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专题 23 圆的基本性质的核心知识点精讲
1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；
2.理解并运用圆周角定理及其推论；
3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；
4.理解并运用圆内接四边形的性质.
考点1： 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2
倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作圆
AB
弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
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3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点4：垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
考点5：圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的
弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
C
考点6：圆角角的概念
B O
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
A
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即： 圆周角
1
= 圆心角）
2 D C
B O
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 A
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C
B A
O
推论 3：如果三角形一边上的中线 等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形。
C
B A
考点7：圆内接四边形 O
圆的内接四边形定理：圆的内接四边 形的对角互补，外角等于它
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的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
A E
【题型1：垂径定理及推论】
【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，
主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
1．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的 O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交 O于
点D，连接OA，则OE的长度为 ．
⊙ ⊙
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则
BD的长为（ ）
⊙
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且
紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
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【题型2：圆周角和圆心角】
【典例2】（2023•广西）如图，点A，B，C，在 O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
1．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在 O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
⊙
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2023•河南）如图，点A，B，C在 O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）
⊙
A．95° B．100° C．105° D．110°
【题型3：弧、弦、圆心角】
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【典例3】（2023•广东）如图，AB是 O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（ ）
⊙
A．20° B．40° C．50° D．80°
1．（2023•泰安）如图，AB是 O的直径，D，C是 O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（
）
⊙ ⊙
A．25° B．30° C．35° D．40°
2．（2023•枣庄）如图，在 O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为
（ ）
⊙
A．32° B．42° C．48° D．52°
3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在 O上，C为 的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（
）
⊙
A．140° B．120° C．110° D．70°
4．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为 O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的
度数是（ ）
⊙
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A．20° B．18° C．15° D．12°
【题型4：圆内接四边形】
【典例4】（2023•西藏）如图，四边形 ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则
∠BOD的度数是（ ）
⊙
A．65° B．115° C．130° D．140°
1．（2023•朝阳）如图，四边形ABCD内接于 O，若∠C＝120°， O的半径为3，则 的长为（ ）
⊙ ⊙
A． B．2 C．3 D．6
2.（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于 O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝
π π π π
°．
⊙
3．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于 O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝ ，则
∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
⊙
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A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
一．选择题（共9小题）
1．如图，点A、B、C在 O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
⊙
A．38° B．76° C．80° D．60°
2．如图，△ABC的三点都在 O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（ ）
⊙
A．40° B．50° C．55° D．60°
3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长
是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
4．如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（
）
⊙ ⊙
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A．40° B．50° C．110° D．130°
5．如图，△ABC是 O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
⊙
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（ ）
⊙ ⊙
A．130° B．120° C．110° D．100°
7．如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则 O的半径长为
（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．2 C．4 D．10
8．如图，四边形ABCD内接于 O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
⊙
A．50° B．100° C．130° D．150°
9．如图，AB，CD是 O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则 所对的圆
心角的度数是（ ）
⊙
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A．30° B．40° C．50° D．70°
二．填空题（共5小题）
10．如图，四边形ABCD内接于 O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是
°．
⊙
11．如图，△ABC内接于 O，BD是 O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 ．
⊙ ⊙
12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度
CD为 cm．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此
圆弧的圆心坐标为 ．
14．如图，点A，B，C，D在 O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝ ．
⊙
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三．解答题（共1小题）
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为 O的直
径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
⊙
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（ ）
⊙
A．100° B．128° C．104° D．124°
2．如图，△ABC内接于 O，E是 的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（
）
⊙
A．70° B．65° C．60° D．55°
3．如图，PA，PB分别切 O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（ ）
⊙
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A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，AB为 O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与
圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
⊙
A．38° B．40° C．42° D．44°
5．如图，AB是 O的直径，点C为圆上一点，AC＝4 ，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E
是BD的中点，则BC的长为（ ）
⊙
A．5 B．3 C．2 D．1
6．如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC
的长是（ ）
A． B． C．2 D．4
7．如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于
π π π
M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知四边形ABCD内接于 O， ＝ ，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．
若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
⊙
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A．16° B．24° C．12° D．14°
9．如图， O是△ABC的外接圆，∠ACB＝36°，则∠ABO的度数为（ ）
⊙
A．36° B．45° C．54° D．72°
10．如图，四边形ABCD内接于 O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为
（ ）
⊙
A．110° B．120° C．130° D．140°
二．填空题（共4小题）
11．如图，在 O中，弦AB，CD相交于点P，∠B＝35°，∠APD＝77°，则∠A的大小是 度．
⊙
12．如图，已知△ABC内接于 O，AB是 O的直径，CD平分∠ACB，交 O于点D，若AB＝6，则BD
的长为 ．
⊙ ⊙ ⊙
13．绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽
AB为 m．
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14．如图，点A是 O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为
．
⊙
三．解答题（共2小题）
15．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为
弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
16．图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的
一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一
种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留 ）．
π
1．（2023•杭州）如图，在 O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则
∠BAC＝（ ）
⊙
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A．23° B．24° C．25° D．26°
2．（2023•淄博）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接
AD并延长交 O于点E．若AD＝2，DE＝3，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙ ⊙
A． B． C． D．
3．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆心，B为 上
一点，OB⊥AC于D．若AC＝300 m，BD＝150m，则 的长为（ ）
A．300 m B．200 m C．150 m D．100 m
4．（2023•广元）如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则
π π π π
∠ACD的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．56° B．33° C．28° D．23°
5．（2023•凉山州）如图，在 O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2 ，则OC＝（ ）
⊙
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A．1 B．2 C．2 D．4
6．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BC是 O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的
度数是 °．
⊙ ⊙
7．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于 O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝
度．
⊙
8．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 ．
9．（2023•永州）如图， O是一个盛有水的容器的横截面， O的半径为10cm，水的最深处到水面AB
的距离为4cm，则水面AB的宽度为 cm．
⊙ ⊙
10．（2023•常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在 上，CD⊥AB．“会圆
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术”给出 长l的近似值s计算公式： ，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝ ．（结果
保留一位小数）
16
