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第 03 讲 分式
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 分式的相关概念
题型01 分式的判断
题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围
题型03 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围
题型04 约分与最简公式
题型05 最简公分母
考点二 分式的基本性质
题型01 利用分式的基本性质进行变形
题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化
题型03 利用分式的符号法则，将分式恒等变形
考点三 分式的运算
题型01 分式的加减法
题型02 分式的乘除法
题型03 分式的混合运算
题型04 分式的化简求值
题型05 零指数幂
题型06 分式运算的八种技巧
技巧一 约分计算法
技巧二 整体通分法
技巧三 换元通分法
技巧四 顺次相加法
技巧五 裂项相消法
技巧六 消元法
技巧七 倒数求值法
技巧八 整体代入法
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考点要求 新课标要求 命题预测
在中考，主要考查
分式的相关概念 理解分式和最简分式的概念. 分式的意义和分式值为
零情况，常以选择题、
填空题为主；分式的基
分式的基本性质 能利用分式的基本性质进行约分与通分.
本性质和分式的运算考
查常以选择题、填空
题、解答题的形式命题.
分式的运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.
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考点一 分式的相关概念
A
分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，A为分子，B为分母.
B
A
对于分式 来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义.
B
②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.
③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.
A A
④若 >0，则A、B同号; 若 <0，则A、B异号.
B B
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.
通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.
约分与通分的联系与区别：
联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值.
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区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单.
2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.
最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的
分母叫做最简公分母．
确定最简公分母的方法：
类型 方法步骤
1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
分母为单项式
2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.
1）对每个分母因式分解;
分母为多项式 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母;
3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化
4a
简后再判断，例如： 就是分式.
a
2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义.
3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分
子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.
4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定
几个分式的最简公分母．
题型01 分式的判断
2 1 2 2 1 x+1
【例1】（2022·湖南怀化·中考真题）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有
5 π x2+4 3 x x+2
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（2022·上海·上外附中校考模拟预测）下列各式中：
a−b x+3 5+ y 1 n2+n 1 1
， ， ， ， ， x+ 中，是分式的共有（ ）
2 x π m(x+ y) n 2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2021·四川遂宁·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
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B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
1 x 4 1 1 x 4
C．在代数式 ，2x， ，985， +2b， + y中， ， ， +2b是分式
a π a 3 a π a
D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：
4a
就是分式，而不是整式.
a
题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围
1
【例2】（2023·江苏镇江·中考真题）使分式 有意义的x的取值范围是 ．
x−5
x
【变式2-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
5x+3
x
【变式2-2】（2023·河南南阳·校联考三模）若代数式 无意义，则实数x的值是 ．
3−x
x2−1
【变式2-3】（2023·山东临沂·一模）要使分式 无意义，则x的取值范围是 ．
x+1
√x+1
【变式2-4】（2023·湖北恩施·一模）函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A．x≠3 B．x≥3 C．x≥−1且x≠3 D．x≥−1
1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0.
2.分式无意义的条件：分式的分母等于0.
题型03 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围
x−1
【例3】（2023·浙江湖州·中考真题）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
3x+1
A．1 B．0 C．−1 D．−3
x2−x
【变式3-1】（2023·四川凉山·中考真题）分式 的值为0，则x的值是（ ）
x−1
A．0 B．−1 C．1 D．0或1
|m|−4
【变式3-2】（2023·河北廊坊·校考三模）若分式 =0，则（ ）
m2−16
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A．m=4 B．m=−4
|m|−4
C．m=±4 D．不存在m，使得 =0
m2−16
【变式3-3】（2021·江苏扬州·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
1
A．x+1 B．x2−1 C． D．(x+1) 2
x+1
2−3x
【变式3-4】（2021南充市一模）若分式 的值是负数，则x的取值范围是（ ）
x2+1
3 2 3 2
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
2 3 2 3
x−3
【变式3-5】分式 的值为负数的条件是（ ）
x3−2x2+x
A．x<3 B．x>0且x≠1
C．x<1且x≠0 D．0a>0，则分式 与 的大小关系是（ ）
b
a a+1
A． B． C． > D．不能确定
b b+1
2 2x
【变式1-2】（2023·上海·中考真题）化简： − 的结果为 ．
1−x 1−x
【变式1-3】（2023·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出
单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
M 1
例 先化简，再求值： − ，其中
a+1 a2+a
a=100．
a2 1
解：原式= −
a(a+1) a(a+1)
……
1 1 4
【变式1-4】（2023·江苏南京·校联考三模）已知a>0，b>0，证明： + ≥ ．
a b a+b
A B 2x−6
【变式1-5】（2021·四川乐山·中考真题）已知 − = ，求A、B的值．
x−1 2−x (x−1)(x−2)
题型02 分式的乘除法
【例2】（2023·河北·中考真题）化简 的结果是（ ）
A．x y6 B．x y5 C．x2y5 D．x2y6
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【变式2-1】（2022·内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
1 2a 2 ( b ) 3 b3
A．a3+a3=a6 B．a÷b⋅ =a C． − =2 D． =
b a−1 a−1 a2 a5
□ x
【变式2-2】（2022·河北石家庄·一模）若 ÷ ，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
x+ y y2−x2
（ ）
1
A．y－x B．y＋x C．2x D．
x
x2−9 x
【变式2-3】关于式子 ÷ ，下列说法正确（ ）
x2+6x+9 x+3
A．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2
C．当0
