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专题 13 二次函数性质压轴
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点 二次函数性质压轴
题型01 待定系数法求二次函数解析式
题型02 二次函数的图象与性质
题型03 二次函数图象与各项系数的关系
题型04 根据二次函数的对称性求解
题型05 利用二次函数的性质求最值
题型06 二次函数与坐标轴交点问题
题型07 二次函数与不等式
题型08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
题型09 函数图象判断综合
题型10 二次函数与实际问题
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考点要求 命题预测
在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形
式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背
景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、
二次函数性质压轴
几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相
关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己
的计算不要有失误。
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考点 二次函数性质压轴
题型01 待定系数法求二次函数解析式
求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次
函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求
出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-x)，再将
1 2 1 2 1 2
另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
二次函数的常见表达式：
名称 解析式 前提条件
一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常
数，a≠0），顶点坐标是（h， 用顶点式求其表达式.
k）
交点式 y＝a（x–x）（x–x） (a≠0) 其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，若
1 2 1 2
题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式
求其表达式.
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
1．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
1
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=
2
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25
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0) D．函数y=ax2+bx+c的最大值为
4
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内
部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
y=(x−2) 2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数
1
y= x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．
4
3．（2023·上海·中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分
是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y
轴交于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线
b ( b 4ac−b2 )
y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=− ，顶点坐标是 − , ．
2a 2a 4a
题型02 二次函数的图象与性质
1．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数y=(x−a)(x−b)−2，且(a1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
4．（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足x2=4 y+t,y2=4x+t且x≠ y（t为常数），则称点
M(x,y)为“和谐点”．
（1）若P(3,m)是“和谐点”，则m= ．
k
（2）若双曲线y= (−30 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开
口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0 开口向下
b=0 坐标轴是y轴
b
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
x轴的上方 4a-2b+c >0
-2 4a-2b+c
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
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x轴的上方 a-b+c >0
-1 a-b+c
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
x轴的上方 a+b+c >0
1 a+b+c
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
x轴的上方 4a+2b+c >0
2 4a+2b+c
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
1．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
与 y 轴交于点 C．下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−30；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a−b（m为任意实数）其中正确的个数
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·四川达州·中考真题）如图，拋物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）关于直线x=1对称．下列
五个结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0．其中正确的有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分与x轴的一个
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交点坐标为(3,0)，对称轴为直线x=1，结合图像给出下列结论：
①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
⑤若点(m,y )，(−m+2,y )均在该二次函数图像上，则y = y ．其中正确结论的个数是（ ）
1 2 1 2
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于
A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结
1
论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为x =−3，x =2；④k= a．其
1 2 2
中正确的是 ．（只填写序号）
题型04 根据二次函数的对称性求解
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
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b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.
1．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0,m,k是实数)，则（ ）
A．当k=2时，函数y的最小值为−a B．当k=2时，函数y的最小值为−2a
C．当k=4时，函数y的最小值为−a D．当k=4时，函数y的最小值为−2a
2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(3，0)，对称
轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A．abc<0 B．2a+b=0 C．4ac>b2 D．点(−2，0)在函数图象上
3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(1,0)、点B(3,0)，与y轴
相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD= ．
4．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x ,y )，N(x ,y )是抛物线
1 1 2 2
y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =1，x =2有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于00 4ac−b2
O 数取得最小值
4a
全体实数
b
y 当 x=− 时，二次函
2a
a<0 4ac−b2
x 数取得最大值
4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y2
y
2
x
4ac−b2
数取得最小值
x O x 4a
1 2
当x=x1时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y1
y
1
x 4ac−b2
x1≤x≤x2 a>0 x x 数取得最小值
1 2 4a
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
a<0 自行推导.
1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过
点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
15 15
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4 4
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3．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数y=−x2+bx+c．
(1)当b=4,c=3时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当−1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
4．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数y=x2+bx−3（b为常数）．
(1)该函数图像与x轴交于A、B两点，若点A坐标为(3,0)，
①则b的值是_________，点B的坐标是_________；
②当0t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
(3)当m0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
1．（2023·河北·中考真题）已知二次函数y=−x2+m2x和y=x2−m2（m是常数）的图象与x轴都有两个
交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2 B．m2 C．4 D．2m2
2．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线
1
y=− x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
2
A．10 B．12 C．13 D．15
3．（2022·云南·中考真题）已知抛物线y=−x2−√3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k
是抛物线y=−x2−√3x+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=−x2−√3x+c的点，常数m>0，S为
△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
(1)求c的值；
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(2)直接写出T的值；
k4
(3)求 的值．
k8+k6+2k4+4k2+16
4．（2021·江苏南京·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(−2,1),(2,−3)两点．
（1）求b的值．
（2）当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设(m,0)是该函数的图像与x轴的一个公共点，当−10)上，
设抛物线的对称轴为x=t.
(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x ,m)(x ≠1)在抛物线上，若m0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 xx2 b 取任意实数
x≠−
2a
的解集情况
ax2＋bx＋c<0 x1y ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
3 4 4 3
A．12
2 3 3 2
3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
1
4．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y= x2+bx−4的图像与x轴相交于点A(−2,0)、B，其顶
2
点是C．
(1)b=_______；
5
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD= ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物
2
线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范
围；
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(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接
PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
5．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量
x的部分取值与对应函数值y如下表：
x ⋯ −1 0 1 2 3 4 ⋯
y ⋯ 0 −3 −4 −3 0 5 ⋯
备用图
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），
R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+√2时，求
tan∠RPQ的值；
(3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数
1
y= (ax2+bx+c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
t
题型08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
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2）平移与增加性变化
如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值.
只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.
只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
3）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
1．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、
D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、
Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴
下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
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(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点
P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，
与y轴交于点C(0,−4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．
当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点
DF
H，过点F作FG⊥CH于点G，若 =2√5．求点F的坐标．
HG
题型09 函数图象判断综合
1．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x ,y )，B(x ,y )两点，若
1 1 2 2
x +x <0，则直线y=ax+k一定经过（ ）．
1 2
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
b
2．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数y= (b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和
x
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一次函数
c
y=ax+b与反比例函数y=− 在同一坐标系内的大致图像为（ ）
x
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A． B． C． D．
题型10 二次函数与实际问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果
顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值
解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点
的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后
利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设
出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条
件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不
存在．
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，
AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，
BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，
BE= y米．
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(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
2．（2021·贵州贵阳·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视
为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．
有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设
船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA
在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图
象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
3．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，
每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发
现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
3
销售单价x（元/件） … 40 45 …
5
9
每天销售数量y（件） … 80 70 …
0
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
4．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线
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呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现
以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
(− ，
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
)
最 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
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a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
值
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
性
一、单选题
1．（2023·河南商丘·二模）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2 |2|
A．y=x2 B．y=|x2| C．y= D．y=
x x
2．（2023·山东青岛·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)与一次函数y=ax+1(a≠0)在同一直角坐
标系中的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
k
3．（2023·广东东莞·一模）二次函数y=ax2+bx+c与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象如
x
图所示．已知抛物线的对称轴是直线x=−1，下列结论：
①abc<0，②b>a>0，③4a−2b+c<0，④a−c>k．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·四川绵阳·一模）二次函数y =ax2+bx+c与一次函数y =mx+c的图像如图所示，则满足
1 2
ax2+bx0 C．x<−3或x>1 D．00)过点A(0,1)，B(8,2)，则h的值不可以是
（ ）
A．−3 B．0 C．2 D．4
6．（2023·四川泸州·一模）当2b−2≤x≤2b+1时，抛物线y=−(x−b) 2+4b−1有最大值2，则b的值为
（ ）
3 3 3
A．1或 B．7或1 C．7或 D．1或−
4 4 4
1
7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）二次函数y=− x2+4x−3的图象经过平移后得到新的抛物线，此抛物线
2
恰好经过点(−2,−2)，下列平移方式中可行的是（ ）
A．先向左平移8个单位，再向下平移4个单位B．先向左平移6个单位，再向下平移7个单位
C．先向左平移4个单位，再向下平移6个单位D．先向左平移7个单位，再向下平移5个单位
8．（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,m)和点(−2,n)在抛物线y=ax2+bx上，若
a<0，点．(−3,y )，(1,y )，(4,y )在该抛物线上．若m0的解集为−10，且0−1时，y随x的增大而增大．其中正确
的结论有 （填序号）．
13．（2023·安徽·模拟预测）已知抛物线y =mx2+2mx+1与直线y =mx+2（其中m≠0）．
1 2
（1）若抛物线y 与直线y 存在一个交点，其横坐标为−2，则m的值为 ；
1 2
（2）若关于x的一元二次方程mx2+mx−1=0在1≤x≤3的范围内有实数根，则m的取值范围是 ．
1 3
14．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+ x+4(0≤x≤8)的图象如图所
4 2
示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），
L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L=6时，W的取值范围是 ．
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三、解答题
15．（2023·贵州遵义·一模）已知二次函数y=x2+2ax−4（a为常数）．
(1)若二次函数的图象经过点(1,−5)，求a的值；
(2)在（1）的条件下，当−1≤x≤4时，请求出二次函数的最大值和最小值；
(3)当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5，求a的值．
16．（2023·广西柳州·模拟预测）如图1，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)，
与y轴交于点C(0,3)，点P是坐标平面内一点，点P坐标(1,−2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将抛物线 x 轴上方的图象沿x轴翻折，翻折后的图象和原抛物线图象组成一个新的图象（如图
2实线部分和虚线部分，），记为图象 L．若直线y=−x+n与该新图象L恰好有三个公共点，请求出此时
n 的取值范围．
(3)在（2） 件下的新图象L，连接OP，若点D在新图象L上且 ∠DBO+∠POB=90°，求点D的坐标．
22
