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专题 28 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早
由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变
为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，圆C半径为
2，P为圆上一动点，连接 最小值__________． 最小值__________．
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例2．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为4， 的半径为2， 为
上的动点，则 的最大值是 ．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形 的边长为2，锐角大小为 ， 与 相切于点
E，在 上任取一点P，则 的最小值为___________．
例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形 中，M为 上一点，且
，N为边 上一动点．连接 ，将 沿 翻折得到 ，点P与点B对应，连接
，则 的最小值为 ．
例5．（2023·浙江·一模）问题提出：
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如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+ BP的最小值
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将 BP转化为某
一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝ BP
∴AP+ BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则 AP+PC的最小
值为 ．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是 上
一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
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例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形 的边长为4，圆B的半径为2，点P
是圆B上的一个动点，求 的最小值， 的最小值， 的最大值．
（2）如图2，已知正方形 的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求 的
最小值， 的最大值， 的最小值．
（3）如图3，已知菱形 的边长为4， ，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
的最小值和 的最大值． 的最小值
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例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为
定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
例8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点
．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三
角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点
为 上一个动点，请求出 的最小值．
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课后专项训练
1．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、
3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则 AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F
为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EF ED的最小值为( )
A．6 B．4 C．4 D．6
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3．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的
一个动点，则PD﹣ PC的最大值为_____．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示， ，半径为2的圆 内切于 ． 为圆 上
一动点，过点 作 、 分别垂直于 的两边，垂足为 、 ，则 的取值范围为
．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则
PA＋PB的最小值为 ．
6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知 ，若点 、 在射线 上，且满足
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， ， 是射线 上的动点，同时在 右侧作 ，且满足 ，
则 的面积为 ．若点 运动轨迹与射线 交于点 ，当 的最小值时，此时 的值
为 ．
7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是
AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．
8．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在 中，点A、点 在 上， ， ，点 在
上，且 ，点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为
．
9．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ ．
连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则 DQ+CQ的最小值为 ．
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10．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt 中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是
扇形AEF的 上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 ．
11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F
在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+ CG的最小值为 _____．
12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是
上一动点，连接PB，PC，则 的最小值_____________ 的最小值_______
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13．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形 的边长为4， ， 的半径为2，P为
上一动点，则 的最小值 ． 的最小值
14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：
（1）初步思考：如图1， 在 中，已知 ，BC=4，N为BC上一点且 ，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点
P是圆B上的一个动点，求 的最大值．
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图1 图2 图3
15．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 、 、
，若有 ，则称点 为 关于点 的勾股点．
(1)如图2，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则
点 是 关于点______的勾股点；若点 在格点上，且点 是 关于点 的勾股点，请在方格纸
中画出 ；(2)如图3，菱形 中， 与 交于点 ，点 是平面内一点，且点 是 关于
点 的勾股点．①求证： ；②若 ， ，则 的最大值为______（直接写出结果）；
③若 ， ，且 是以 为底的等腰三角形，求 的长．
(3)如图4，矩形 中， ， ， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点，
那么 的最小值为______（直接写出结果）．
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16．（2023·广东广州·统考一模）如图，已知 是等边三角形， ，点D为 的中点，点E，F
分别为边 ， 上的动点（点E不与B，C重合），且 ．
(1)求 的取值范围；(2)若 ，求 的长；(3)求 的最小值．
17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形 中， ，分别以
所在的直线为 轴、 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接 ,反比例函数 的图象经过
线段 的中点 ，并与矩形的两边交于点 和点 ，直线 经过点 和点 . （1）连接 、
，求 的面积；（2）如图2，将线段 绕点 顺时针旋转—定角度，使得点 的对应点 好落在
轴的正半轴上，连接 ，作 ，点 为线段 上的一个动点，求 的最小值.
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17．（2023·深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则
所有满足 （ 且 ）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称
“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知 ，连
接PA、PB，则当“ ”的值最小时，P点的位置如何确定？
第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得 ，即 ，构造母子型相似 ∽ （图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图， 与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N， 半径为3，点 ，点
，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．(1) 的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点
P的坐标．
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18．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义
为射线 上一点 ，满足 ．
显然点A也是点 的反演点．即点A与点 互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A
到点 的变换或从点 到点A的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径的圆，交y轴的正半轴于点
B；C为线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 ；若C关于 的反演点分别为 ．
（1）求点 的坐标；（2）连接 、 ，求 的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知： ，其中 ， ．
∴ ，故点 的坐标为 ；
（2）如图③，连接 、 ，由反演变换知 ，
即 ，而 ，∴ ．
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∴ ，即 ．
∴ ．故 的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为
线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 ．
（1）点D关于 的反演点 的坐标为________；（2）连接 、 ，求 的最小值；
（3）如图⑤，以 为直径作 ，那么 上所有的点（点O除外）关于 的反演点组成的图形具有
的特征是__________________．
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