题 共 分
( ８ , ７５ )
(A ) ∠ ABF －∠ A ＝９０°－２∠ A ,∠ CEF ＝１８０°－∠ AEF －∠ ACE －∠ A ＝９０°－
等腰三角形 等边三角形 ． 分 计算 ２ １ ．
A． B． ２∠ A ,∴ ∠ CBF ＝ ∠ CEF． ∴sin∠ CBF ＝sin∠ CEF ＝ ３．在 Rt△ CBF中 , １６(８ ) :３tan３０°－cos４５°＋ cos６０° －２sin６０°
直角三角形 等腰直角三角形 ５
６ ． C 如 ． 图 , AD 是 △ ABC的高 , 若BD D ＝ ． ２ CD ＝６,tan C ＝２, 则 sin∠ CBF ＝B C F F ＝ ３ ５ ,∴ 设CF ＝３ a ( a ＞０), 则BF ＝５ a． ∵ BC２ ＋ CF２ ＝ BF２, 即 解 : 原式 ＝３× ３ － ( ２ ) ２ ＋２－２× ３ ＝ ３－ １ ＋２－ ３＝ ３．
３ ２ ２ ２ ２
sin B ＝ (B ) ４ ２ ＋(３ a )２ ＝(５ a )２,∴ a ＝１ ． ∴ CF ＝３, BF ＝５,∴ AF ＝ BF ＝５ ． ∴ S △AEF＝ １ ２ S △ABF＝ １７ ． (８ 分 ) 在 Rt△ ABC中 ,∠ C ＝９０°, BC ＝８,∠ B ＝６０°, 求这个三
角形的其他元素．
１ ２ １ ２ １ １AF BC １ １ ．
× ＝ × ×５×４＝５
A． ２ B． ２ C． ３ D． ３ ２ ２ ２ ２ 解 在 ABC中 C B
二、填空题 每小题 分 共 分 : Rt△ ,∵∠ ＝９０°,∠ ＝６０°,
７ ．一副直角三角板按如图所示的方式放置 , 点A在ED上 ,∠ F ＝ ( ３ , １５ ) BC
A B AB ８
ACB E B AC 则BD ．某河堤横截面如图所示 堤高AC 迎水坡AB的坡 ∴∠ ＝９０°－∠ ＝３０°, ＝ A＝ ＝１６,
∠ ＝９０°,∠ ＝３０°,∠ ＝４５°, ＝１２, ＝ (B ) １１ , ＝４m, sin sin３０°
比是 则AB的长为 ． AC BC B ．
A．３ B．１２－４３ C．１２ D．４＋４３ １∶２, ４５ m ＝ tan ＝８tan６０°＝８３
数学 ８５ 北师九年级·下册
－ －
． 分 如图 某建筑物CD高 它的前面有一座小山 ． 分 图 是某住宅单元楼的人脸识别系统 整个头部需在摄
． 分 如图 ABC的斜边AB A ３． ２１(１０ ) , ９６m, , ２３(１２ ) ① (
１８(８ ) ,Rt△ ＝１０,sin ＝
５
其斜坡AB的坡度为i ．为了测量山顶A的高度 在建 像头视角范围内才能被识别 其示意图如图 摄像头A的仰
＝１∶１ , ), ②,
用尺规作图作线段AB 的垂直平分线l 分别交AC
(１) , , 筑物顶端D处测得山顶A和山脚B的俯角分别为αβ．已 角 俯角均为 摄像头高度OA 识别的最远水平距
, 、 １５°, ＝１６０cm,
AB于点DE 保留作图痕迹 不要求写作法 证明
, ( , 、 ); 知 α β 求山顶A的高度AE 点CBE在 离OB ．
tan ＝２,tan ＝４, ( , , ＝１５０cm
求DE的长．
(２) 同一水平线上 ． 身高 的小杜 头部高度为 他站在距摄像头水
) (１) ２０８cm , ２６cm,
解 如图所示．
:(１) 解 如图 过点A作AF CD 垂足为F． 平距离为 的点C处 请问小杜最少需要下蹲多少厘
: , ⊥ , １３０cm ,
BC
AB A ３ ３． 设AE x ． 米才能被识别
(２)∵ ＝１０,sin ＝ ,∴AB＝ ＝ m ?
５ ５ 斜坡AB的坡度为i BE AE x ．
∵ ＝１∶１,∴ ＝ ＝ m 身高 的小若 头部高度为 踮起脚尖可以增高
∴
BC
＝６
．
∴
AC
＝
AB２
－
BC２
＝８
．
在 BDC中 C CD DBC β (２) １２０cm , １５cm,
BC Rt△ ,∵∠ ＝９０°, ＝９６m,∠ ＝ , 但仍无法被识别 社区及时将摄像头的仰角 俯角都
A ６ ３． CD ３cm, , 、
∴tan ＝AC＝ ＝ BC ９６ ．
８ ４ ∴ ＝ β＝ ＝２４(m) 调整为 如图 此时小若能被识别吗 请计算说明．
tan ４ ２０°( ③), ?
∵ l是AB的垂直平分线 ,∴ AE ＝ BE ＝ １AB ＝５ ． ∴ CE ＝ BE ＋ BC ＝( x ＋２４)m ． 参考数据 ． ． ．
２
易知四边形AECF是矩形
( :sin１５°≈０２６,cos１５°≈０９７,tan１５°≈０２７,
在 Rt△ ADE中 ,tan A ＝A D E E , 即 DE ＝ ３ ,∴ DE ＝ １５． AF CE x CF , AE x ． sin２０°≈０ ． ３４,cos２０°≈０ ． ９４,tan２０°≈０ ． ３６)
５ ４ ４ ∴ ＝ ＝(＋２４)m, ＝ ＝ m
在 ADF中 AFD DAF α
Rt△ ,∵∠ ＝９０°,∠ ＝ ,
． 分 动感单车是一种室内运动器械．图 是一辆动感单车 DF AF α x ．
１９(９ ) ① ∴ ＝ tan ＝２(＋２４)m
的实物图 图 是其侧面示意图．BCD 为主车架 AB 为 又 ∵ DF ＝ CD － CF ＝(９６－ x )m,
, ② △ ,
x x 解得x ．AE ．
调节管 点A BC在同一直线上．已知BC 长为 ∴２(＋２４)＝９６－ , ＝１６∴ ＝１６m
, , , ７０cm, 答 山顶A的高度AE为 ．
BCD的度数为 ．当AB长度调至 时 求点A到 : １６m
∠ ５８° ３４cm ,
解 如图 过点C作水平线的垂线 分别交仰角线 俯角线于点DE
CD的距离AE的长度．结果取整数 参考数据 :(１) ②, , 、 , ,
( , :sin５８°≈
交水平线于点F．
． ． ．
０８５,cos５８°≈０５３,tan５８°≈１６０) 易得四边形AOCF是矩形
,
解 AC AB BC ．
在 : Rt△ ＝ ACE ＋ 中 , AE ＝３ ＝ ４ A ＋ C ７０ ＝１０４(cm) ２２ ． (１０ 分 ) 如图 , 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB ＝９０°, AC ＝ BC ＝３, 点 ∴ CF ＝ OA ＝１６０cm, AF ＝ OC D ＝ F １３０cm ．
BCD ． D在边AC上 且AD CDDE AB于点E 连接CE． 在 ADF中 DAF
sin∠ ＝１０４sin５８°≈８８(cm) , ＝２ , ⊥ , Rt△ ,tan∠ ＝AF,
答 点A到CD的距离AE的长度约为
: 求BE的长
DF AF DAF ． ．
． (１) ; ∴ ＝ tan∠ ＝１３０tan１５°≈３５１(cm)
８８cm
求 ECB的值． CD CF DF ． ． ． ． ．
(２) tan∠ ∴ ＝ ＋ ＝１６０＋３５１＝１９５１(cm),２０８－１９５１＝１２９(cm)
２０ ． (１０ 分 ) 如图 , 为了测量河对岸A , B两点间的距离 , 数学综 解 :(１) 在 Rt△ ABC中 , 由勾股定理得 , ∴ 小杜最少需要下蹲 １２ ． ９cm 才能被识别．
如图 过点B作OB的垂线 分别交仰角线 俯角线于点M N 交水
合实践小组在河岸南侧选定观测点C 测得AB均在C的 AB AC２ BC２ ２ ２ ． (２) ③, , 、 , ,
, , ＝ ＋ ＝ ３＋３ ＝３２ 平线于点P．
北偏东 ３０° 方向上 , 沿正东方向行走 ６０m 至观测点D , 测得 ∵ AC ＝３, AD ＝２ CD ,∴ AD ＝２ ． 易得四边形AOBP是矩形
ABC是等腰直角三角形 ,
B在D的北偏西 方向上 A在D 的北偏西 方向上 ∵△ ,
AP OB BP OA ．
６０° , ２１° , BAC ABC ． ∴ ＝ ＝１５０cm, ＝ ＝１６０cm
求AB两点间的距离．结果取整数 参考数据 ∴∠ ＝∠ ＝４５° NP
, ( , :sin３９°≈ 在 APN中 NAP
AE AD BAC ． Rt△ ,tan∠ ＝AP,
． ． ． ． ∴ ＝ cos∠ ＝２cos４５°＝ ２
０６３,cos３９°≈０７８,tan３９°≈０８１,sin５１°≈０７８,cos５１°≈ NP AP NAP ．
BE AB AE ． ∴ ＝ tan∠ ＝１５０tan２０°≈５４(cm)
∴ ＝ － ＝３２－ ２＝２２
． ． ． BN BP NP ．
０６３,tan５１°≈１２３,３≈１７３) 如图 过点E作EF BC于点F 则 EFB ． ∴ ＝ － ＝１６０－５４＝１０６(cm)
解 由题意得 BCD BDC CD (２) , ⊥ , ∠ ＝９０° 小若踮起脚尖后头顶离地面的高度为
: ∠ ＝６０°,∠ ＝３０°, ＝ EBF ∵ １２０＋３＝１２３(cm),
６０m,∴∠ CBD ＝∠ ABD ＝９０° ． ∵∠ ＝４５°, ∴ 此时小若头顶超出点N的高度为 １２３－１０６＝１７(cm) ．
∴ BD ＝ CD cos∠ BDC ＝６０cos３０°＝３０３(m) ． ∴ EF ＝ BE sin∠ EBF ＝２ ２sin４５°＝２, BF ＝ BE cos∠ EBF ＝ 而 １７cm＞１５cm,∴ 踮起脚尖时小若能被识别．
易知 ADC
∠ ＝９０°－２１°＝６９°, ．
２２cos４５°＝２
ADB ADC BDC ．
∴∠ ＝∠ －∠ ＝６９°－３０°＝３９° EF
AB BD ADB ． CF BC BF ． ECB ．
∴ ＝ tan∠ ＝３０３tan３９°≈４２(m) ∴ ＝ － ＝３－２＝１∴tan∠ ＝CF＝２
答 AB两点间的距离约是 ．
: , ４２m
数学 ８６ 北师九年级·下册
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