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专题 03 与圆有关的计算
题型解读｜模型构建｜通关试练
模型01 阴影部分面积计算
求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试
中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形
性质是解题的关键．
模型02 阴影部分周长计算
求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径
是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为
n 1
S，则S扇形 =
360
πR2或S扇形 =
2
lR（其中l为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键.
模型03 与最值相关的计算
阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思
想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和
性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题
抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.
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模型01 阴影部分面积计算
考｜向｜预｜测
阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一
问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则
图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）
第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径）
第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆
假设小心论证）
第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解
例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形 中， ， ，以点A
为圆心， 为半径作圆与 的延长线相交于点F，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知 ， ，
阴影部分的面积
，
故选A．
例2．（2023·湖北）如图，在 中， ， 是 边上一点，以 为圆心的半圆
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分别与 边相切于 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．
【答案】 /
【详解】解：如图，连接 ， ，
以 为圆心的半圆分别与 边相切于 两点，
， ，
，
四边形 是矩形，
又 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
解得 ，
，
，
和 所包含扇形的面积之和为： ，
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图中两个阴影部分面积的和为： ，
故答案为： ．
模型02 阴影部分周长计算
考｜向｜预｜测
阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，
该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实
际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成
求规则图形的长度问题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；
第二步： 利用弧长公式求长度；
第三步： 求图形中其它边的长度；
例1．（2023·河北）如图，正方形 的边长为2，分别以 ， 为圆心，以正方形的边长为半径的圆
相较于点 ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接 、 ，作 于 ，
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，
为等边三角形，
， ，
∴ ，
∴阴影部分①的周长
阴影部分①②的总面积
，，
故答案为： ； ．
例2．（2023·浙江）如图，正方形 中，分别以 ， 为圆心，以正方形的边长 为半径画弧，形成
树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．
【答案】
【详解】解： 四边形 是正方形，边长为 ，
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， ，
树叶形图案的周长 ．
故答案为： ．
模型03 与最值相关的计算
考｜向｜预｜测
圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中
常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难
度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用
“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线
段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最
值问题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）
第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化
第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；
第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；
例1．（2023·江苏）如图，点C为 圆O上一个动点，连接 ， ，若 ，则阴影部分面积的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】C
【详解】解：连接 ， ， ， ，
要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形 的面积最大，只需满足 的面积最大即可，
从而可得当点 位于弧 的中点 时， 的面积最大，
连接 ，则 于 ，
，
，
，
扇形 的面积 ，
阴影部分面积的最小值 ，
故选：C．
例2．（2022·浙江）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心， 为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦
AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
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A．8π B． C．8π﹣16 D．
【答案】D
【详解】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP= =2 ，
∵OA'=OB'= ，
∴PA'=PB'= ，
∴tan∠A'OP=tan∠B'OP= = ，
∴∠A'OP=∠B'OP=60°，
∴∠A'OB'=120°，
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∴S =S OA'B'-S A'OB''= ，
阴 扇形
△
故答案为：D．
例3．（2023·吉林）如图，在 中， ， ， ，以 直径作圆， 为
边的垂直平分线 上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接 ，连接BP
∵ 为 边的垂直平分线 上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴ ,
∴
∴当动点P与点E重合时 最小，此时 最小，
∵ ， ， ，
∴ ， ,
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴阴影部分的周长最小值为 .
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故答案为 .
1．（2023·江苏）如图，在 中， ，以O为圆心的半圆分别与 边
相切于 两点，且O点在 边上，则图中阴影部分面积 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接 ，设 与 交于M、N两点，
∵ 分别切 于D、E两点，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ．
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴
．
故选D．
2．（2022·湖北）如图，在 中， ， ， 是 的平分线，经过 ， 两点的
圆的圆心 恰好落在 上， 分别与 、 相交于点 、 ．若圆半径为2．则阴影部分面积（
）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接OD，OF．
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∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S ＝S ，
AFD OFA
△ △
∴S ＝S ，
阴 扇形OFA
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝ .
故选：C．
3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中
的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且 ，则阴影部分面积与圆的面积之比为（
）
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A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，连接 ， ，
设正六边形的边长为1，则 ， ，
∴ 为等边三角形，则 ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，即圆的半径为 ，
所以圆的面积为 ，正六边形的面积为 ，
则阴影部分面积与圆的面积之比为 ，
故选：B．
4．（2022·广西）如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（ ， ），
弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）
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A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．
【答案】D
【详解】由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，
∵P（ ， ），
∴OP=2，∵OA=OB=4，
∴PA=PB=2 ，
∴tan∠AOP=tan∠BOP= ，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S =S ﹣S = = ，
阴 扇形OAB AOB
△
故选D．
5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画
与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）
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A． B． C．π D．4π
【答案】C
【详解】解：∵点A的坐标为（2，1），且⊙A与x轴相切，
∴⊙A的半径为1，
∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点，
∴点B的坐标为（-2，-1），
同理得到⊙B的半径为1，
∴⊙A与⊙B关于原点中心对称，
∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分完全重合，
∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分的面积相等，
∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．
故选C．
6．（2023·山西）如图，在 中， ， ，点O在 上，以 为圆心作圆与 相
切于点D，与 、 相交于点E、F；连接 、 ，若 的半径为2．则阴影部分面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接 ， ．
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∵ 与 相切，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故选C．
7．（2023·黑龙江）如图， 中， ， ，分别以点 ， 为圆心， ， 的
长为半径作圆，分别交 于点 ，则弧 弧 和线段 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积
（结果保留 ）
【答案】
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【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（2022·河南）在矩形 中， ，以 为直径作半圆（如图1），点P为边 上
一点．将矩形沿 折叠，使得点C的对应点E恰好落在边 上（如图2），则阴影部分周长是
．
【答案】 /
【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O，如图，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=90°，
由折叠得，
∵
∴
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∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴ 的长= ，
，
∴ 阴影部分周长= ，故答案为： ．
9．（2022·内蒙古）如图，在 中， ，以 为圆心， 的长为半径的圆交边 于点
，点 在边 上且 ，延长 交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是圆的切线；
(2)已知 ， ，求 长度及阴影部分面积．
【答案】(1)证明见详解；
(2)AC=3，阴影部分面积为 ．
【详解】（1）证明：连接OD
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∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在 上
∴ 是圆的切线；
（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt OCD中，
△
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt OAB中：
△
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即：
解得 ，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在Rt OCE中，
△
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵
解得 ，（ 舍去）
∴
∴阴影部分面积为 ．
1．如图，在以点O为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A和点B落在点O处，
折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵AB是直径，且AB=4，
∴OA=OE=2，
∵使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，
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∴AC=OC=OD=DB=1，
∴CD=2，EC= ,
∴△EOF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，
S = ，S =
半圆 长方形CDFE
∴S =S -(S -S )+2（S -S ）= - =
阴 长方形CDFE 半圆 长方形CDFE 扇形OEF EOF
△
故选D.
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AB中点，在AD上取一点G，以点G为圆心，GD的
长为半径作圆，该圆与BC边相切于点F，连接DE，EF，则图中阴影部分面积为（ ）
A．3π B．4π C．2π+6 D．5π+2
【答案】B
【详解】如图，连接GF，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4
∵点E是AB中点
∴AE＝BE＝2
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∵BC与圆相切
∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°
∴四边形GFCD是矩形，
又∵GD＝DF
∴四边形GFCD是正方形
∴GD＝GF＝CD＝CF＝4
∴BF＝BC﹣FC＝2
∵S ＝（S ABFD﹣S AED﹣S BEF）+（S GDF﹣S GDF）
阴影 四边形 扇形
△ △ △
∴S ＝（ ）+（4π﹣ ）＝4π.
阴影
故选B．
3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画 ，E为四边形内部一点，且
BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，如图，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
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∵∠BCE=30°，
∴∠EBC=60°，
∵EM⊥BC，
∴在Rt EMC中，
△
∴tan∠ECM= =tan30°= ，
∴MC= ，
∴∴在Rt EBM中，
△
∴tan∠EBM= =tan60°= ，
∴BM= ，
∵BM+MC=BC=4，
∴ + =4，
∴ ，
∴BM= ，
∵NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，
∴四边形BMEN是矩形，
∴NE=BM=1，
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
4．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，
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2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2 -π）cm2B．（π- ）cm2 C．（4 -2π）cm2 D．（2π-2 ）cm2
【答案】C
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD= = ，
∴S =S -3S = ×4×2 ﹣ =(4 ﹣2π)cm2，
阴影 ABC 扇形AEF
△
故选C．
5．如图，在 中， ， ， ，将 绕点O顺时针旋转 后得
，将线段 绕点E逆时针旋转 后得线段 ，分别以O，E为圆心， 、 长为半径画弧
和弧 ，连接 ，则图中阴影部分面积是（ ）
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A．π B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作 于H，
∵ ， ， ，
∴ ，
由旋转，得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
阴影部分面积 的面积 的面积 扇形 的面积 扇形 的面积
故选：C．
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6．如图，在半径为2、圆心角为 的扇形 中， ，点D从点O出发，沿 的方向运动
到点A停止．在点D运动的过程中，线段 ， 与 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当点D在线段OA上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，过点C
作 于点H，如图，
，
，
∵ ，
∴ ．
；
线段 、 与 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为 ．
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故答案为 ．
7．如图，矩形 中， ，F是 中点，以点A为圆心， 为半径作弧交 于点E，
以点B为圆心， 为半径作弧交 于点G，则图中阴影部分面积的差 为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【详解】解：∵在矩形 中， ，F是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
8．如图，在半径为4的扇形OAB中， ，点C是 上一动点，点D是OC的中点，连结AD
并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵点D是OC的中点， ，
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∴点D在以O为圆心2为半径的圆弧上，
∴可知当AE与小圆O相切于D时，OE最大，即△AOE的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值，
∵ ，
∴ ,则 ，
∵∠AOB=90°，
∴ ，
∴ ，
故选B．
9．如图，在 中， ， ， 是 的平分线，经过 ， 两点的圆的圆心 恰
好落在 上， 分别与 、 相交于点 、 若圆半径为 则阴影部分面积 ．
【答案】 /
【详解】解：连接 ， ．
是 的平分线，
，
，
，
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，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为： ．
10．如图，在 中， ， ，点 为 上一点，以 为圆心， 长为半径的圆与
相切于点 ，交 于另一点 ，点 为优弧 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为
．
【答案】
【详解】解：连接DE，OD，
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∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，△ODE为等边三角形，
∴ ，
∵S =S DGE+S DEF
阴影 弓形
△
∴当OF⊥DE时，阴影部分面积最大，此时OF与DE交于G，
∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，
∴ ， ，
∴S = S ODE- S DEO +S DEF
阴影 扇形
△ △
= ．
11．如图，点C为 圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．
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【答案】
【详解】
取弧AB的中点C′，连接AB、 、 、 ，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC的面
积最大，只需满足 ABC的面积最大即可，从而可得当点C位于弧AB的中点 时， ABC的面积最大，
则 于D △ △
扇形AOB的面积
阴影部分面积的最小值为
故答案为： ．
12．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（ ， ），弦AB经过点
P，则图中阴影部分面积的最小值= ．
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【答案】
【详解】解：由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小．
∵P（ ），∴OP=2．
∵OA'=OB'=4，
∴PA'=PB'=2 ，
∴tan∠A'OP=tan∠B'OP= ，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠A'OB'=120°，
∴S =S OAB'-S AOB'= ﹣ ．
阴 扇形 ' '
△
故答案为： ．
13．如图，扇形 中， ， ， 为弧 的中点，点 为 上一动点，连接 ，
当阴影部分周长最小时， 等于 ．
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【答案】 /
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 、 ，
由对称可知， ， ，
∵ ，当点 移动到点 时，取等号，此时 最小，
∵ 为弧 的中点，
∴ ，则 ，
，
又 ，
，
，
由轴对称可知， ，
，
当阴影部分周长最小时， ，则 ．
故答案为： ．
14．如图，扇形AOB中， ， 切弧AB于点C，切OA，OB分别于点D，E，若 ，则
阴影部分面积的周长为 ．
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【答案】
【详解】∵⊙M内切于扇形AOB，
∴C、M、O三点共线，
连接C、M、O，连接ME、MD，如图所示，
根据相切的性质可知DM⊥AO，ME⊥OB，设⊙M的半径为R，
∴ME=MD=MC=R，∠MDO=∠MEO=90°，
结合MO=MO，可得 ，
∴∠MOD=∠MOE= ∠AOB=120°× =60°，
∴在Rt MOE中，∠OME=90°-∠MOE=30°，
△
∴OE= ME= R，OM=2OE= R，
又∵OA=OC=OB=1，
∴OM+MC=1，即 R+R=1，解得R= ，
∴OE= ，则BE=OB-OE= ，
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∵∠MOE=60°，
∴ ，
∵∠OME=30°，
∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，
，
则阴影部分的周长为：BE+ + = + + = ，
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转 后得到 ，则图
中阴影部分（边 扫过的图形）的周长为 ．
【答案】
【详解】解：∵ ， 的长为 ，
的长为 ，
∴阴影部分的周长为 ．
故答案为 ．
16．如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径的圆交 于点 ．
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(1)若 ，求 的度数；
(2)若D是 的中点，且 ，求阴影部分（弓形）的面积．
【答案】(1)50°
(2)
【详解】（1）解：连接 ，如图，
， ，
，
，
，
，
的度数为 ；
（2）解：过点 作 于点 ，
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是 的中点， ，
，
，
为等边三角形，
， ，
阴影部分的面积 ；
17．如图，在△ABC 中，AB＝AC, 以AB 为直径作圆 ，分别交AC, BC于点D、E．
(1)求证：BE＝CE;
(2)当∠BAC＝40°时，求∠ADE 的度数；
(3)过点E作圆 的切线，交AB的延长线于点F,当AO＝BE＝2时,求图中阴影部分面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
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∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）∵AB=AC，AE⊥BC，∠BAC＝40°
∴
∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，
∵四边形ABED是圆内接四边形,
∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，
（3）连接OE，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴
∴ ．
18．如图， 中， 的平分线交 于点O，以点O为圆心， 长为半径作圆．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：过O作 于D，如图所示，
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，
平分
，
为 的半径，
为 的半径，
是 的切线．
（2）∵OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，
∴AC= OC=4 ，
∵∠AOC=90°-30°=60°，
∴∠COD=2∠AOC=120°，
由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线，
∴AD=AC=4 ，
∴阴影部分面积= AOC的面积+ AOD的面积-扇形OCD的面积
△ △
．
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