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专题 13 二次函数的应用的核心知识点精讲
1.会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题．
2.经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。
考点1：用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
考点2：用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、
最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐
标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于
利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的
【题型1：用二次函数解决抛物线型问题】
【典例1】（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物
线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以
O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移
动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝﹣ （x﹣2）2+3；球不能射进球门；
（2）当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣ （x﹣2）2+3；
当x＝0时，y＝﹣ ×4+3＝ ＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣ （x﹣2﹣m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣ （0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
1．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物
线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动
员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离
为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，
设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
解得： ，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；
（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，
解得x＝ +1或x＝﹣ +1（舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（ +1）米．
2．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分
析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球
点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝
﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x
﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 C点的距离更近，请通过计
算判断应选择哪种击球方式．
【答案】（1）点P的坐标为（0，2.8）；a的值是﹣0.4；
（2）选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．
【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，
∴点P的坐标为（0，2.8）；
把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，
解得：a＝﹣0.4，
∴a的值是﹣0.4；
（2）∵OA＝3m，CA＝2m，
∴OC＝5m，
∴C（5，0），
在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，
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在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2 +1（舍去）或x＝2 +1≈3.82，
∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|，
∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．
3．（2023•陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱
高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现
把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，
OE′＝E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记
1
为S ，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，
2
，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2
【答案】（1）方案一中抛物线的函数表达式为y＝﹣ x2+ x；
（2）S ＝18m2；S ＞S ．
1 1 2
【解答】解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣6）2+4＝﹣ x2+ x；
∴方案一中抛物线的函数表达式为y＝﹣ x2+ x；
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（2）在y＝﹣ x2+ x中，令y＝3得：3＝﹣ x2+ x；
解得x＝3或x＝9，
∴BC＝9﹣3＝6（m），
∴S ＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；
1
∵18＞12 ，
∴S ＞S ．
1 2
【题型2：用二次函数解决最优化问题】
【典例2】（2023•丹东）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千
克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出
大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的
数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意设y＝kx+b，
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，
则 ，
解得： ，
则y与x的函数关系式；y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），
（2）∵定价为x元，每千克利润（x﹣4）元，
由（1）知销售量为y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），
则（x﹣4）（﹣50x+1200）＝1800，
解得：x ＝22（舍去），x ＝6，
1 2
∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）设利润为W元，
根据题意可得：W＝（x﹣4）（﹣50x+1200），
即W＝﹣50x2+1400x﹣4800＝﹣50（x﹣14）2+5000，
∵a＝﹣50＜0，对称轴为x＝14，
∴当x＜14时，W随x的增大而增大，
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又∵4≤x≤7，
∴x＝7时，W最大值 ＝﹣50（7﹣14）2+5000＝2550（元），
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
1．（2023•绵阳）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计
划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本 10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价
x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利
润．（利润＝销售额﹣成本）
【答案】（1）y＝﹣x+40；
（2）每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y
＝kx+b，
得 ，
解得 ，
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40；
（2）依题意，设利润为w元，
得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400，
配方，得w＝﹣（x﹣25）2+225，
∵﹣1＜0
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
2．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的
矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆
120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株
售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）最多可以购买1400株牡丹．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣
3x）米，
根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以购买1400株牡丹．
3．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成
本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为 z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是 z＝
，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．
①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
【答案】（1）m＝﹣ ，n＝18；
（2）①工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②a的取值范围400＜a≤403.75．
【解答】解：（1）把x＝16时，z＝14；x＝20时，z＝13代入y＝mx+n得：
，
解得m＝﹣ ，n＝18；
（2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元，
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由（1）知，当12＜x≤20时，z＝﹣ x+18，
∴w＝（z﹣10）y＝（﹣ x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣ x+8）（5x+20）＝﹣ x2+35x+160＝﹣ （x﹣
14）2+405，
∵﹣ ＜0，12＜x≤20，
∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②当0＜x≤12时，z＝15，
∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100，
∴w＝ ，
则w与x的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，
∴当x＝13，15时w＝403.75，
当x＝12，16时，w＝400，
∴a的取值范围400＜a≤403.75．
【题型3：二次函数的综合应用】
【典例3】（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛
物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为 B上一个动点，请求出PC+ PA的最小值．
⊙
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）直线AD的解析式为y＝x﹣1；抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）存在，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3） ．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
将A（1，0）代入直线y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，
解得k＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）存在点M，
∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E，
∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴D（3，2），
①当∠DAM＝90°时，
设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入，
得﹣1+c＝0，
解得c＝1，
∴直线AM的解析式为y＝﹣x+1，
解方程组 ，得 或 ，
∴点M的坐标为（4，﹣3）；
②当∠ADM＝90°时，
设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，2）代入，
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
得﹣3+d＝2，
解得d＝5，
∴直线DM的解析式为y＝﹣x+5，
解方程组 ，解得 或 ，
∴点M的坐标为（0，5）或（5，0），
综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，
∵PB＝2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵∠PBF＝∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴ ，即PF＝ PA，
∴PC+ PA＝PC+PF≥CF，
∴当点C、P、F三点共线时，PC+ PA的值最小，即为线段CF的长，
∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，
∴CF＝ ，
∴PC+ PA的最小值为 ．
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2023•攀枝花）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点O，且顶点为A（2，﹣4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与 x 轴正半轴的交点为 B，点 P 位于抛物线上且在 x 轴下方，连接 OA、PB，若
∠AOB+∠PBO＝90°，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x；
（2）P（ ，﹣ ）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
将O（0，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；
（2）过A作AT⊥y轴于T，过P作PK⊥x轴于K，如图：
设P（m，m2﹣4m），
在y＝x2﹣4x中，令y＝0得x＝0或x＝4，
∴B（4，0）；
∵∠AOB+∠AOT＝90°，∠AOB+∠PBO＝90°，
∴∠AOT＝∠PBO，
∵∠ATO＝90°＝∠PKB，
∴△AOT∽△PBK，
∴ ＝ ，
∵A（2，﹣4），
∴ ＝ ，
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得m＝ 或m＝4（此时P与B重合，舍去），
∴P（ ，﹣ ）．
2．（2023•自贡）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为 y＝﹣ x2﹣ x+4，点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，
0）．
（2）点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4），
（3）E的坐标为（﹣1， ）．
【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+4，
∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（﹣ ，2），
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设点D的坐标为（a，b），则有 ，
解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），
②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），
设点D的坐标为（a，b），则有 ，
解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），
③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（ ，2），
设点D的坐标为（a，b），则有 ，
解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），
综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；
（3）存在，理由如下：
∵tan∠ACO＝ ＝ ＜1，
∴∠ACO＜45°，
∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上，
当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图：
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根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y＝ ，设直线AC与对称轴交于点
H，
∴点H（﹣1， ），HC＝ ，
∵EH∥y轴，
∴∠EHM＝∠HCO，
∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝ ＝ ，
∴EM＝ HM，
∵∠ACE＝45°，
∴EM＝CM，
∴HC＝HM+CM，即 ＝HM+ HM，
解得HM＝ ，
∴EM＝ ，
在Rt△EMH中，EH＝ ，
解得EH＝ ，
∴E的纵坐标为 ＝ ，
∴点E的坐标为（﹣1， ）．
3．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）
和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的
一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，
使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2） ；
（3）Q（1﹣ ，﹣ ）或（1+ ， ）．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，
作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，
抛物线的对称轴是直线：x＝ ，
∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，
∴D（1，2），
∵C（0，3），
∴CD＝ ，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，
当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
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由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，
x2+3x+（m﹣3）＝0，
由Δ＝0得，
32﹣4（m﹣3）＝0得，
m﹣3＝ ，
∴x2+3x+ ＝0，
∴x ＝x ＝﹣ ，
1 2
∴y＝﹣（﹣ ）2﹣2× +3＝ ，
y＝x+3＝﹣ +3＝ ，
∴ME＝ ，
∴MQ＝ME•sin∠MEQ＝ME•sin45°＝ ，
∴S△MCD最大 ＝ ＝ ；
（3）如图2，
当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
∵点B和点Q关于CQ对称，
∴CP＝CB，
设P（t，t+3），
由CP2＝CB2得，
2t2＝10，
∴t ＝﹣ ，t ＝ （舍去），
1 2
∴P（﹣ ，3﹣ ），
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∵PQ∥BC，
∴ ，
∴CR＝QR，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∵1+（﹣ ）﹣0＝1﹣ ，0+（3﹣ ）﹣3＝﹣ ，
∴Q（1﹣ ，﹣ ）；
如图3，
当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（ ，3+ ），
同理可得：Q（1+ ， ），
综上所述：Q（1﹣ ，﹣ ）或（1+ ， ）．
4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的
取值范围．
【答案】（1）t＝ ；
（2）t的值为 ；
（3）3＜m＜4或m＞6．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝ ；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
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解得t＝ ；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为 ；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝ ＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
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一．选择题（共7小题）
1．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一
条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之
间具有函数关系y＝﹣ x2+ x+ ，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
【答案】B
【解答】解：当y＝0时，则﹣ x2+ x+ ＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．
故选：B．
2．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运
动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m
②小球抛出3s后，速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
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把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得 ，
∴函数解析式为 ，
把h＝30代入解析式得， ，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选D．
3．某超市销售某款商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+10x+125，则
销售这款商品每天的最大利润为（ ）
A．125元 B．150元 C．175元 D．200元
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣x2+10x+125＝﹣（x﹣5）2+150，且a＝﹣1＜0，开口向下，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值y＝150，
∴销售这款商品每天的最大利润为150元．
故选：B．
4．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度y的关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第9秒 C．第10秒 D．第11秒
【答案】C
【解答】解：∵此炮弹在第6与第14秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线x＝ ＝10，
∴炮弹所在高度最高是10秒，
故选：C．
5．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每
提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x（100﹣x） B．y＝x（100﹣6x）
C．y＝（100﹣x）（15+x） D．y＝（100﹣6x）（15+x）
【答案】D
【解答】解：根据题意得，y＝（100﹣6x）（15+x），
故选：D．
6．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么
飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（ ）
A．10s B．20s C．30s D．40s
【答案】B
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【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝﹣ ＝﹣ ＝20（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：B．
7．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与
篮圈底的距离l是（ ）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
【答案】C
【解答】解：如图，
把C点纵坐标y＝3.05代入y＝0.2x2+3.5中得：
x＝±1.5（舍去负值），
即OB＝1.5，
所以l＝AB＝2.5+1.5＝4．
故选：C．
二．填空题（共3小题）
8．如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用 60m长的篱笆围成中间有一道篱笆
的养鸡场，设养鸡场的长为xm，当x＝ 3 0 m时，养鸡场的面积最大．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：
设养鸡场的长为xm，则宽为 m，设养鸡场的面积为S，
根据题意可得S＝x（ ）＝﹣ x2+20x＝﹣ （x﹣30）2+300，
∵﹣ ＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝30时，S有最大值，
即当x＝30m时，养鸡场的面积最大，
故答案为：30．
9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的
零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价 5 元．
【答案】5．
【解答】解：设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为W，由题意，得
W＝（100﹣70﹣x）（20+x），
∴W＝﹣x2+10x+600，
∴W＝﹣（x﹣5）2+625，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝5时，W最大 ＝625．
故答案为：5．
10．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高 OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC
是抛物线 的一部分，则杯口的口径AC为 9 ．
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【答案】9．
【解答】解：∵OD为14，
∴令14＝ x2+5，
解得x＝± ，
∴A（﹣ ，14），C（ ，14），
∴AC＝ ﹣（﹣ ）＝9，
故答案为：9．
三．解答题（共4小题）
11．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．
（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）12米；
（2）AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．
【解答】解：（1）设AB为x米，则BC＝（32﹣2x）米，
由题意得：x（32﹣2x）＝96，
解得：x ＝4，x ＝12，
1 2
∵墙长为14米，32米的篱笆，
∴32﹣2x≤14，2x＜32，
∴9≤x＜16，
∴x＝12，
∴AB＝12，
答：矩形的边AB的长为12米；
（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（32﹣2x）米，
∴y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
∵9≤x＜16，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，
∴当x＝9时，y有最大值是126，
答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．
12．综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁
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水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物
线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线
的解析式．
问题解决：
（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．
（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时
从桥下穿过，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2）在距离水面2米处桥拱宽度为 米；
（3）两小舟能同时从桥下穿过，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意得，点O和点A的坐标分别为（0，0）和（20，0），
∵B为函数顶点，
∴B（10，4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点B（10，4），
∴y＝a（x﹣10）2+4，
再将O（0，0）代入解析式可得，a（0﹣10）2+4＝0，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由题意得，令y＝2可得， ，
解得 ，
∴桥拱宽度为： （米）
（3）两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
∵两小舟的高均为3米，
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∴当y＝3时， ，
解得x ＝15，x ＝5，
1 2
∴最大能通行的宽度为：15﹣5＝10（米），
∵两小周宽为4米，
∴10＞4+4＝8，
∴两小舟能同时从桥下穿过．
13．某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查
发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．
在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该服装店销售这批秋衣日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）W与x之间的函数关系式为W
＝﹣2x2+260x﹣6450；（3）当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，最大值为1950元．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意得：
，
解得：k＝﹣2，b＝200，
∵秋衣进价为30元，销售单价不高于每件60元，
∴30≤x≤60，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）由题意得：W＝（x﹣30）y﹣450
＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2x2+260x﹣6450，
∴W与x之间的函数关系式为W＝﹣2x2+260x﹣6450；
（3）W＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，
∵﹣2＜0，
∴x＜65时，W随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x＝60时，W有最大值，最大值为1950，
∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，最大值为1950元．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝ax2+bx﹣3，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）过点P作PG∥y轴交BC于点G，
设点P坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则G（t，t﹣3），
∴PG＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S＝ ×3×（﹣t2+3t）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，S的最大值为 ，
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此时P（ ，﹣ ）．
1．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 S（米）关于滑行的时间 t（秒）的函数解析式是 S＝﹣
0.25t2+8t，无人机着陆后滑行（ ）秒才能停下来．
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解答】解：∵S＝﹣0.25t2+8t＝﹣0.25（t﹣16）2+64，﹣0.25＜0，
∴当t＝20时，S取得最大值64，
∴无人机着陆后滑行16秒才能停下来，
故选：B．
2．竖直上抛的小球的高度h（m）与运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，若小球在上抛后第3s与第
7s时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第4s B．第4.8s C．第4.9s D．第5.2s
【答案】C
【解答】解：由题意可知：小球在发射后第上抛后第3s与第7s时离地面距离相等，
则函数h＝at2+bt的对称轴为直线t＝ ＝5，
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故在t＝s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.9s最接近5s，
故在第4.9s时小球最高
故选：C．
3．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高 2.2m，与篮圈中心的水平距离为
8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面
3m．该运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使投中，该运动员应该跳得比刚才投
篮时（ ）
A．高0.8m B．高0.4m C．低0.8m D．低0.4m
【答案】A
【解答】解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝4，运动员和与篮圈中心距对称轴的距离相等，
∴运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，
∴运动员出手的位置距地面的高度为3m，
∵3﹣2.2＝0.8，
∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8m，
故选：A．
4．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若
正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过
多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．6.24米 B．6.76米 C．7米 D．7.24米
【答案】B
【解答】解：根据题意可得：
该抛物线经过（﹣10，﹣4），（10，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，
把（10，﹣4）代入y＝ax2得：4＝100a，
解得： ，
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∴该抛物线解析式为 ，
把x＝9代入得： ，
∴此时水深为：（4﹣3.24）+6＝6.76（米），
故选：B．
5．亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有150间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满．市
场调查表明单间房价在100～200元之间（含100元，200元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6
间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（ ）
A．100元 B．75元 C．50元 D．25元
【答案】B
【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高10x元，
将有6x间客房空出，客房租金总收入为y，
由题意可得：
y＝（100+10x）（150﹣6x）（0≤10x≤200）．
＝﹣60（x+10）（x﹣25），
则函数的对称轴为x＝ （25﹣10）＝7.5，
当x＝7.5时，
函数取得最大值，
则7.5×10x＝75（元），
故选：B．
6．飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位，秒）的函数解析式是 ．在
飞机着陆滑行中，最后6秒滑行的距离为（ ）米．
A．24 B．36 C．48 D．54
【答案】D
【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝﹣1.5t2+60t＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝20﹣6＝14时，y＝546，
所以600﹣546＝54（米）
故选：D．
7．如图，利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场AB﹣CD，其中∠C＝120°，若新建墙BC
与CD总长为12m，则该储料场ABCD的最大面积是（ ）
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A．18m2 B．18 m2 C．24 m2 D． m2
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，
设CD＝AE＝x m，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，
在Rt△CBE中，∠CEB＝90°，
∴BE＝ BC＝（6﹣ x）m，
∴AD＝CE＝ BE＝（6 ﹣ x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣ x＝（ x+6）m，
∴梯形ABCD面积S＝ （CD+AB）•CE
＝ （x+ x+6）•（6 ﹣ x）
＝﹣ x2+3 x+18
＝﹣ （x﹣4）2+24 ，
∴当x＝4时，S最大 ＝24 ．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2；
故选：C．
8．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的图象与函数y＝﹣x2+6x的图象交于y轴一点，则m＝
﹣ 1 或 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意，在y＝﹣x2+6x中，x＝0时，y＝0；
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在y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3中，
x＝0时，y＝m2﹣2m﹣3＝0；
即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或3．
9．如图1，有一块外边缘呈抛物线型的废材料，小成同学想废旧利用，从中截取一个矩形ABCD，使矩形
的顶点A、B落在材料的底边MN上，C，D落在外边缘的抛物线上，小成同学量得MN＝6dm，抛物线
顶点处到边MN的距离是9dm；于是，小成同学在图纸上，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x
轴，以1dm为1个单位建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）请你帮小成求出该抛物线的解析式；
（2）小成截下的矩形ABCD的周长能否等于20dm？若能，请求出矩形的边AB的长；若不能，请说明
理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+9；
（2）能，AB＝2dm．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax2+9，
由MN＝6知，点N（3，0），
将点N的坐标代入抛物线表达式得：0＝9a+9，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）能，AB＝2，理由：
设点C（m，﹣m2+9），
则BC＝﹣m2+9，CD＝2m，
则矩形ABCD的周长＝2（CD+BC）＝2（﹣m2+9+2m）＝20，
解得：m＝1，
则AB＝CD＝2（dm），
故矩形的边AB的长为2dm．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
故﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；
（2）过点B作直线AC的平行线n交y轴于点N，过点P作AC的平行线交y轴于点m，
∵△ACP的面积等于△ACB的面积的一半，
∴CM＝ CN，
由点A、C的坐标得， ，
解得 ，
直线AC的表达式为：y＝x+3，
设直线n的解析式为y＝x+q，
将B（1，0）代入，得：1+q＝0，即q＝﹣1，
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则直线n的表达式为：y＝x﹣1，
故点N（0，﹣1），
即ON＝1，则CN＝4，CM＝ CN＝2，
则OM＝CO+CM＝2+3＝5，
故点M（0，5），
则直线m的表达式为：y＝x+5…②，
联立①②并解得：x＝﹣1或﹣2，
故点P（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）方法一：
当MC∥AQ且MC＝AQ时，M与C关于对称轴x＝﹣1对称，
∴AQ＝MC＝2，
∴Q （﹣1，0），Q （﹣5，0），
1 2
②当AC∥MQ且AC＝MQ时，
因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上，所以点M到x轴的距离为3．
设M（m，﹣m2﹣2m+3），
∴﹣m2﹣2m+3＝﹣3，
∴m2+2m﹣6＝0，
∴ ，
∴ ， ；
综上：存在点 Q 有四个，分别为：Q （﹣1，0），Q （﹣5，0）， ，
1 2
．
方法二：
点M（m，n），n＝y＝﹣m2﹣2m+3
①当AC是对角线时，则 ，
解得： ，即点Q（﹣1，0）；
②当AM是对角线时，则 ，
解得： ，
故点Q（﹣5，0）；
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③当AQ是对角线时，则 ，
解得： ，
即点Q（2﹣ ，0）或（2+ ，0），
故点Q的坐标为：（2﹣ ，0）或（2+ ，0）或（﹣5，0）或Q（﹣1，0）．
11．综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P
的坐标；
（3）点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请直接写出Q的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣5x﹣6；
（2）面积的最大值为27；P（3，﹣12）；
（3）存在， ， ， ， ．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（6，0）代入y＝x2+bx+c，得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣6
（2）过P作PD⊥x轴，交BC于点E，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设直线BC的表达式为y＝kx+b 将B（6，0），C（0，﹣6）代入，得
1
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∴y＝x﹣6，
设P（m，m2﹣5m﹣6），E（m，m﹣6），
∴PE＝（m﹣6）﹣（m2﹣5m﹣6）＝6m﹣m2，
∴S△PBC ＝S△PCE +S△PBE ，
＝
＝
＝
＝﹣3（m﹣3）2+27
∵﹣3＜0，
∴当m＝3时，S最大 ＝27，
当m＝3时，m2﹣5m﹣6＝﹣12，
∴P（3，﹣12）；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为 ，故设点 ，
由点C、B、Q的坐标得，BC2＝72， ， ，
当BC为斜边时，则 ，
解得：m＝ ，
即点Q 或 ；
当BQ为斜边时，则 ＝ ，
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解得： ；
即点 ；
当CQ为斜边时，则 ＝ ，
解得： ，
即点 ，
综上，点Q的坐标为： ， ， ，
12．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第
二象限内抛物线上一点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接PA，PC，AC，求S△PAC 的最大值；
（3）如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，连接BC、BP，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）8；
（3）y＝﹣ x+ ．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ），
1 2
则y＝a（x+4）（x﹣1）＝a（x2+3x﹣4），
则﹣4a＝4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+4，
如图1，过点P作PH∥y轴交AC于点H，
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设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则点H（x，x+4），
则S△PAC ＝S△PHA +S△PHC ＝ PH×OA＝ （﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4）×4＝2（﹣x2﹣4x），
∵﹣2＜0，故S△PAC 存在最大值，
当x＝﹣2时，S△PAC 的最大值为8；
（3）作点B关于y轴的对称点N（﹣1，0），如图2，
则∠BCN＝2∠BCO＝∠DPB，
由点B、N、C的坐标得，BC＝BN＝ ，
过点B作BT⊥CN于点T，
则S△BCN ＝ BN×CO＝ CN×BT，
即2×4＝ ×BT，
则BT＝ ，
则sin∠BCN＝ ＝ ，
则tan∠CBN＝ ＝tan∠DPB，
则tan∠DBP＝ ，
则直线BP的表达式为：y＝﹣ （x﹣1）＝﹣ x+ ．
13．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．
其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 150 160 180
月销售量y件 140 120 80
月销售利润w元 4200 4800 4800
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）．
（1）根据上述信息求：
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①y关于x的函数解析式；
②当x是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
（2）由于某种原因，该商品的进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品的售价不得超过165
元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数解析式．若月销售利润最大是
4620元，求m值．
【答案】（1）①y＝﹣2x+440；②当x是170时，月销售利润最大，最大利润是5000元；
（2）3．
【解答】解：（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
将（150，140）和（160，120）代入得： ，
解得 ，
则y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+440；
②进价为150﹣4200÷140＝120（元），
则w＝（x﹣120）（﹣2x+440）＝﹣2（x﹣170）2+5000，
由二次函数的性质可知，当x＝170时，w取得最大值，最大值为5000，
答：当x是170时，月销售利润最大，最大利润是5000元．
（2）由题意得：w＝（x﹣120﹣m）（﹣2x+440）＝﹣2x2+（680+2m）x﹣52800﹣440m，
∴当 时，w有最大值，
∵m＞0，
∴ ，
又∵﹣2＜0，
∴当0＜x≤165时，w随x的增大而增大，
∴当x＝165时，w取最大值4620，
即（﹣2×165+440）×（165﹣120﹣m）＝4620，
解得m＝3
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/2 23:38:05；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713
1．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h
（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝2，
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∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
2．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的
三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有
两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的
个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为 m，
当AB＝6时， ＝6，
解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x• ＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，
故②正确；
设矩形菜园的面积为y m2，
根据题意得：y＝x• ＝﹣ （x2﹣40x）＝﹣ （x﹣20）2+200，
∵﹣ ＜0，20＜26，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．
故③正确．
∴正确的有2个，
故选：C．
3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面
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宽8米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，
O为原点，
由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，
把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，
9a+2＝0，
解得：a＝﹣ ，
所以抛物线解析式为y＝﹣ x2+2，
当x＝4时，y＝﹣ ×16+2＝﹣ ，
∴水面下降 米，
故答案为： ．
4．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条
抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关
系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s．
【答案】2．
【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
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且﹣5＜0，
∴当t＝2时，h取最大值20，
故答案为：2．
5．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的
关系是y＝﹣ （x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ 1 0 m．
【答案】10．
【解答】解：令y＝0，则﹣ （x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案为：10．
6．（2023•沈阳）如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知
房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝ 1 5 m时，羊圈的面积最大．
【答案】15．
【解答】解：设AB为x m，面积为S m2，
由题意可得：S＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450，
∴当x＝15时，S取得最大值，
即AB＝15m时，羊圈的面积最大，
故答案为：15．
7．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水
平距离也为3m，那么水管的设计高度应为 m ．
【答案】 m．
【解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
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∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：a＝﹣ ．
∴y＝﹣ （x﹣1）2+3．
∵当x＝0时，y＝﹣ ×（0﹣1）2+3＝﹣ +3＝ ，
∴水管的设计高度应为 m．
故答案为： m．
8．（2023•陕西）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM＝
12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支
架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB＝BN＝NC
＝CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′＝
B′C′＝C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，
D′C′的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理
由．
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【答案】（1）y＝ ；
（2）方案二的内部支架节省材料．理由见解答．
【解答】解：（1）∵该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，顶点P到底部OM的距离为9米，
∴顶点P的坐标为P（6，9），点O的坐标为O（0，0），点M的坐标为M（12，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+9，将O（0，0）的横纵坐标代入，
得0＝a（0﹣6）2+9，
解得a＝ ，
∴该抛物线的函数表达式为y＝ ，即y＝ ；
（2）方案二的内部支架节省材料．理由如下：
方案一：∵OB＝BN＝NC＝CM，OM＝12米，
∴OB＝3米，OC＝9米，
当x＝3时，y＝ ，即AB＝ 米，
当x＝9时，y＝ ，即CD＝ 米，
∴方案一内部支架材料长度为AB+NP+CD＝ （米），
方案二：∵OB′＝B′C′＝C′M，OM＝12米，
∴OB′＝4米，OC′＝8米，EF＝B′C′＝4米，
当x＝4时，y＝ ，即A′B′＝8米，
当x＝8时，y＝ ，即C′D′＝8米，
∴方案二内部支架材料长度为A′B′+EF+C′D′＝8+4+8＝20（米），
∵ ＞20，
∴方案二的内部支架节省材料．
9．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用
围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种
方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总
种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为
多少？
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【答案】（1）8m，4m；
（2） m， m2．
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为a m，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为x m，则CD长度为（21﹣3x）m，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣ ）2+ ，
∵﹣3＜0，
∴当x＝ 时，总种植面积有最大值为 m2，
此时CD＝21﹣3× ＝ ＜12，符合题意，
即BC应设计为 m总种植面积最大，此时最大面积为 m2．
10．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了 6600元，第二批花了8000元，
第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当
售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖
90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）第二批每个挂件的进价为40元．
（2）当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
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根据题意可得， +50＝ ，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当x≥52时，w随y的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴w≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
11．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B
（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请
求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2） ；
（3）M（﹣1，1）．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴ ，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
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（2）如图，
连接OP，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∴PQ＝4，OQ＝1，
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴OA＝3，
∴S四边形AOBP ＝S△AOP +S△BOP ＝ ＝ ＝ ；
（3）设M（﹣1，m），
由AM2＝BM2得，
[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴M（﹣1，1）．
12．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形
是 菱 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 P 、 Q 两 点 的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
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（2）（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3 ）或（0，3 +3）；
（3）存在，P（﹣1，3﹣ ），Q（﹣4，﹣ ）或P（﹣1，3+ ），Q（﹣4， ）或P
（﹣1，1），Q（﹣2，2）或P（﹣1， ），Q（2，3+ ）或P（﹣1，﹣ ），Q（2，3﹣
）．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（1，0）两点在抛物线上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
等腰△ACD，如图甲，
当以点D为顶点时，DA＝DC，点D与原点O重合，
∴D（0，0）；
当以点A为顶点时，AC＝AD，AO是等腰△ACD中线，
∴OC＝OD，
∴D（0，﹣3）；
当以点C为顶点时，AC＝CD＝ ＝ ＝3 ，
∴点D的纵坐标为3﹣3 或3 +3，
∴D（0，3﹣3 ）或（0，3 +3）；
综上所述，点D的坐标为（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3 ）或（0，3 +3）；
（3）存在，理由如下：
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抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为：x＝﹣1，
设P（﹣1，t），Q（m，n），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
则AC2＝（﹣3）2+32＝18，
AP2＝（﹣1+3）2+t2＝t2+4，
PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图1，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3± ，
∴P （﹣1，3﹣ ），P （﹣1，3+ ），
1 2
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P （﹣1，3﹣ ）时，
1
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：m＝﹣4，n＝﹣ ，
∴Q （﹣4，﹣ ），
1
当P （﹣1，3+ ）时，
2
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：m＝﹣4，n＝ ，
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∴Q （﹣4， ）；
2
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图2，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P （﹣1，1），
3
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与PQ中点重合，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：m＝﹣2，n＝2，
∴Q （﹣2，2）；
3
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图3，
∴t2+4＝18，
解得：t＝± ，
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∴P （﹣1， ），P （﹣1，﹣ ），
4 5
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：m＝2，n＝3± ，
∴Q （2，3+ ），Q （2，3﹣ ）；
4 5
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：P（﹣1，3﹣ ），Q（﹣4，﹣ ）或P（﹣1，3+
），Q（﹣4， ）或P（﹣1，1），Q（﹣2，2）或P（﹣1， ），Q（2，3+ ）或P
（﹣1，﹣ ），Q（2，3﹣ ）．
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