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专题 14 二次函数与几何压轴
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点 二次函数与几何压轴
题型01 三角形面积问题
类型一 利用铅垂高计算三角形面积
类型二 面积比值问题
类型三 面积存在性问题
类型四 面积最值问题
题型02 线段相关问题
类型一 线段和最小问题
类型二 周长最值
题型03 存在性问题
类型一 平行四边形存在性问题
类型二 矩形存在性问题
类型三 菱形存在性问题
类型四 正方形存在性问题
类型五 等腰三角形存在性问题
类型六 直角三角形存在性问题
类型七 相似三角形存在性问题
类型八 等角存在性问题
类型九 二倍角、半角存在性问题
类型十 特殊角存在性问题
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考点要求 命题预测
二次函数的压轴题主要考向：
1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含
特殊平行四边形）等）．
2）最值问题（线段、周长、面积）
常见有关二次函数的题型和应对策略：
二次函数与几何压轴
1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
3）线段和最小值问题——将军饮马、阿氏圆模型
4）线段差——三角形三边关系或函数
5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
6）平行四边形存在性问题——中点公式＋平移法
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考点 二次函数与几何压轴
题型01 三角形面积问题
类型一 利用铅垂高计算三角形面积
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情一 其其其其其其其其其其 情二 其其其其其其其其其其
A
A
y y
C
a D
2
C
E a
3
B a
1
B a
x 4 x
O O
S△ABC=S△AEC+S△AEB
S△ABC=S△ADB-S△ACD
=1/2(AD•a4-AD•a3)
=1/2(AE•a2+AE•a1)
=1/2AD•(a4-a3)
=1/2AE•(a1+a2其
=1/2|y
A
-yE|•|xC-xB|
=1/2|y
A
-yD|•|xC-xB|
其其其B其其C其其其其其A为动点
结论：1）一般过动点作y轴的平行线来确定铅垂高.
2）无论铅垂高在三角形内部还是外部，,S= •水平宽•铅垂高.
1
3）若P为二次函数图象上的动点，当 2 时S△ABC最大.
𝑥1+𝑥2
1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛𝑥物=线2y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求△BCP的面积．
b ( b 4ac−b2 )
注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=− ，顶点坐标是 − , ．
2a 2a 4a
2．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点
1
C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO= ．
5
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(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形ACDB的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．
类型二 面积比值问题
情况一：等底或等高
D
A
A
B E F C B C E D
S△ABC AE S△ABC BC
= =
S△BCD DF S△ACD CD
结论：①当底相等，则面积比=高之比 ②当高相等，则面积比=底边之比
情况二：斜转直
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N
P
y P
y
C D C
M
D
A B x A B x
O E F O
1
S△ABP PF S△ACP 2 •|𝑥𝑃−𝑥𝐶|•𝐴𝑀 AM
= = =
S△ABD DE S△BCP 1 •|𝑥𝑃−𝑥𝐶|•𝐵𝑁 BN y P
2
方法一： （铅垂高情况二） N
1
C
S△ABD 2•|𝑥𝐵−𝑥𝐷|•𝐴𝑁 AN
1
方法二：
S△BDP = 2•|𝑥𝐵−𝑥𝐷|•𝑃𝑀 = PM
（高相等，则面积比=
D
M
S△ABD AD |𝑥𝐷−𝑥𝐴| |𝑦𝐷−𝑦𝐴| A B x
底边之比S）△B DP = DP = |𝑥𝑃−𝑥𝐷| = |𝑦𝑃−𝑦𝐷| O
G
方法一： （底相等，则面积比=高之比）
1 y P E
S△PDE 2•𝐷𝐸•𝑃𝑀 PM
1 N
S△BDE = 2•𝐷𝐸•𝐵𝑁 = BN C
方法二： （底相等，则面积比=高之比）
M
1 D F
S△PDE 2•𝐷𝐸•𝑃𝑀 PM
1 A B x
S△BDE = 2•𝐷𝐸•𝐵𝑁 = BN O
1．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于
A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,−2)．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记ΔBDE的面积为S ，
1
S
ΔABE的面积为S ，求 1 的最大值；
2 S
2
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l//BC，点P，Q分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第
一象限是否存在这样的点P，Q，使ΔPQB∽ΔCAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不
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存在，请说明理由．
2．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，
4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S ，S ，
1 2
S S
S ．判断 1+ 2 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
3 S S
2 3
类型三 面积存在性问题
等积变形原理：S△ABC=S△BCD=S△BCE
A D
h
C
B
h
E
情况一：公共边为定边
题目要求：在抛物线上找一点P，使得S△ABC=S△PBC
方法简介：
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①A.P在公共边BC同侧时，只需AP∥BC，过点A作l//BC，交抛物线于P
1 1.
②A.P在公共边BC异侧时，将l 上移2CD个单位，即CD=CE，记为l//BC, 交抛物线于P2，P3
1 2
③将l 和l 分别与抛物线联立.
1 2
y
E
P
2
P
C 3 l
2
A O x
B
D
P 1 l 1
情况二：公共边为动边
题目要求：在抛物线上找一点P，使得S△APB=S△APC
方法简介：
①当点B.C在公共边AP同侧时，只需AP //BC即可，过点A作l//BC交抛物线于P1，联立l与抛物线.
②当点B.C在公共边AP异侧时，取BC中点D，CM=BN连接AD交抛物线于P2，联立AD与抛物线.
y
y
C
C
P N
2
A O x
B
D
D
A O M x
P 1 l 1 B
1．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
其中B(1,0)，C(0,3)．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S =S ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理
△PAC △ABC
由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
2．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B两点，与y轴相交
于点C(0，−3)．
(1)求b，c的值；
(2)P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式；
(3)在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P'，试探究，是否存在满足条件
的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P'的坐标；如果不存在，请说明理由．
类型四 面积最值问题
题目要求：在抛物线上的第一象限找一点P，使S△PBC面积最大
方法简介：
1
方法一：S= •水平宽•铅垂高
2
方法二：作l//BC，l与抛物线只有一个交点P，此时h最大，S△PBC面积最大，联立l与抛物线，△=0
y
P
h
l
C
A O x
B
1（2022·广东·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，
A(1,0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．
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(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(−1,0)、点B(5,0)，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点P(x ,y )(00)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点
M，交x轴于点N．
(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点
的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+c与y轴交于点
P(0,4)．
(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线y=−x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x
轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为
直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线y=−x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，
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使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若将抛物线y=−x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接
写出拋物线y=−x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
3．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴
下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点
P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型八 等角存在性问题
【常见的构角方法】
1）平行线的同位角、内错角相等；
2）等腰三角形的等边对等角；
3）角平分线分的两个角相等；
4）全等（相似）三角形对应角相等；
5）若两角的三角函数值相等，则两角相等；
6）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
探究角度问题的一般步骤如下：
1）读题、理解题意，画图；
2）分析动点、定点、找不变特征（如角有两边，其中一条边是确定的）；
3）确定分类特征，进行分类讨论；
4）将角度进行转化.
角度转化的一般方法为：
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通过锐角三角形函数、特殊角的三角函数值，相似三角形或等腰三角形的性质，转化为常见的类型，
然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大.
1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，
与y轴交于点C(0,4)，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形
OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．
2．（2022·四川达州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过
点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标：若不
存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，
过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由．
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思路 1：构造半角三角函数．
类型九 二倍角、半角存在性问题
α
α
α
α
【构造二倍角的方法】
方法一：构造二倍角的三角函数，并通过勾股定理求解.（左图）
思路 2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．
构造二倍角三角函方数法：二：等腰三角形的外角.（右图）
α
α
2α α α 2α
把2倍角转化为角相等的常用方法
1) 利用角平分线转化；
2) 利用等腰三角形顶角的外角转化；
3) 利用直角三角形斜边中线得等腰三角形转化.
1．（2020·辽宁鞍山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)经过点A(−2,−4)
和点C(2,0)，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿
1
ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的 时，请直接写出
4
线段AM的长．
2．（2020·湖南张家界·中考真题）如图，抛物线y=ax2−6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C．直线
y=−x+5经过点B,C．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC,AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
3．（2021·山东泰安·中考真题）二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(−4,0)，B(1,0)，与y
轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式；
PQ
（3）请判断： 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
QB
4．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标
为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣3)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
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类型十 特殊角存在性问题
2 2
1．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，抛物线y=− x2+ x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是
3 3
第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接AP，交线段BC于点D，
PD
①当CP与x轴平行时，求 的值；
DA
PD
②当CP与x轴不平行时，求 的最大值；
DA
(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
4
2．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B两点，与y轴交
3
于点C．
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(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；
(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．
3．（2021·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴正半轴交
于点C，且OC=2OA．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y=mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直
角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP=tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线y=x2−4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一
点A，顶点为D．
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(1)求出点B和点D的坐标；
1
(2)如图①，连接OD，P为x轴的负半轴上的一点，当tan∠PDO= 时，求点P的坐标；
2
(3)如图②，M是点B关于抛物线的对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0
