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专题 29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
A A
Q Q
B P C B P N M C
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN
始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始
位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
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【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为
其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一
点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（
）
A．24 B．22 C．20 D．18
例2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点．
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ．
例3．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，点E在
线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接
DF，则线段DF长度的最小值为______．
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例4．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F
为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
例5．（2023·陕西·西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变
量t的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为 ，
将点 代入得： ，整理得
∵t为任意实数，等式恒成立，∴ ， ∴ ，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是直
线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知 ， ，且 ， ，则点C
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的坐标为_________．
结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是直线 上的一个动点，连接
，过点P作 ，且 ，连接 ，求线段 的最小值．
例6．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形 中， ，E、F分别是边 上的动点，
连接 ，G、H分别为 的中点，连接 ．若 的最小值为3，则 的长为__________．
例7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在 中， ．P为边 上一动点，
作 于点D， 于点E，则 的最小值为 ．
例8．（2023·安徽合肥·校考一模）如图， 中， ， ，点D是边 上一动
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点，以点A为旋转中心，将 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ，则 的长的最小值为
（ ）
A． B． C．1 D．
课后专项训练
1．（2021·四川广元·中考真题）如图，在 中， ， ，点D是 边的中点，
点P是 边上一个动点，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．则 的最小
值是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形 中， ， ，E为 上一点．且
，F为 边上的一个动点．连接 ，将 绕着点E顺时针旋转 到 的位置，其中点
B、点F的对应点分别为点H、点G，连接 和 ，则 的最小值为（ ）．
A． B．3 C． D．
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3.（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形 的边长为4，点 是正方形对角线 所在
直线上的一个动点，连接 ，以 为斜边作等腰 （点 ， ， 按逆时针排序），则 长的
最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在 中， ，且 ，点D
是斜边 上的一个动点，过点D分别作 于点M， 于点N，连接 ，点O为 的
中点，则线段 的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
5．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 ， 分别是
， 边上的动点，连结 ， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
6．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为4， ，点E是直线
上一个动点，连接 ，线段 绕点B顺时针旋转 得到 ，则线段 长度的最小值等于
（ ）
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A． B． C． D．
7．（2022·江苏·徐州市三模）如图， 中， ， ， 为 边上的一动点，以
、 为边作 ，则线段 的最小值为______．
8．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知 ，B为 上一点， 于A，
四边形 为正方形，P为射线 上一动点，连接 ，将 绕点C顺时针方向旋转 得 ，连接
，若 ，则 的最小值为 ．
9．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点C是y轴
上一动点，设其坐标为 ，线段 绕点C逆时针旋转 至线段 ，则点B的坐标为 ，连
接 ，则 的最小值是 ．
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10．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）如图，已知 中， ， ，
， ， ，点 为直线 上一动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
连接 、 ，点 在直线 上且 ，则 最小值为 ．
11．（2023上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形 中， ， ， 为边 上的
点，且 ． 为 边上的动点，以 为边在其右侧作等腰直角三角形 ， ．设 中点
为 ，则 的最小值为 ．
12．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在 中， ，点P为 边上任意
一点，连接 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，连接 ，则 长度的最小值为_________．
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13．（2022·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角
坐标系中，若点A（ ，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _____．
14．（2022·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以
DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
15．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形 中， ，点E为边 上一动点，将点A绕点E
顺时针旋转 得到点F，则 的最小值为__________．
16．（2022·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B
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点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC的外心运动的路径长为 _____，
BQ的最小值为 _____．
17．（2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，
以AC为边向下作Rt ，使得 ， ，连接线段 ，则线段 的最小值为____．
18．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边
AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小
值是________________．
19．（2022·河南南阳·二模）如图所示， ， ， 于点B，点D是线段BC上一个动点，
且 于点D， ，连接CE，则CE长的最小值是______．
20．（2023江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m
外一点， ，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了
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什么？最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．
（2）小试牛刀：如图2所示， 中， ， ， ．则点P为AB边上一动点，则
CP的最小值为______．
（3）尝试应用：如图3所示 是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，
将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE的最小值．②在①的条件下求 的面积．
（4）拓展提高：如图4， 顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE． ．
， ，请求出AE的最小值．
11
