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专题 18 直角三角形的核心知识点精讲
1.了解直角三角形的概念；
2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角 互余 (无需证明)；直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半；
3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角 三角形；
4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；
考点1：直角三角形的性质与判定
1.两锐角之和等于90°
2.斜边上的中线等于斜边的一半
3.30°角所对的直角边等于斜边的一半
1. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于
性质 30°（应用时需先证明）
2. 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为 a，b,斜边为 c,则
直
1.有一个角为90°的三角形时直角三角形
角
2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形
三 1. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
角 判定 2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足
形
，那么这个三角形为直角三角形。
，其中a是底边常，hs是底边上的高
面积公式
考点2： 勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别
a，b c a2 b2 c2
为 ，斜边长为 ，那么 .
a，b，c
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三 条 边 长 ， 满 足
a2 b2 c2
，那么这个三角形是直角三角形.
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（3）勾股数：像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型1：直角三角形的性质与判定】
【典例1】（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，
则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
1．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
则∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故选：C．
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2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有
许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 120°，腰长为12m，则底
边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
【答案】B
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝30°，
又∵AD⊥BC，
∴AD＝ AB＝ 12＝6（m），
故选：B
【题型2：勾股定理及逆定理】
【典例2】（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今
有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”
译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出 4尺；竖放，竿比门高长出2尺；
斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的
长分别是 8 ， 6 ， 1 0 尺．
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【答案】8，6，10．
【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，
根据勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，
解得：x ＝2（不合题意舍去），x ＝10，
1 2
10﹣2＝8（尺），
10﹣4＝6（尺）．
答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．
故答案为：8，6，10．
1．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧（弧所在圆的
半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD
＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵BD＝CD，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，
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∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，
∴AB＝ ＝ ＝6，
故选：D．
2．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至
C港，则A，C两港之间的距离为 5 0 km．
【答案】50．
【解答】解：如图：
由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，
∴∠DAB＝∠ABE＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，
AC＝ ＝ ＝50（km），
∴A，C两港之间的距离为50km，
故答案为：50
3．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面
积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：
如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝ （BC+ ）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝
1 ．
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【答案】1．
【解答】解：∵BD＝ （BC+ ），AB＝7，BC＝6，AC＝5，
∴BD＝ （6+ ）＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，
故答案为：1．
4．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有
一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外
壁B处到内壁A处所走的最短路程为 1 0 cm．（杯壁厚度不计）
【答案】10．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，
连接B′A，则B′A即为最短距离，
B′A＝ ＝ ＝10（cm）．
故答案为：10．
【题型3：勾股定理与弦图、拼图】
【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．
在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股
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定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明
该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，
这三个图形中面积关系满足S +S ＝S 的有 3 个；
1 2 3
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积
分别为S ，S ，直角三角形面积为S ，请判断S ，S ，S 的关系并证明；
1 2 3 1 2 3
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，
重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大
正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3
＝∠ ，则当∠ 变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝ m 2 ；
α α
②b与c的关系为 b ＝ c ，a与d的关系为 a + d ＝ m ．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2＝ ab×4+（b﹣a）2，
化简得：a2+b2＝c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2+ ab×4，
化简得：a2+b2＝c2．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即 （a+b）（a+b）＝ ab×2+ c2，
化简得：a2+b2＝c2．
（2）①三个图形中面积关系满足S +S ＝S 的有3个；
1 2 3
故答案为3；
②结论：S +S ＝S ．
1 2 3
∵S +S ＝ （ ）2+ （ ）2+S ﹣ （ ）2，
1 2 3
∴S +S ＝ （a2+b2﹣c2）+S ，
1 2 3
∴a2+b2＝c2．
π
∴S +S ＝S ．
1 2 3
（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；
②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．
故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．
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1．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形
（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三
角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则tan ＝（ ）
α α
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由已知可得，
大正方形的面积为1×4+1＝5，
设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
则a2+b2＝5，a﹣b＝1，
解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴tan ＝ ＝ ＝2，
故选：A．
α
2．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．
如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方
形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，
根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，
则AE＝x﹣1，
在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，
∴（x﹣1）2+x2＝52，
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解得：x ＝4，x ＝﹣3（舍去），
1 2
∴x﹣1＝3，
故答案为：3．
一．选择题（共7小题）
1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝
26°，则∠CDE的度数为（ ）
A．52° B．71° C．72° D．81°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，
∴∠A＝90°﹣26°＝64°，
根据折叠，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，
∴∠CDE＝∠ADC＝71°，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则
AD长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
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【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，
∴BD＝2BC＝4，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，
∴∠A＝∠ABD＝15°，
∴AD＝BD＝4，
故选：A．
4．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：以2，3为直角边的直角三角形斜边长＝ ＝ ，
故选：B．
5．下列各组数据是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．4，5，6
C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41
【答案】D
【解答】解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；
D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意．
故选：D．
6．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（
）
A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD
【答案】A
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
本选项符合题意；
B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角
形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB
全等，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形
全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（
）
A．28° B．59° C．60° D．62°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，
∴△CAE≌△DAE（HL），
∴∠CAE＝∠DAE＝ ∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AEC＝90°﹣ ∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝ 5 0 °．
【答案】50．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°．
∵D为线段AB的中点，
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∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝50°．
故答案为：50．
9．我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为 10尺的正
方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好
达到岸边的水面”，则水池的深度为 1 2 尺．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+（10÷2）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水的深度是12尺．
故答案为：12．
10．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ 40 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠FCD＝75°，
∴∠A+∠B＝75°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A＝ ×75°＝25°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CFD＝∠AFE＝65°，
∵∠FCD＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．
故答案为：40°
11．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 27 0 °．
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【答案】270．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：270．
12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形 ADEC，若图中阴影部分的面积为
9cm2，BC＝4cm，则AB＝ 5 cm．
【答案】5．
【解答】解：∵正方形ADEC的面积为9，
∴AC2＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝ ＝ ＝5（cm），
故答案为：5．
13．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长
为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
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∴∠EBC＝∠BEC，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵BD＝1，BC＝3，
∴CE＝3，
∴AE＝BE＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．
故答案为：5．
三．解答题（共4小题）
14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：
Rt△BDE≌Rt△CDF．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
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∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：S阴影 ＝S
Rt△ABC
﹣S
Rt△ACD
＝ ×10×24﹣ ×8×6
＝96．
16．如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发
现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板
离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？
【答案】10m．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，
∴x2＝62+（x﹣2）2，
解得：x＝10，
答：绳索AD的长度是10m．
17．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为： ＝24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25＝ ，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
一．选择题（共5小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得
点A落在A'处，若∠A'BC＝20°，则∠CBD＝（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】D
【解答】解：由折叠得∠ABD＝∠A'BD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠A'BC＝20°，
∴∠ABA'＝80°，
∴∠ABD＝∠A'BD＝40°，
∴∠CBD＝∠A'BD﹣∠A'BC＝20°，
故选：D．
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2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上
截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作
射线BF交AC于点G．若AC＝6，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，而AC＝6，
∴（2BC）2﹣BC2＝62，
解得：BC2＝12，
同理可得：BG＝2GC，
∴（2GC）2﹣GC2＝BC2＝12，
∴GC＝2，
当GP⊥AB时，GP最短，此时根据角平分线的性质可得GP＝GC＝2，
故选：B．
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点
P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P ，P ，
4 2
以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P ，P ，
1 3
边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，
故选：C．
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4．如图，线段OP＝1，过点P作PP ⊥OP且PP ＝1，连结OP ；过点P 作P P ⊥OP 且P P ＝1，连结
1 1 1 1 1 2 1 1 2
OP ；过点P 作P P ⊥OP 且P P ＝1，连结OP ，则OP 的长为（ ）
2 2 2 3 2 2 3 3 3
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解答】解：由勾股定理得： ＝OP2+ ＝2，
＝ + ＝3，
OP ＝ ＝2．
3
故选：D．
5．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S 、S 、S 、S 的关系为（ ）
1 2 3 4
A．S +S +S ＝S B．S +S ＝S +S
1 2 3 4 1 2 3 4
C．S +S ＝S +S D．不能确定
1 3 2 4
【答案】C
【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S
1
＝S△ACG ﹣S
5
＝ b2﹣S
5
，S
3
＝S△BCH ﹣S
6
＝ a2﹣S
6
，
∴S +S ＝ （a2+b2）﹣S ﹣S ，
1 3 5 6
∵S
2
+S
4
＝S△ABF ﹣S
5
﹣S
6
＝ c2﹣S
5
﹣S
6
，
∵c2＝a2+b2，
∴S +S ＝S +S ，
1 3 2 4
故选：C．
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二．填空题（共3小题）
6．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图
形的面积为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC2+AC2＝AB2，BC＝ ＝ ＝3，
∴S△ABC ＝ BC•AC＝ ×3×4＝6，
设以BC为直径的半圆的面积为S ，以AB为直径的半圆的面积为S ，以AC为直径的半圆的面积为S ，
1 3 2
∵S ＝ •（ BC）2＝ BC2，S ＝ •（ AC）2＝ AC2，S ＝ •（ AB）2＝ AB2，
1 2 3
π π π
∴S阴影 ＝S
2
+S
1
+S△ABC ﹣S
3
＝ （BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC ＝S△ABC ＝6，
故答案为：6．
7．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较
长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程
是 2 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把立体图形展开为平面图形得：展开后AB方向上线段长度变长，长度为AB+1+1＝8+2＝
10米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC，
∴AC＝ ＝2 （米），
故答案为：2 ．
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8．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数
学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长
直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周
长为 3 2 cm．
【答案】32．
【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，
∴BC＝7﹣3＝4（cm），
由勾股定理得：AC＝ ＝5（cm），
∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．
故答案为：32．
三．解答题（共4小题）
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、
BC边上匀速移动，它们的速度分别为V ＝2cm/s，V ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止
P Q
运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【答案】（1） ；
（2） 或t＝1．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
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∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴ ．
当 时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴ ．
即当 或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
10．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点
C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC+ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵∠ABC+∠EBD＝90°，
∠ABC+∠BAC＝90°，
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∴∠BAC＝∠EBD，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
在△ABC与△BED中，
，
∴△ABC≌△BED（AAS），
∴BC＝DE，BD＝AC，
∴CD＝BC+BD＝AC+ED；
（2）由（1）知，DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，
∴S梯形ACDE ＝ ，
又∵S梯形ACDE ＝S△ABC +S△ABE +S△BDE
＝ ab+ +
＝ab+ ，
∴ ，
∴a2+b2＝c2．
11．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，
CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．
问：（1）在离A站多少km处？
（2）判定三角形DEC的形状．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
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设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km；
（2）△DEC是直角三角形，理由如下：
∵△DAE≌△EBC，
∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，
∠DEA+∠D＝90°，
∴∠DEA+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
即△DEC是直角三角形．
12．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．
如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两
点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内
的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；
（2）台风影响该海港持续的时间为 小时．
【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
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（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED＝ （km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝ （小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝
90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【答案】B
【解答】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CD＝ AB＝3cm，
故选：B．
2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC
的长为（ ）
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A． B．2 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，
∴AC＝2BD＝4，
∵∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝ AC＝2，
故选：C．
3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方
形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成
的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是 1，4，5时，围成的直角三角形的面积是 ＝
，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是 ＝ ；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是 ＝ ，
∵ ，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
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故选：B．
4．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A
爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：
∵正方体棱长为1，
∴BC＝1，AC＝2，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴需要爬行的最短路程为 ；
故选：C．
5．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交
AC于点E，则∠EBC＝ 10 ° ．
【答案】10°．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：10°．
6．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝ 5
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．
【答案】5．
【解答】解：连接CM，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ，
∵点M是AB的中点，
∴CM＝ AB＝5．
故答案为：5．
7．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以
点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 +1 ．
【答案】 +1．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
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∴AC＝AB＝ ，
∴OC＝AC+OA＝ +1，
∵交x轴正半轴于点C，
∴点C的坐标为（ +1，0）．
故答案为： +1．
8．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的
角平分线，则AD＝ 5 ．
【答案】5．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE＝6，
在Rt△ABC中， ＝ ＝10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AD＝8﹣x＝5．
故答案为：5．
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9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦
图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边
长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 9 6 ．
【答案】96．
【解答】解：由图可得，
a2+b2＝c2，
∴ 且a、b均大于0，
解得 ，
∴每个直角三角形的面积为 ab＝ ×12×16＝96，
故答案为：96．
10．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC
＝60°，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2） ．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∵∠C＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
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∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，
∴BE＝ ＝ ，
在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，
∴EC＝ ＝3，
∴BC＝3+ ，
∴S△ABC ＝ BC×AE＝ ．
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