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重难点 01 二次函数与几何图形的综合练习
中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：
一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）
二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）
三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）
四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）
五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）
六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）
七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）
八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）
九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）
因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常
必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就常
见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练
就心态！
考向一：二次函数与几何变换的综合
1．（2023•武汉）抛物线 交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
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（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C 于D，E，F三点，连接
1
CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C 平移得到抛物线C ，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两
1 2
点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C 于M，N两点，直线MO与直线GN交于
2
点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交
于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当 的值最大时，求点P
的坐标及 的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点
M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
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考向二：二次函数与直角三角形的综合
1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线L ：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点
1
M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L 交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L 沿
1 1
直线l翻折得到抛物线L ，抛物线L 交y轴于点C，顶点为D．
2 2
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L 所对应的函数表达式；
2
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以
EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．
2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）
两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的
平行线交x轴于点D，求 的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，
请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
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考向三：二次函数与等腰三角形的综合
1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B
（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请
求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点P（x ，y ）（0＜x ＜5）是抛物线上的动点．
0 0 0
①当x 取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
0
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存
在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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考向四：二次函数与相似三角形的综合
1．（2023•乐至县）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 经过
A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大
值；
（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在
点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和
C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点
M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为
顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．
考向五：二次函数与四边形的综合
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1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，
点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函
数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， 为函数y＝x﹣1的轴点函数．
（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交
点为点B．若OB＝ OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y＝ x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴
上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段 MO的长度为宽，在 x轴的上方作矩形
MNDE．若函数y＝ x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求
n的值．
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3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），
且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横
坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱
形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
考向六：二次函数与最值的综合
1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛
物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h ，在
1
点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h ，当h ﹣h ＝m时，直接
2 2 1
写出m的值．
2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点
C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的
坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分
别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最
大值．
考向七：二次函数与新定义的综合
1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其
中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2
级变换点”．
（1）函数y＝﹣ 的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，
说明理由；
（2）动点A（t， t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l ，l 上，在l ，l 上分别取点（m2，y ），
1 2 1 2 1
（m2，y ）．若k≤﹣2，求证：y ﹣y ≥2；
2 1 2
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都
在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
2．（2023•宿迁）规定：若函数y 的图象与函数y 的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄
1 2
弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
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（1）下列三个函数①y＝x+1；② ；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟
函数”的是 （填写序号）；
（2）若函数 与 互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐
标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；
（3）若函数y ＝|x﹣m|（m为常数）与 互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为
1
x 、x 、x ，且x ＜x ＜x ，求 的取值范围．
1 2 3 1 2 3
考向八：二次函数与圆的综合
1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，
与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式和b的值．
（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使 ？若存在，请求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上
方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，
使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C
于点N，求 的值．
2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
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（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x ，0），B（x ，
1 2
0），且x ＜0＜x ，点D在 O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴
1 2
⊙
正半轴于点F， ．
①求证： ．
②当点E在线段OB上，且BE＝1． O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b
的值．
⊙
考向九：二次函数与角的综合
1．（2023•无锡）已知二次函数y＝ （x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4， ）和点C
（﹣1， ）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝ （x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过
点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，
抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当 ＝ 时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在
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请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（建议用时：150分钟）
1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝ °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴
交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 ．
2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线 与H： 交于点B（1，﹣
2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①无论x取何值，y 总是负数；
2
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y ﹣y 的值先增大后减小；
1 2
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是 ．（填写正确的序号）
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3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴
上的一个动点， P经过原点O，且与AM相切于点M．
（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为 ；
⊙
（2）若点 P 在第一象限，设点 P 的坐标为（x，y），则 y 关于 x 的函数关系式为
（不用写出自变量x的取值范围）；
（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是 ．
4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，
与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接 AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，
△CDE的面积为S ，△ACE的面积为S 当 最大值时，求点D的坐标；
1 2
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对
应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称
轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．
5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，
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点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，
0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的
一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）
两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．
（1）求二次函数表达式；
（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线
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AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数 y ＝a x2+b x+c 与y ＝a x2+b x+c 的图象关于点P（1，0）成中
1 1 1 1 2 2 2 2
心对称图形，我们称y 与y 互为“中心对称”函数．
1 2
（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数 y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当
时，y最大值为2，求此二次函数解析式；
（3）二次函数y ＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对
1
称”函数y 的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边
2
形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．
9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于
A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，
且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说
明理由．
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10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，并满足y ﹣kx ＝y ﹣kx ，其
1 1 2 2 1 1 2 2
中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，其中
1 1 2 2
a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于
E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半
径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．
11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定
义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作
P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．
已知二次函数y 的图象经过平面直角坐标系内的 A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，
1
0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．
（1）求L（A，B）；
（2）求抛物线y 的表达式；
1
（3）已知y ＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．
2
①若D，E是y ＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；
2
②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y +y 的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．
1 2
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12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连
接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点 P作x轴的垂线交抛物线于 M点，连接
CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：
【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛
物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）
【探究任务1】确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一
部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．
【探究任务2】研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于
点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．
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【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可
以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任
务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点
D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
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