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专题25 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
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题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动...............................................................................1
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动..............................................................................3
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动..............................................................................8
类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动............................................................................13
类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场....................................................................22
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题.............................................................................33
类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题......................................................................34
类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题........................................................................40
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.............................................................52
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为
圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点
即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力
方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝α.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动
【例1】(2022·四川省仪陇宏德中学高三模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的
匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t 时间从b点离开
1
磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 t 时间从a、
2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司b连线的中点c离开磁场，则为( )
A．3 B．2 C. D.
【答案】 A
【解析】 电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图
所示，
电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，
电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 t 时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据
2
半径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子
2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t ＝＝，电子2运动的时间t ＝＝，所以＝
1 2
3，故A正确，B、C、D错误．
【例2】（2023春·河北唐山·高三遵化市第一中学校考阶段练习）如图，一个质量为m，电
荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁
场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成45°角。OP=a。则以下说法正确的
是（ ）
A．带电粒子运动轨迹的半径为a
B．磁场的磁感应强度为
C．OQ的长度为
D．粒子在第一象限内运动的时间为
【答案】BD
【详解】A．带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如下图
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设带电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得
解得
故A正确；
B．根据牛顿第二定律可得
解得
故B正确；
C．根据几何知识可得
故
故C错误；
D．带电粒子做匀速圆周运动的周期为
由几何知识可得
则
故D正确。
故选BD。
【例3】.（2023·山西运城·统考三模）如图，ab和ac是无限大磁场的分界线，在ab和ac
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的上下两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。
，P、Q是分界线上的两点，且 。现有一质量为m、电荷量为 的
粒子从P点沿PQ方向水平射出，粒子射出速度 ，不计粒子的重力，下列说法
正确的是（ ）
A．粒子运动的轨迹半径为
B．粒子由P点运动到Q点所用的时间为
C．若射出速度为 ，粒子第一次运动到ac边上的位置到a点的距离为
D．若射出速度为 ，粒子由P点运动到Q点所用时间为
【答案】AC
【详解】A．由洛伦兹力提供向心力有
解得
故A正确；
B．可得粒子由P点到Q点的运动时间刚好是一个运动周期，则
故B错误；
C．若射出速度为 ，运动半径为
由几何关系可知，粒子第一次运动到ac边上位置距a点的距离
故C正确；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．若射出速度变为 ，粒子由P点运动到Q点所用时间仍为一个周期，故D错误。
故选AC。
【例4】（2023春·广东潮州·高三校考期中）薄铝板将同一匀强磁场分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，
高速带电粒子可穿过铝板一次，在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径R>R，假定穿过
1 2
铝板后粒子电荷量保持不变，但速率减小，则该粒子（ ）
A．带正电
B．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同
C．从Ⅱ区域穿过铝板运动到Ⅰ区域
D．从Ⅰ区域穿过铝板运动到Ⅱ区域
【答案】BD
【详解】ACD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
粒子穿过铝板后，速率减小，电量不变，可知轨道半径减小，所以粒子是从区域Ⅰ穿过铝
板运动到区域Ⅱ，根据左手定则知，粒子带负电，故AC错误，D正确；
B．粒子在磁场中做圆周运动的周期
周期大小与粒子的速度无关，粒子在两区域的运动时间都是半个周期，则粒子在Ⅰ、Ⅱ区
域的运动时间相同，故B正确。
故选BD。
【例5】（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）如图所示，两个速度大小相同、比
荷不同的带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向
里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中
运动的（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．轨迹半径之比为2∶1 B．比荷之比为2∶1
C．时间之比为3∶2 D．周期之比为2∶1
【答案】B
【详解】A．粒子1和粒子2的圆心O 和O，如图所示
1 2
设粒子1的半径
R=d
1
对于粒子2，由几何关系可得
解得
故轨迹半径之比为1∶2，故A错误；
B．由牛顿第二定律可得
化简可得
可知，比荷之比为2∶1，故B正确；
D．周期
得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故两粒子周期之比为1∶2，故D错误；
C．速度的偏转角即圆心角，故粒子1的运动时间
粒子2的运动时间
故它们在磁场中运动的时间之比为3∶4，故C错误。
故选B。
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
【例1】（2023春·广东潮州·高三潮州市金山中学校考阶段练习）如图所示，圆形区域内
有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的 点沿半径方向射入磁场。若粒子射
入磁场时的速度大小为 ，运动轨迹为 ；若粒子射入磁场时的速度大小为 ，运动轨
迹为 。不计粒子的重力，下列判断正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．速度 小于速度
C．粒子以速度 射入时，在磁场中运动时间较长
D．粒子以速度 射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大
【答案】BC
【详解】A．根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；
B．根据牛顿第二定律有
解得
根据图中轨迹可知， ，则有
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故B正确；
C．粒子在磁场中的运动周期为
粒子在磁场中的运动时间为
由图可知运动轨迹为 对应的圆心角大于运动轨迹为 对应的圆心角，故粒子以速度
射入时，在磁场中运动时间较长，故C正确；
D．粒子在磁场中受到的洛伦兹力大小为
，可知 ，故粒子以速度 射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较小，故D错误。
故选BC。
【例2】．（2023春·云南曲靖·高三统考期中）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域
中充满了垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度
v 沿和直径 成 角的方向垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点 射出。已知
0
为区域磁场的一条直径，不计电荷的重力，下列说法正确的是（ ）
A．该点电荷带负电
B．该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．该点电荷的比荷为
D．该点电荷在磁场中的运动时间为
【答案】AD
【详解】A．由题意可知，点电荷应向下偏转，由左手定则可知，该点电荷带负电，故A
正确；
B．由题意可知，点电荷在磁场中做匀速圆周运动轨迹对应的弦长为2R，设点电荷做匀速
圆周运动的半径为r，由弦长公式可得
解得
故B错误；
C．点电荷做匀速圆周运动所受洛伦兹力提供向心力，则有
则比荷
故C错误；
D．由题意可知，点电荷做匀速圆周运动的圆心角
则该点电荷在磁场中的运动时间为
故D正确。
故选AD。
【例3】．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在一垂
直纸面向里的匀强磁场，直径ab水平。电子带电荷量为 、质量为m，以速率v从a处始
终沿纸面射入磁场，当电子在a处的速度方向与aO夹角为30°、斜向下时，离开磁场时的
速度方向相比进入时的改变了60°。不计电子的重力，下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．圆形区域中磁场的磁感应强度大小为
B．改变入射方向，当电子经过O点时，电子在磁场中的运动时间为
C．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变
D．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变
【答案】BC
【详解】A．设电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心为C，出射点为d，如图甲所示，
由于电子离开磁场时的速度方向相比进入时的速度方向改变了60°，可知 ，由
三角形全等可知
电子从d点射出时的速度方向竖直向下，可知 为等腰三角形，
可知电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径
根据洛伦兹力提供电子在磁场中做圆周运动的向心力可得
代入半径可得
故A错误。
B．改变电子在a处的入射方向，当电子经过O点时，如图乙所示，轨迹圆心在圆形边界
上的D点，出射点在e点，可知四边形aOeD为菱形，三角形aOD，eOD为等边三角形，
电子从e点射出时速度方向仍竖直向下，在磁场中运动轨迹对应的圆心角为120°，电子在
磁场中的运动时间为
故B正确。
C．改变电子在a处的入射方向，设电子从一般位置f射出，轨迹圆心为P，同理可知四边
形aOfP为菱形，出射点对应轨迹半径 ，可知电子射出磁场时速度方向仍竖直向下，
即改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变，故C正确，D错误。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选BC。
【例4】（2023·山东济南·山东省实验中学校考二模）如图所示，半径为R的圆形区域中有
垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为 的带正电粒子，从
圆形磁场边界上的A点以 的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且
，下列选项正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N点射出方向竖直向下
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
【答案】C
【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为
四边形AONP的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故A错误；
B．粒子在磁场中速度偏转 ，从N点射出方向是与竖直方向呈 ，故B错误；
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形
SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确；
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最
小，最小面积为
故D错误。
故选C。
类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动
【例1】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的
同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为 v的电子从圆心
沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被
限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀
速圆周运动轨迹的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司应强度最小为B，由几何关系有＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律有evB＝m，解得B＝，选项C正确。
【例2】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）地磁场对射入的宇宙粒子有偏转作用，
假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的
倍。如图所示是赤道所在平面的示意图，地球半径为R，匀强磁场垂直纸面向外，MN为磁
场圆边界的直径，MN左侧宽度为 的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为
的粒子垂直MN以速度v射入地磁场，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，不计粒子
重力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．地磁场的磁感应强度大小为
B．打在地面时速度方向指向O的粒子在磁场中的运动时间为
C．从M点射入的粒子在磁场中速度偏转角的余弦值为
D．仅增大粒子速度，能打到地表的粒子数一定减少
【答案】BC
【详解】A．由题意可知，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，其轨迹如图所示，由图
可得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得
由洛伦兹力提供向心力，可得
解得地磁场的磁感应强度大小为
A错误；
B．打在地面时速度方向指向O的粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所示，设打在地面的
点为K，轨迹的圆心为O，由图可知，则三角形OK O是等腰直角三角形， ，
2
可知三角形POO为直角三角形，则粒子运动轨迹对应的圆心角为45°，则粒子在磁场中的
2
运动时间为
B正确；
C．从M点射入的粒子在磁场中速度偏转的轨迹，如图所示，O 为轨迹的圆心，由几何关
3
系可知，三角形COO 为等腰三角形，则有
3
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司从M点射入的粒子在磁场中速度偏转角的余弦值为
C正确；
D．仅增大粒子速度v，由
可知r 增大，则能打到地表的粒子数增多，D错误。
1
故选BC。
【例3】（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）2023年1月7日，中科院聚变大科学团
队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新
的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理
是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为 ，
外半径为 ，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，
速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为 的区
域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A． B．
C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】CD
【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的
方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子最大轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
要使粒子不离开磁场
由于
故选CD。
【例3】．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，半径分别
为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面
向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为 q（ ）的粒子由大圆
上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则
粒子运动速率v可能为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
可得
粒子仅在磁场中运动，则
或
代入可得
或
故选ACD。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地
球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，O为地球球心、R为地球半径。地磁
场只分布在半径为R和 的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直
纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直 沿赤道平面射向地球。已
知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（
）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若粒子速率小于 ，入射到磁场的粒子可以到达地面
B．若粒子速率小于 ，入射到磁场的粒子均无法到达地面
C．若粒子速率为 ，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面
D．若粒子速率为 ，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面
【答案】BD
【详解】AB．若粒子的速率为 ，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有
解得
若粒子的射入方向在正对O处以上，根据左手定则可知，其粒子的轨迹为向上偏转，则入
射到磁场的粒子均不可能到达地面，故A错误，B正确；
C．若粒子的速率为 ，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有
解得
若粒子正对着O处入射，且恰好可以到达地面，其轨迹如图所示。设该轨迹半径为r，由
1
几何关系可得
解得
故C错误；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．若粒子速率为 ，由洛伦兹力提供向心力得
解得
由C项的分析可知，此时若粒子正对着O处入射，则恰好可以到达地面；而在对着O处以
上的方向入射的粒子，因为向上偏转，均不能到达地面；而在对着O处以下的方向入射的
粒子均会达到地面。综上所述，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地，故D正确。
故选BD。
【例5】（2023·全国·高三专题练习）2020年12月4日，新一代“人造太阳”装置——中
国环流器二号M装置（HL-2M）在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束
在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，核聚变主要原料氕核 和氘核 均
从圆心O沿半径方向射出，被约束在半径为 和 两个同心圆之间的环形区域，该区域
存在与环面垂直的匀强磁场。则下列说法正确的是（ ）
A．若有粒子从该约束装置中飞出，则应减弱磁场的磁感应强度
B．若两种粒子速率相同，氕核 不会从该约束装置中飞出，则氘核 也一定不会从
该约束装置中飞出
C．若两种粒子在磁场中做圆周运动的半径相同，则两种粒子具有相同大小的动量
D．若氘核 在磁场中运动的半径 ，则氘核 会从该约束装置中飞出
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】C
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
如果减弱磁场的磁感应强度，粒子轨道半径变大，更容易飞出去，A错误；
B．由上面分析得
氕核与氘核速率相同，所带电荷量相同，磁感应强度也相同，氕核 不会从该约束装置
中飞出，但氘核质量更大，所以轨道半径更大，氘核有可能飞出该装置，B错误；
C．由上面分析得
氕核与氘核所带电荷量相同，轨道半径相同，磁场的磁感应强度也相同，则两种粒子具有
相同大小的动量，C正确；
D．如图所示
设氘核轨道半径为r，当轨迹和外部大圆相切时是氘核飞出该装置的临界状态，根据几何
关系有
解得
若氘核 在磁场中运动的半径 ，则氘核 不会从该约束装置中飞出，D错误。
故选C。
类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场
【例1】(2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内
沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大
小分别为( )
A.kBl，kBl B.kBl，kBl
C.kBl，kBl D.kBl，kBl
【答案】 B
【解析】 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为r ＝，由洛伦兹力提供
a
向心力，有evB＝m，又＝k，解得v ＝；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何
a a
关系有r2＝l2＋(r－)2，解得：r＝，由洛伦兹力提供向心力，有evB＝m，又＝k，解得v
d d d d d
＝，选项B正确．
【例2】（2023·重庆·校联考三模）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀
强磁场（图中未画出），AC边长为l， 为 ，一群比荷为 的带负电粒子以相同速度
从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直
射出的粒子在磁场中运动的时间为 ，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为 ，则
以下说法中正确的是（ ）
A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】AD
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直 边射出的粒子在磁场中运动的时
间是 ，由
可得
解得
故A正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为 ，则有
可得
画出该粒子的运动轨迹如图所示
设轨道半径为 ，由几何知识得
可得
故B错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力可得
则粒子射入磁场的速度大小为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故C错误；
D．射入的粒子恰好不从 边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D正确。
故选AD。
【例3】．（2023·新疆·统考三模）如图所示，边长为L的正方形 内表面涂有荧光材
料，粒子打在表面会被吸收并发出荧光。正方形区域内存在方向垂直该平面向外、磁感应
强度大小为B的匀强磁场，粒子源从正方形 边的中点P沿垂直磁场方向持续发射质量
为m、电量为q的带正电的某种粒子，发射速度方向斜向上，速度大小与发射角的关系为
， 为发射速度方向与水平方向的夹角， ，其中 的粒子恰好从
边中点射出。不计粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子从P点运动至与 边相切所需的时间为
B．粒子在 边发出荧光的总长度为L
C．打在B点的粒子轨道半径为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】AC
【详解】A．当 的粒子速度v=v，粒子恰好从AB边中点射出，则
0
当粒子从P点运动至与DC边相切时，则轨道半径
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即
可知所有粒子的轨迹圆心都在AB边上；当轨迹与DC相切时
由几何关系
可得
r=L
α=60°
则粒子运动的时间
选项A正确；
B．当粒子轨道与DC边相切时，粒子打到BC边上的位置为上边缘，可知粒子在 边发
出荧光的总长度小于L，选项B错误；
C．打在B点的粒子轨迹如图，此时轨迹与B点相切，设 ，则
其中
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由几何关系
解得
解得轨道半径为
选项C正确；
D．当轨迹圆与B点相切时，粒子在磁场中转过的角度大于90°，此时运动时间
选项D错误。
故选AC。
【例3】（2023·山东·模拟预测）如图所示的正方形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一
带电粒子从ad边中点e沿ec方向射入磁场。当射入速度大小为v时，恰好从bc边中点f飞
出磁场。不计粒子所受重力。下列说法正确的是（ ）
A．当粒子速度大小为 时，粒子离开磁场时的速度方向与磁场边界垂直
B．当粒子速度大小为 时，粒子在磁场区域运动过程中速度方向改变了90°
C．粒子两次射入速度大小分别为 ，在磁场中运动时间分别为 ，若 ，
则有
D．若粒子射入速度大小合适，可能从ab边界上任一点飞出磁场
【答案】ABC
【详解】A．由左手定则判断，粒子带负电，做匀速圆周运动
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司周期
设正方形边长为L，粒子射入速度方向与ef时夹角为θ，有
当粒子射入速度大小为v时，轨迹对应的圆心角为 ，运动时间
由几何关系可得
当粒子速度大小为 时，轨迹半径
粒子的轨迹圆心恰好位于cb边的延长线上，如图1所示，粒子离开磁场时速度方向应与磁
场边界垂直，故A正确；
B．设粒子速度大小为 时，在磁场区域运动过程中速度方向改变了90°，轨迹半径
如图2所示。由几何关系可得
解得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即
故B正确；
C．粒子入射速度变小，轨迹半径变小，粒子两次射入速度大小分别为 ，只要两次不
都是从ea边射出， 时，轨迹半径
轨迹对应的圆心角
则有
若两次都是从ea边射出， 时，轨迹半径
轨迹对应的圆心角
则有
故C正确；
D．当入射速度使粒子运动轨迹恰好与ab边界相切时，设切点为g，速度再小时，粒子就
从ea边射出，所以粒子不可能在ag间飞出磁场，故D错误。
故选ABC。
【例4】（2023春·重庆·高三校联考期中）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在边
长为 的等边三角形 内， 是 边的中点，一群相同的带负电的粒子仅在磁场力作
用下，从 点沿纸面以平行于 边方向、大小不同的速率射入三角形内，不考虑粒子间
的相互作用力，已知粒子在磁场中运动的周期为T，则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子垂直 边射出时，半径 等于
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长
C．粒子可能从 点射出，且在磁场中运动的时间为
D．粒子可能从 边射出，且在磁场中运动时间为
【答案】AD
【详解】A．根据题意可知，粒子垂直BC边射出时，运动轨迹如图
根据几何关系知半径为 ，故A正确；
BCD．若带电粒子刚好从 边射出磁场，运动轨迹与 边相切，可知圆心角为 ，粒
子在磁场中经历时间为 ，若带电粒子刚好从 边射出磁场，运动轨迹与 边相切，
作图可得切点为C点，如图所示
可知圆心角为 ，粒子在磁场中经历时间为 ，若带电粒子从AB边射出磁场，可知圆
心角为 ，粒子在磁场中经历时间为 ，所以该粒子在磁场中经历时间为 ，则它
一定从AB边射出磁场；所以可知粒子速度和运动时间无确定的关系，故BC错误，D正确。
故选AD。
【例5】．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，正三角形ABC内有垂直纸面
向里的匀强磁场（图中末画出），磁感应强度的大小为B，三角形的边长为L，B点有一离
子源，能发出速率相同、方向不同的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为 ，粒子的速
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司率 ，粒子的重力忽略不计，不考虑粒子之间的相互作用，（已知 ）。
下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．与BC边夹角为 的粒子从BC边射出，且射出的速度方向与BC边夹角仍为
C．从BC边射出的粒子轨迹可能与AC边相切
D．当粒子射入磁场速度方向与BC边夹角为 时，从AC边射出的粒子在磁场中运动
的时间最短
【答案】AD
【详解】ABC．洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，所以有
所以粒子做圆周运动的半径为
又因为粒子的速率
解得
所以当粒子射入磁场的速度方向与BC边夹角为 时，粒子恰好从C点射出，速度方向与
BC边夹角为 ，则粒子的速度方向与BC边界夹角在 内均从BC边界射出磁场，
从C点射出磁场的粒子在磁场中运动时间最长，最长时间为
而
解得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故A正确，BC错误；
D．当粒子从AC边界的中点O射出时，BO为到AC边的最短距离，因此当BO为轨迹上的
弦长时所对应的圆心角最小，即对应的粒子在磁场中运动的时间最短，设粒子射入磁场时
速度方向与BO的夹角为 ，则根据几何关系有
，
解得
所以
此时粒子射入磁场时速度方向与BC边界夹角为 ，故D正确。
故选AD。
【例6】．（2023·全国·高三专题练习）在矩形 区域内存在一个垂直纸面向外、磁感
应强度大小为B的匀强磁场， 边长为 ， 边长为 。带正电的粒子从O点沿 方
向以不同速率射入，已知粒子的质量为m、电荷量为q，粒子所受重力及粒子间的相互作
用均忽略不计。取 ，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．垂直边界 射出时，粒子的速度大小为 D．垂直边界 射出时，粒子的速度大
小为
【答案】AC
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】AB．由几何关系有
解得
设粒子做圆周运动的半径为R，由
可得
可知粒子在磁场中做圆周运动的周期和速度无关。由几何关系可知粒子偏转的最大圆心角
粒子运动的最长时间
故A正确，B错误；
CD．粒子垂直于 边射出时，由几何关系有
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
故C正确，D错误。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选AC。
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至
少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立
几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，
故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对
应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
【例1】(多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为
B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的
带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射
出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动
情况，下列说法正确的是( )
A．它的轨道半径为d
B．它进入磁场时的速度为
C．它在磁场中运动的时间为
D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d
【答案】 AB
【解析】 粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝d，故A
正确；由qvB＝m，r＝d，联立解得粒子进入磁场时的速度为 v＝＝，故B正确；由T＝
＝，如图由几何关系知t＝T，解得粒子在磁场中运动的时间为t＝，故C错误；粒子运动
轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2rcos 30°＝－d，故D错误．
【例2】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）如图所示，直角三角形AOC，
，AO右侧某区域存在垂直于AOC平面的匀强磁场（图中未画出），其磁感
应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从C点垂直于AC进入磁场，
该粒子经磁场偏转后平行于CO射到AC边上的D点（图中未画出），粒子重力不计。下
列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A. 粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场
B. 磁场方向垂直AOC平面向里
C. CD间的距离为
D. 粒子从C点到D点 时间为
的
【答案】BD
【解析】
【详解】A．若粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场，到达D点时的速度
一定与AC边垂直，A错误；
B．根据左手定则，磁场方向垂直AOC平面向里，B正确；
C．根据题意，该粒子在磁场中的偏转角度为
设轨道半径为R，根据牛顿第二定律得
CD间的距离为
解得
C错误；
D．粒子从C点到D点的时间为
解得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D正确。
故选BD。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直
于纸面，线段 是屏与纸面的交线，长度为 ，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个
方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子； ，P为垂足，如图所示，
已知 ，若 上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】粒子要打中 的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从 飞出，绕过距离最近
的 点，从右侧打中 最下端的 点，粒子运动的轨迹如图所示
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司为轨迹圆的弦长， 为 中点， ， ；粒子运动的半径为 ，根
据几何关系可知四边形 为平行四边形，则
解得
粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
解得粒子的最小速率为
故选C。
【例4】（2023·高三单元测试）长为l的水平放置极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如
图所示。磁感应强度大小为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的
带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使
粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A．使粒子的速度 B．使粒子的速度
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．使粒子的速度 D．使粒子的速度
【答案】AB
【详解】如图所示
带电粒子刚好打在极板右边缘时，根据几何关系有
在磁场中，由洛伦兹力提供向心力
解得
粒子刚好打在极板左边缘时，根据几何关系有
解得
欲使粒子不打在极板上，应满足
或
故选AB。
【例5】（2023·河南洛阳·统考模拟预测）如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够
长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是
磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q的粒子（不计粒子重力），在竖直平面内，
沿着与MN夹角为 的方向射入磁场中。则下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若带电粒子带负电，入射速度只要大于 ，粒子就会从PQ射出
B．粒子在磁场中运动的最长时间可能是
C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为
D．若在该空间再加一个匀强电场，粒子有可能做匀加速直线运动
【答案】BC
【详解】A．若带电粒子带负电，粒子恰好从PQ射出，轨迹如图
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
解得粒子入射速度
入射速度只要大于 ，粒子就会从PQ射出，A错误；
B．若带电粒子带正电，粒子在磁场中运动的最长时间对应轨迹为
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由几何关系
运动时间
粒子在磁场中运动的最长时间可能是 ，B正确；
C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子（带负电），在磁场中运动时间均为
C正确；
D．若在该空间再加一个匀强电场，带电粒子受电场力与洛伦兹力，由于洛伦兹力垂直于
速度方向，且大小为
若粒子做匀加速直线运动，则速度增加，洛伦兹力变大，合力不再与速度共线，所以若在
该空间再加一个匀强电场，粒子不可能做匀加速直线运动，D错误。
故选BC。
类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题
【例1】（2023春·安徽安庆·高三安庆一中校考期中）如图所示，OACD是一长为OA=l的
矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从O点以速度
v 垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，
0
则（ ）
A．粒子一定带正电
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．匀强磁场的磁感应强度为
C．粒子从O到A所需的时间为
D．矩形磁场的宽度最小值为
【答案】CD
【详解】A．由题意可知，粒子进入磁场时所受洛伦兹力斜向右下方
由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；
B．粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
故B错误；
C．由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角 ，粒子在磁场中做圆周运动的周
期
粒子在磁场中的运动时间
C正确；
D．根据图示，由几何知识可知，矩形磁场的最小宽度
故D正确。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选CD。
【例2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图所示，空闻有半径为R的
圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，在距圆心O为 处有一粒子源，
时刻沿纸面内的任意方向上均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子，粒子比荷为
k，粒子在磁场中运动的半径为 ，则（ ）
A．粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为
B．粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为
C． 时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
D． 时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
【答案】AD
【详解】
AB．如图1所示，当粒子的轨迹以AB为弦长时经历的时间最小，由几何关系得圆心角为
，故粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为
故A正确，B错误；
CD．因粒子均匀分布于各个方向，故粒子数之比与角度成正比，如图2所示，当
时，由几何关系知出磁场与未出磁场的粒子数之比为 ，故C错误，D正确。
故选AD。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【例3】．（2023·全国·模拟预测）如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为O的圆形区域
内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角
三角形， ，从圆形磁场最高点P沿PO方向向圆形区域内射入大量速率不
同的同种粒子，粒子所带电荷量均为q、质量均为m且带正电。忽略粒子之间的相互作用
力和粒子重力，关于打在MN区域的粒子，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间
B．打在收集板上的粒子的最大速率
C．整个过程中位移最小的粒子速率
D．整个过程中位移最小的粒子运动的时间
【答案】AD
【详解】A．如图甲所示，设出射点为 ，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 ，根
据几何关系有
粒子射到M点时， 最小， 最大，粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知
因为周期
所以
则
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B．设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，根据几何关系有
粒子射到N点时，打在收集板上的粒子速度最大
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故B错误；
C．整个过程中粒子位移大小为P到直线MN上的点的距离，点到直线垂线最短，如图乙
所示，设位移最短时打在Q点，PQ⊥MN，根据几何关系有
， ， ，
位移最小的粒子的速率
又
故位移最小的粒子运动的时间
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故选AD。
【例4】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直面内按虚线分割为两个
区域，区域上部分有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，虚线 部分是一个半圆，
半径为R， 部分是水平直线，长度为 ； 部分为等高水平直线，长度为R。一群质
量为m、电荷量为 的粒子从c点竖直向上射入磁场。在磁场中，关于运动时间最长的粒
子的速度v和时间t，下列关系式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
可见，粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。从
几何关系上，过C点做虚线圆弧的切线得切点，若带电粒子经过此切点，所对应的圆周运
动的圆心角越大，做出如图所示辅助线
择圆心角 。代入前面公式可得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对应粒子的圆周运动半径
代入前面公式可得
故选BD。
【例5】（2023春·山东潍坊·高三统考期中）如图所示，直角三角形abc区域存在垂直纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的
中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，
已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是（ ）
A．粒子运动的速率可能为
B．粒子在磁场中运动的时间可能为
C．bc边界上有粒子射出的区域长度最大为
D．有粒子经过的磁场区域的面积最大为
【答案】BCD
【详解】A．根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，根据几何知
识可得半径为
根据洛伦兹力提供向心力
解得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司同理若粒子从c点射出，则速度
则粒子的速度不可能为 ，故A错误；
B．粒子在磁场中运动的周期为
当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间为
故B正确；
CD．根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在cb上的点到c点的距离最大，即
所以打在bc边界上有粒子射出的区域长度最大为 ，有粒子经过的磁场区域的面积最
大为
故CD正确。
故选BCD。
【例6】（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所示，在竖直平面内
有两个同心圆，圆心在O点，小圆内部区域Ⅰ和两圆之间的环形区域Ⅱ均存在匀强磁场
（图中未画出），Ⅰ、Ⅱ区域磁场磁感应强度大小分别为 、2B，已知Ⅰ区域磁场方向垂
直竖直平面向外，带正电的粒子a从O点竖直向上射出，粒子a质量为m、电荷量为q、速
度大小为v，粒子a射出小圆区域时，速度方向斜向上且与水平方向的夹角为30°，不计粒
子重力和粒子间相互作用。P点为过O点的水平直径与小圆的右侧交点。下列说法正确的
是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向里，为使粒子a能回到O点，大圆半径最小值为
B．若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向外，为使粒子a能回到O点，大圆半径最小值为
C．若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，粒子a从O点射出能回到O点且速度方向竖直
向下，此过程中的轨迹长度最短为
D．若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，且粒子a始终不会飞出大圆，则粒子a从O点
射出到第二次经过P点所用时间为
【答案】ACD
【详解】AB .设粒子 在Ⅰ区域中运动的轨迹半径为 ，有
解得
画出粒子 在Ⅰ区域的运动轨迹如图甲所示
根据几何关系知粒子 在Ⅰ区域中运动轨迹所对应的弦与水平方向的夹角为 ，则
即可得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设 在Ⅱ区域做匀速圆周运动的半径为 ，有
有
若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向里，设大圆半径为 ，画出粒子 运动轨迹如图乙所
示
由几何关系得
此时大圆半径最小值为
若Ⅰ区域中磁场方向垂直竖直平面向外，设大圆半径为 ，画出粒子 运动轨迹如图丙所
示
由几何关系得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司此时大圆半径最小值为
故A正确，B错误；
CD．粒子 在Ⅰ区域做圆周运动的周期为 ，在Ⅱ区域做圆周运动的周期为
，如图丁所示
粒子 从 点竖直向上出发回到 点且速度方向竖直向下所经过的最短时间为
解得
则运动的弧长为
粒子a从O点射出到第二次经过P点所用时间为
解得
故CD正确；
故选ACD。
【例7】（2021春·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）如图，在真空室内的P点，能
沿纸面向各个方向不断发射电荷量为 ，质量为m的粒子（不计重力），粒子的速率都相
同。ab为P点附近的一条水平直线，P到直线ab的距离PC=L，Q为直线ab上一点，它与
P点相距 。当直线ab以上区域只存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司场时，水平向左射出的粒子可到达Q点；当ab以上区域只存在平行该平面，方向竖直向下
的匀强电场时，水平向左射出的粒子也可到达Q点。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）粒子的发射速率；
（2）匀强电场的场强大小；
（3）仅有磁场时，能到达直线ab的粒子所用最短时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设粒子做匀速圆周运动的半径为R，过O作PQ的垂线交PQ于A点，如图
所示
由几何知识可得
代入数据可得粒子轨迹半径
洛仑磁力提供向心力
解得粒子发射速度为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）水平向左射出的粒子做类平抛运动，由运动学关系可知
与ab平方向
与ab垂直方向
其中
解得
（3）圆弧 经C点，粒子转过的圆心角最小，运动时间最短，则
故
则最小圆心角
粒子在磁场中运动的周期
则最短时间
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定
临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
类型 分析 图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负
带电粒子电性
电荷，初速度相同时，正、负粒子在
不确定
磁场中运动轨迹不同，形成多解 如带正电，其轨迹为a；如带负
电，其轨迹为b
只知道磁感应强度大小，而未具体指
磁场方向
出磁感应强度方向，由于磁感应强度 若B垂直纸
不确定
方向不确定而形成多解 面向里，其轨迹为a，若B垂直
纸面向外，其轨迹为b
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过
临界状态
磁场飞出，也可能转过180°从入射界
不唯一
面一侧反向飞出，于是形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场
运动具有
空间运动时，运动往往具有周期性，
周期性
因而形成多解
【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内无
磁场，圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为
m、电荷量为q的粒子从O点以大小为v的速度沿半径方向射出，射出后粒子做周期性运
动。不计粒子重力，则粒子运动的周期可能为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】作出粒子的部分运动轨迹如图：
以后以同样的运动形式，直到速度回到开始的速度则完成一个周期性运动，则粒子运动的
周期
其中
当 时，周期
当 时，周期
故选AD。
【例2】（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）2023年1月7日，中科院聚变大科学团
队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新
的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理
是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为 ，
外半径为 ，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为 的区
域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的
方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子最大轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
要使粒子不离开磁场
由于
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选CD。
【例3】．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，半径分别
为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面
向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为 q（ ）的粒子由大圆
上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则
粒子运动速率v可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
可得
粒子仅在磁场中运动，则
或
代入可得
或
故选ACD。
【例4】（2023·全国·模拟预测）如图所示，空间中有一个底角均为 的梯形，上底与腰
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一
个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电
子能从ab边射出，速度大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图所示
由几何关系可知
半径最大为从a点射出，如图所示
由几何关系可知
由牛顿第二定律有
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则有
为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为
故选BC。
【例5】．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上
射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂
直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为 ，速率为v，OP与
OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（ ）
A． ，垂直纸面向里 B． ，垂直纸面向里
C． ，垂直纸面向外 D． ，垂直纸面向外
【答案】BD
【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约
束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧）
由几何知识知
而
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所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
所以得
故A错误，B正确；
CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP
之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧）
由几何知识知道相切圆的半径为 ，所以当离子轨迹的半径小于 时满足约束条件。
由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
所以得
故C错误，D正确。
故选BD。
【例6】（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，纸面内有一矩形abcd，其长
ab为4l、宽ad为 ，P、Q为ab边上的点， 。在矩形abcd外存在范围足够
大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为 。一质量为m、带电荷量为q（
）的粒子，从P点垂直ab以速度 向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将
入射速度变为 ，粒子从P点垂直ab射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至
回到P点的运动路程可能为（ ）
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C． D．
【答案】ACD
【详解】AB．根据粒子从P点垂直ab射入磁场，从Q处进入无场区，可判断粒子做圆周
运动的半径
粒子在磁场中做圆周运动，有
解得
粒子速度变为
粒子在磁场中做圆周运动，有
由数学知识可知，粒子先以Q为圆心做 个圆周运动到ad的中点M，再沿直线MN运动到
N（Nc=l），再经过 个圆周运动到P点，沿直线PM运动到M，再经过 个圆周运动到N
点，沿直线NP运动到P，之后重复上述运动，粒子运动轨迹如图所示
可知粒子在一个周期内经过P点两次。由P点沿圆弧运动到M点所用时间
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粒子以2v 垂直ab向外经过P，则粒子运动的时间
1
粒子运动的路程
当k=2时为A选项，而B选项无法取到，故A正确，B错误；
CD．粒子以2v 大小与ab方向成30°角经过P，则
1
粒子运动的路程
当k=2时为C选项，当k=3时为D选项，故CD正确。
故选ACD。
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