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专题 14 二次函数与几何压轴
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点 二次函数与几何压轴
题型01 三角形面积问题
类型一 利用铅垂高计算三角形面积
类型二 面积比值问题
类型三 面积存在性问题
类型四 面积最值问题
题型02 线段相关问题
类型一 线段和最小问题
类型二 周长最值
题型03 存在性问题
类型一 平行四边形存在性问题
类型二 矩形存在性问题
类型三 菱形存在性问题
类型四 正方形存在性问题
类型五 等腰三角形存在性问题
类型六 直角三角形存在性问题
类型七 相似三角形存在性问题
类型八 等角存在性问题
类型九 二倍角、半角存在性问题
类型十 特殊角存在性问题
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考点要求 命题预测
二次函数的压轴题主要考向：
1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含
特殊平行四边形）等）．
2）最值问题（线段、周长、面积）
常见有关二次函数的题型和应对策略：
二次函数与几何压轴
1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3）线段和最小值问题——将军饮马、阿氏圆模型
4）线段差——三角形三边关系或函数
5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6）平行四边形存在性问题——中点公式＋平移法
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考点 二次函数与几何压轴
题型01 三角形面积问题
类型一 利用铅垂高计算三角形面积
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情一 其其其其其其其其其其 情二 其其其其其其其其其其
A
A
y y
C
a D
2
C
E a
3
B a
1
B a
x 4 x
O O
S△ABC=S△AEC+S△AEB
S△ABC=S△ADB-S△ACD
=1/2(AD•a4-AD•a3)
=1/2(AE•a2+AE•a1)
=1/2AD•(a4-a3)
=1/2AE•(a1+a2其
=1/2|y
A
-yE|•|xC-xB|
=1/2|y
A
-yD|•|xC-xB|
其其其B其其C其其其其其A为动点
结论：1）一般过动点作y轴的平行线来确定铅垂高.
2）无论铅垂高在三角形内部还是外部，,S= •水平宽•铅垂高.
1
3）若P为二次函数图象上的动点，当 2 时S△ABC最大.
𝑥1+𝑥2
1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛𝑥物=线2y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求△BCP的面积．
b ( b 4ac−b2 )
注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=− ，顶点坐标是 − , ．
2a 2a 4a
2．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点
1
C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO= ．
5
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(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形ACDB的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．
类型二 面积比值问题
情况一：等底或等高
D
A
A
B E F C B C E D
S△ABC AE S△ABC BC
= =
S△BCD DF S△ACD CD
结论：①当底相等，则面积比=高之比 ②当高相等，则面积比=底边之比
情况二：斜转直
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N
P
y P
y
C D C
M
D
A B x A B x
O E F O
1
S△ABP PF S△ACP 2 •|𝑥𝑃−𝑥𝐶|•𝐴𝑀 AM
= = =
S△ABD DE S△BCP 1 •|𝑥𝑃−𝑥𝐶|•𝐵𝑁 BN y P
2
方法一： （铅垂高情况二） N
1
C
S△ABD 2•|𝑥𝐵−𝑥𝐷|•𝐴𝑁 AN
1
方法二：
S△BDP = 2•|𝑥𝐵−𝑥𝐷|•𝑃𝑀 = PM
（高相等，则面积比=
D
M
S△ABD AD |𝑥𝐷−𝑥𝐴| |𝑦𝐷−𝑦𝐴| A B x
底边之比S）△B DP = DP = |𝑥𝑃−𝑥𝐷| = |𝑦𝑃−𝑦𝐷| O
G
方法一： （底相等，则面积比=高之比）
1 y P E
S△PDE 2•𝐷𝐸•𝑃𝑀 PM
1 N
S△BDE = 2•𝐷𝐸•𝐵𝑁 = BN C
方法二： （底相等，则面积比=高之比）
M
1 D F
S△PDE 2•𝐷𝐸•𝑃𝑀 PM
1 A B x
S△BDE = 2•𝐷𝐸•𝐵𝑁 = BN O
1．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于
A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,−2)．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记ΔBDE的面积为S ，
1
S
ΔABE的面积为S ，求 1 的最大值；
2 S
2
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l//BC，点P，Q分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第
一象限是否存在这样的点P，Q，使ΔPQB∽ΔCAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不
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存在，请说明理由．
2．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，
4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S ，S ，
1 2
S S
S ．判断 1+ 2 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
3 S S
2 3
类型三 面积存在性问题
等积变形原理：S△ABC=S△BCD=S△BCE
A D
h
C
B
h
E
情况一：公共边为定边
题目要求：在抛物线上找一点P，使得S△ABC=S△PBC
方法简介：
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①A.P在公共边BC同侧时，只需AP∥BC，过点A作l//BC，交抛物线于P
1 1.
②A.P在公共边BC异侧时，将l 上移2CD个单位，即CD=CE，记为l//BC, 交抛物线于P2，P3
1 2
③将l 和l 分别与抛物线联立.
1 2
y
E
P
2
P
C 3 l
2
A O x
B
D
P 1 l 1
情况二：公共边为动边
题目要求：在抛物线上找一点P，使得S△APB=S△APC
方法简介：
①当点B.C在公共边AP同侧时，只需AP //BC即可，过点A作l//BC交抛物线于P1，联立l与抛物线.
②当点B.C在公共边AP异侧时，取BC中点D，CM=BN连接AD交抛物线于P2，联立AD与抛物线.
y
y
C
C
P N
2
A O x
B
D
D
A O M x
P 1 l 1 B
1．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
其中B(1,0)，C(0,3)．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S =S ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理
△PAC △ABC
由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
2．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B两点，与y轴相交
于点C(0，−3)．
(1)求b，c的值；
(2)P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式；
(3)在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P'，试探究，是否存在满足条件
的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P'的坐标；如果不存在，请说明理由．
类型四 面积最值问题
题目要求：在抛物线上的第一象限找一点P，使S△PBC面积最大
方法简介：
1
方法一：S= •水平宽•铅垂高
2
方法二：作l//BC，l与抛物线只有一个交点P，此时h最大，S△PBC面积最大，联立l与抛物线，△=0
y
P
h
l
C
A O x
B
1（2022·广东·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，
A(1,0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．
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(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(−1,0)、点B(5,0)，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点P(x ,y )(0<x <5)是抛物线上的动点
0 0 0
①当x 取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
0
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在
点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的图象与x轴交于
点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C．
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(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个
动点，求△MCD面积的最大值．
(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与
点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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题型02 线段相关问题
将军饮马模型
将军饮马问题概述：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地军营巡视，应该怎样走才能使路程最短?
原理 问题 模型 最值 原理 问题 模型 最值
基 求线 变 线段垂直平
本 段差 分线上的点 在直线L上求一点P,
AB 式 0
模 的最 到线段两端 求PA-PB的最小值
六
型 小值 距离相等
在直线L上求一点M,求
AM+BM的最小值
变 变
求 式 AB' 式 AB
线 一 七
段 线段
和 两点 差的 三角形两边 在直线L上求一点P,
之间 之差小于第 求PA-PB的最大值
的 最大
线段 三边
最 值
小 变 最短 在 取 直 一 线 点 A M B和 、 B N C ， 上 求 分 △ 别 变
值 式 PMN周长的最小值 P'P'' 式 AB'
二 八
（一动两定）
线段MN在直线L可
变 在直线AB和BC上分别 变 移动，当MN移动到
取一点M、N，求四边 PQ+ A'B'+
式 式 什么位置时，求
形PQNM周长的最小 P'Q' MN
三 九 AM+MN+NB最小
值（两动两定）
平移 平行四边形 值
的性质+两
类最
点之间线段
小值
最短
求 变 在直线AB和BC上分别 变 A,B是河两侧的定 A'B+
线 式 取一点M、N，求 PN 式 点，怎样造桥，可 MN
段 四 PM+PN的最小值 十 以让总路程最短
和 垂线
的 段最
最 短
小 变 在直线AB和BC上分别
值 取一点M、N，求
式 P'N
PM+PN的最小值（一
五
定两动）
对于
阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造.
当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造.
【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；
当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.
类型一 线段和最小问题
1．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另
一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
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(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题意
补全图形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标．
类型二 周长最值问题
1．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(1,0)，B(4,0)，与y轴相交
于点C．
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(1)求抛物线的表达式；
PA
(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求 的值；
PC
1
(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB= ？若存在，求出点Q的坐标；
2
若不存在，请说明理由．
2．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角
三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
3．（2022·广西柳州·中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y
轴交于点C（0，5）．
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(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交
抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最
大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将 MBC沿BC翻折得到 NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一
点P，使得 PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
△ △
△
题型03存在性问题
类型一 平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.而且“三定一动”的动点
和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动”中动点是在平面中横纵坐标都不确定，需要用两个
字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴、直线或者抛物线上，用一个字母即
可表示点坐标，称为“半动点”.找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平
行四边形，只能有2个未知量.究其原因，在于平行四边形两大性质:(1)对边平行且相等:(2)对角线互相平分.
{x A+xC=xB+xD
但此两个性质统一成一个等式: ，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们
y A+ yC= yB+ yD
刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量. 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点
设计，由动点设计可化解问题.
1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，
9
点A(3,−3)，点B在第一象限内，对称轴是直线x= ，且△OAB的面积为18
4
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(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应
点为A ．问是否存在点P，使得以A ，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合
1 1
条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），
A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S
与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写
出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
类型二 矩形存在性问题
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矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起行四边
形 ， 坐 标 系 中 的 矩 形 满 足 以 下 3 个 等 式 :
{ x A+xC=xB+xD
y A+ yC= yB+ yD (AC 为对角线时).因此在
√（x A−xC）2+（y A−yC）2=√（xB−xD）2+（yB−yD）2
矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可
判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个.
1（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B(3,0)两点，交y轴于点C(0,−3)．
点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为(1,−4)时，求四边形BACP的面积；
(3)当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是
矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线DH∥y轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直
线PA，PB分别与直线DH交于点G和点I，求证：点D是线段IG的中点．
2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的交点分别为A
和B(1,0)（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，点P是直线AC上方抛物线上一动点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作x轴平行线交AC于点E，过点P作y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点
P的坐标；
(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形
PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
类型三 菱形存在性问题
和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若
四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， 则 其 4 个 点 坐 标 需 满 足 :
{ x A+xC=xB+xD
y A+ yC= yB+ yD
√（x A−xB）2+（y A−yB）2=√（xC−xB）2+（yC−yB）2
解决问题的方法也可有如下两种:
思路 1:先平四，再菱形.设点坐标，根据平四存在性要求列出“4+C-B+D”(AC、BD 为对角线)，再结合
组邻边相等，得到方程组，
思路 2:先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第3个点，再确定第4个点.
1．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两
点，与y轴交于点C．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点
B的坐标为(1,0)，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线
于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P
的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四 正方形存在性问题
思路 1:从判定出发
1）若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等:
2）若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直:
3）若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件.
思路 2:构造三乖直全等
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若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角
三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4点.
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑矩形的判定出发，
观察该四边形是否己为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系.（正方形的存在性问题在中考中出现得并
不多，正方形多以小题压轴为主）
1
1．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点
2
C(0，4)，点E在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的
左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线Q :y=−x2+bx+c与x轴交于A(−3,0),B两点，交y轴于点
1
C(0,3)．
(1)请求出抛物线Q 的表达式．
1
(2)如图1，在y轴上有一点D(0,−1)，点E在抛物线Q 上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得
1
四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线Q 向右平移2个单位，得到抛物线Q ，抛物线Q 的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，
1 2 2
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抛物线Q 上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1
类型五 等腰三角形存在性问题
问题 分情况 找点 画图 解法
分别以点 A，B
为圆心，以 AB
以AB 长为半径画圆，
B
为腰 与已知直线的交 A 分别表示出点A，B，P
点 P ，P ，P ， l 的坐标，再表示出线段
1 2 3 P P P P
1 2 3 4
已知点A，B和直 P 4 即为所求 AB，BP，AP的长度，
线 l，在 l 上求点 由① AB＝AP；② AB
P，使△PAB为等
作线段 AB 的垂 ＝BP；③BP＝AP列方
以AB 直平分线，与已 程解出坐标
腰三角形
B
为底 知直线的交点P A
5 P
5
l
即为所求
问题总结:
1) 两定一动:动点可在直线上、抛物线上;
2）一定两动:两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解;
3）三动点:分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口.
1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0)，交y轴于
点B(0,3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满
足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
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2．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1，与x轴交于点A，
B(3,0)，与y轴交于点C，连接AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点
N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，
若不存在，请说明理由；
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为
矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·山西·中考真题）综合与探究
1 3
如图，二次函数y=− x2+ x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点
4 2
C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点
D，作直线BC交PD于点E
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接AC，过点P作直线l∥AC ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在
点P，使得CE=FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
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类型六 直角三角形存在性问题
问题 分情况 找点 画图 解法
分别过点A，B B
以AB 作 AB 的 垂
A
分别表示出点 A，
为直角 线，与已知直
B，P 的坐标，再表
边 线的交点 P ， l
1 P P 示出线段AB，BP，
P 即为所求 1 4
已知点A，B和直线 4 AP 的 长 度 ， 由
l，在l上求点P，使 以 AB 的中点 Q ①AB2＝BP2＋AP2；
B
△PAB 为直角三角 为圆心，QA 为 ②BP2＝AB2＋AP2；
以AB 半径作圆，与
形
A
③AP2＝AB2＋BP2列
为斜边 已知直线的交
方程解出坐标
l
点P2，P3即为
P P
2 3
所求
1．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴
交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
1
2．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y= x2+bx−4的图像与x轴相交于点A(−2,0)、B，其顶
2
点是C．
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(1)b=_______；
5
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD= ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物
2
线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范
围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接
PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B(4,0)，
C(−2,0)两点．与y轴交于点A(0,−2)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线
1
交x轴于点D，求与 PK+PD的最大值及此时点P的坐标；
2
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求
出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
类型七 相似三角形存在性问题
【相似判定】
判定1:三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3:有两组角对应相等的三角形是相似三角形.
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【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对
比判定2、3可以发现，都有角相等.所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组
相等角.然后再找：1）两相等角的两边对应成比例；2)还存在另一组角相等.事实上，坐标系中在已知点
的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1.
【解题方法】1)找对应等角2)分类讨论3)设点表示线段4)列方程求解5)检验
1．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，
B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n) (m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点
M，交x轴于点N．
(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点
的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+c与y轴交于点
P(0,4)．
(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线y=−x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x
轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为
直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线y=−x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，
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使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若将抛物线y=−x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接
写出拋物线y=−x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
3．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴
下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点
P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型八 等角存在性问题
【常见的构角方法】
1）平行线的同位角、内错角相等；
2）等腰三角形的等边对等角；
3）角平分线分的两个角相等；
4）全等（相似）三角形对应角相等；
5）若两角的三角函数值相等，则两角相等；
6）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
探究角度问题的一般步骤如下：
1）读题、理解题意，画图；
2）分析动点、定点、找不变特征（如角有两边，其中一条边是确定的）；
3）确定分类特征，进行分类讨论；
4）将角度进行转化.
角度转化的一般方法为：
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通过锐角三角形函数、特殊角的三角函数值，相似三角形或等腰三角形的性质，转化为常见的类型，
然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大.
1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，
与y轴交于点C(0,4)，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形
OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．
2．（2022·四川达州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过
点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标：若不
存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，
过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由．
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思路 1：构造半角三角函数．
类型九 二倍角、半角存在性问题
α
α
α
α
【构造二倍角的方法】
方法一：构造二倍角的三角函数，并通过勾股定理求解.（左图）
思路 2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．
构造二倍角三角函方数法：二：等腰三角形的外角.（右图）
α
α
2α α α 2α
把2倍角转化为角相等的常用方法
1) 利用角平分线转化；
2) 利用等腰三角形顶角的外角转化；
3) 利用直角三角形斜边中线得等腰三角形转化.
1．（2020·辽宁鞍山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)经过点A(−2,−4)
和点C(2,0)，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿
1
ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的 时，请直接写出
4
线段AM的长．
2．（2020·湖南张家界·中考真题）如图，抛物线y=ax2−6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C．直线
y=−x+5经过点B,C．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC,AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
3．（2021·山东泰安·中考真题）二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(−4,0)，B(1,0)，与y
轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式；
PQ
（3）请判断： 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
QB
4．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标
为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣3)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
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类型十 特殊角存在性问题
2 2
1．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，抛物线y=− x2+ x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是
3 3
第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接AP，交线段BC于点D，
PD
①当CP与x轴平行时，求 的值；
DA
PD
②当CP与x轴不平行时，求 的最大值；
DA
(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
4
2．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B两点，与y轴交
3
于点C．
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(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；
(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．
3．（2021·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴正半轴交
于点C，且OC=2OA．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y=mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直
角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP=tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线y=x2−4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一
点A，顶点为D．
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(1)求出点B和点D的坐标；
1
(2)如图①，连接OD，P为x轴的负半轴上的一点，当tan∠PDO= 时，求点P的坐标；
2
(3)如图②，M是点B关于抛物线的对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0<m<5)，连
S
接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E，设△BEQ和△BEM的面积分别为S 和S ，求 1 的最大值．
1 2 S
2
2．（2024·四川·模拟预测）如图，已知二次函数的图象过点O(0，0),A(8，4)，与x轴交于另一点B，
且对称轴是直线x=3．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
(3)P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三
角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
（1）先根据对称轴求出点B的坐标，然后将抛物线设成交点式，再将点A代入求解即可；
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，C(0,3)两点，并交x轴于另
一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
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(1)求该抛物线与直线AM的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1
4．（2024·湖南·一模）如图，O为坐标原点，抛物线C :y=− x2−ax与x轴交于M(−4,0)，顶点为
1 4
A．
(1)如图1，求直线AM的函数解析式；
(2)如图1，将直线AM绕点M顺时针旋转45°得到直线MN并交抛物线C 于点N，若Q为x轴上一点，求
1
5NQ+√5MQ的最小值；
(3)如图2，将抛物线C 平移得到C ，顶点由A平移到B(4,b)，若点B在直线AM上，点D和E分别在抛
1 2
物线C 和C 上，那么四边形ADEB是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由．
1 2
5．（2024·山西大同·一模）综合与探究
1
如图，抛物线y= x2−2x−6与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线BC．
2
(1)求点B的坐标及直线BC的表达式；
DE 5
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD交BC于点E，若 = ，求点D的坐标；
OE 12
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(3)抛物线上是否存在点F．使得∠BCF=15°?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·安徽合肥·一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c过点(−2,−5)和(2,3)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交BC于点Q，求PQ的最大值及
此时点P的坐标；
②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请
在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使△PAC的周长最小，求△PAC的周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB的面积的最大值及此时点M的坐标.
8．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A，
B两点，点A的坐标是(−4,0)，点B的坐标是(1,0)，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二
象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接OP，是否存在点P，使得∠OPD=2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理
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由．
1
9．（2024·山东淄博·一模）如图，抛物线y= x2＋bx＋c与y轴交于点C(0,−4)，与x轴交于点A，
2
B，且B点的坐标为(2,0)．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
35
